2019年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科).docx

1、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1（5分）若复数1+2ai2-i（aR）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A1B1C16D-16【解答】解：复数1+2ai2-i=(1+2ai)(2+i)(2-i)(2+i)=2-2a5+1+4a5i的实部和虚部相等，2-2a5=1+4a5，解得a=16故选：C2（5分）已知集合Mx|3x4，Nx|x22x80，则（）AMNRBMNx|3x4CMNx|2x4DMNx|2x4【解答】解：集合Mx|3x4，Nx|x22x80x|2x4，MNx|3x4，MNx|2x4故选：D3（5分）已知矩形ABC

2、D中，BC2AB4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足MBMC0的概率是（）A4B4-4C2D-24【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M（x，y），则MB=（x，y），MC=（4x，y），由MBMC0得：（x2）2+y24，由几何概型可得：p=S阴S矩=1-28=4-4，故选：B4（5分）下列函数既是奇函数，又在1，1上单调递增的是（）Af（x）|sinx|Bf（x）lne-xe+xCf（x）=12（exex）Df（x）ln（x2+1-x）【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）|sinx|，为偶函数，不符合题意；

3、对于B，f（x）lne-xe+x，其定义域为（e，e），有f（x）lne+xe-x=-lne-xe+x=-f（x），为奇函数，设t=e-xe+x=-1+2ex+e，在（e，e）上为减函数，而ylnt为增函数，则f（x）lne-xe+x在（e，e）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）=12（exex），有f（x）=12（exex）=-12（exex）f（x），为奇函数，且f（x）=12（ex+ex）0，在R上为增函数，符合题意；对于D，f（x）ln（x2+1-x），其定义域为R，f（x）ln（x2+1+x）ln（x2+1-x）f（x），为奇函数，设t=x2+1-x=1x2+1+x，ylnt，

4、t在R上为减函数，而ylnt为增函数，则f（x）ln（x2+1-x）在R上为减函数，不符合题意；故选：C5（5分）在ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为（）A1543B154C2143D3543【解答】解：设最小角为，故对应的边长为a，则cos=(a+4)2+(a+2)2-a22(a+4)(a+2)=a2+12a+202a2+12a+16=1314，解得a3最小角的余弦值为1314，sin=1-cos2=1-(1314)2=3314SABC=12(a+4)(a+2)sin=12353314=1534故选：A6（5分）如图，在ABC中，AN=2

5、3NC，P是BN上一点，若AP=tAB+13AC，则实数t的值为（）A23B25C16D34【解答】解：由题意及图，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m(AN-AB)=mAN+(1-m)AB，又，AN=23NC，所以AN=25AC，AP=25mAC+（1m）AB，又AP=tAB+13AC，所以1-m=t25m=13，解得m=56，t=16，故选：C7（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y13x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+6）21上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（）A8B9C10D11【解答

6、】解：由题意可得2a6，即a3，渐近线方程为y13x，即有ba=13，即b1，可得双曲线方程为x29-y21，焦点为F1（-10，0），F2，（10，0），由双曲线的定义可得|MF2|2a+|MF1|6+|MF1|，由圆E：x2+（y+6）21可得E（0，-6），半径r1，|MN|+|MF2|6+|MN|+|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|=6+10=4，则则|MN|+|MF2|的最小值为6+419故选：B8（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，-22）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2，若将函数f（x）的图象向左平移6后

7、得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A-3，6B4，712C0，3D2，56【解答】解：函数f（x）sin（x+）（0，-22）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2，则：T，所以：2将函数f（x）的图象向左平移6后，得到g（x）sin（2x+3+）是偶函数，故：3+=k+2（kZ），解得：=k+6（kZ），由于：22，所以：当k0时=6则f(x)=sin(2x+6)，令：2+2k2x+62k+32（kZ），解得：6+kxk+23（kZ），当k0时，单调递减区间为：6，23，由于4，7126，23，故选：B9（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几

8、何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A162+（32+162+165）B162+（16+162+165）C162+（32+322+325）D162+（16+322+325）【解答】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：S1=162+8，设中间的圆锥展开面的圆心角为n，所以：n85180=16，解得：n=3605，所以圆锥的展开面的面积为S=3605(45)2360=165，所以：中间的圆锥的表面积为S2=165+16-8，同理得：下面的圆锥的表面积为S3=162+16，所以总面积为：S=S1+S2+S3=162+(

9、32+162+165)，故选：A10（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中的底面为等腰直角三角形，ABAC，点M，N分别是边AB1，A1C上动点，若直线MN平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则Q点的轨迹为（）A双曲线的一支（一部分）B圆弧（一部分）C线段（去掉一个端点）D抛物线的一部分【解答】解：如图当N与C重合，M与B1重合时，MN平面BCC1B1，MN的中点为O；当N与A1重合，M与A重合时，MN平面BCC1B1，MN的中点为H；一般情况，如平面PQRK平面BCC1B1，可得点M，N，取MN的中点D，作DEKR于E，NFKR于F，易知，E为KR中点，且D在OH上，故选：C11（5分

10、）抛物线x22py（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB60，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则|AB|CD|的最小值为（）A3B1C233D2【解答】解：设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|在梯形ABPQ中，2|CD|AQ|+|BP|a+b由余弦定理得，|AB|2a2+b22abcos60a2+b2ab配方得，|AB|2（a+b）23ab，又ab（ a+b2） 2，（a+b）23ab（a+b）2-34（a+b）2=14（a+b）2得到|AB|12（a+b）|CD|AB|CD|1，即|AB|CD|的最小值为1故

11、选：B12（5分）已知函数f（x）=-3x2+6x，x0-x3-3x2+4，x0，设AxZ|x（f（x）a）0，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为（）A31B32C33D34【解答】解：x0A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可画出f（x）的图象如下图：当x0时，f（x）a；当x0时，af（x）即y轴左侧的图象在ya下面，y轴右侧的图象在ya上面，f（3）39+189，f（4）316+2424，f（3）（3）33（3）2+44，f（4）（4）33（4）2+420，平移ya，由图可知：当24a9时，A1，2，3，符合题意；a0时，A1，1，2，符合题意；2a3时，A1，1，

12、2，符合题意；4a20时，A1，2，3，符合题意；整数a的值为23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13（5分）已知（1x+x2）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为20【解答】解：令x1，可得（1x+x2）n的展开式的各项系数和为2n64，n6，故（1x+x2）n（1x+x2）6的展开式的通项公式为Tr+1=C6rx3r6，令3r63，可得r

13、3，故展开式中x3的系数为C63=20，故答案为：2014（5分）已知变量x，y满足x-2y+40x2x+y-60，则z=y+1x-3的取值范围是13，4【解答】解：由变量x，y满足x-2y+40x2x+y-60作出可行域如图：A（2，3），x-2y+4=0x+y-6=0解得B（83，103），z=y+1x-3的几何意义为可行域内动点与定点D（3，1）连线的斜率kDA=3+12-3=-4，kDB=103+183-3=-13z=y+1x-3的取值范围是13，4故答案为：13，415（5分）中国诗词大会（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美

14、的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若沁园春长沙、蜀道难、敕勒歌、游子吟、关山月、清平乐六盘山排在后六场，且蜀道难排在游子吟的前面，沁园春长沙与清平乐六盘山不相邻且均不排在最后，则六场的排法有144种（用数字作答）【解答】解：沁园春长沙、蜀道难、敕勒歌、游子吟、关山月、清平乐六盘山，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共C41=4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共A55-A22A44=72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以A22=2即可，

15、即六场的排法有4722144（种）故答案为：14416（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点设顶点P（x，y）的轨迹方程是yf（x），则对函数yf（x）有下列判断：函数yf（x）是偶函数；对任意的xR，都有f（x+2）f（x2）函数yf（x）在区间2，3上单调递减；函数yf（x）的值域是0，1；02 f（x）dx=+12其中判断正确的序号是【解答】解：当2x1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的14圆，当1x1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为2的14圆，当1x2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的14圆，当3x4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的14圆，函数的周

16、期是4因此最终构成图象如下：，根据图象的对称性可知函数yf（x）是偶函数，故正确；，由图象即分析可知函数的周期是4即f（x+4）f（x），即f（x+2）f（x2），故正确；，函数yf（x）在区间2，3上单调递增，故错误；，由图象可得f（x）的值域为0，2，故错误；，根据积分的几何意义可知02 f（x）dx=18（2）2+1211+1412=12+2，故正确故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17（12分）已知数列an为等比数列，首项a14，数列bn满足bnlog2an

17、，且b1+b2+b312（I）求数列an的通项公式（）令cn=4bnbn+1+an，求数列cn的前n项和Sn【解答】解：（I）数列an为等比数列，首项a14，公比设为q，数列bn满足bnlog2an，且b1+b2+b312，即有log2a1+log2a2+log2a312，log2（a1a2a3）12，即a23212，即有a216，q4，则an4n；（）bnlog2anlog24n2n，cn=4bnbn+1+an=1n(n+1)+4n=1n-1n+1+4n，前n项和Sn（1-12+12-13+1n-1n+1）+（4+16+4n）1-1n+1+4(1-4n)1-4=nn+1+4n+1-4318（

18、12分）已知四棱锥中PABCD，底面ABCD为菱形，ABC60，PA平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为155，点F在PC上移动（）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF平面PAD（）求点F恰为PC的中点时，二面角CAFE的余弦值【解答】证明：（）四棱锥中PABCD，底面ABCD为菱形，ABC60，PA平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，AEPA，AEAD，PAADA，AE平面PAD，点F在PC上移动，AE平面AEF，无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF平面PAD解：（）直线EM与平面PAD所成角的正弦值为155，点F恰为PC

19、的中点时，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB2，APx，则E（3，0，0），M（0，1，x2），ME=（3，-1，-x2），平面PAD的法向量n=（1，0，0），|cosME，n|=|MEn|ME|n|=34+x24=155，解得xAP2，C（3，1，0），A（0，0，0），P（0，0，2），E（3，0，0），F（32，12，1），AC=（3，1，0），AE=（3，0，0），AF=（32，12，1），设平面ACF的法向量n=（x，y，z），则nAC=3x+y=0nAF=32x+12y+z=0，取x1，得n=（1，-3，0），设平面AEF的法向量m=（x，

20、y，z），则mAE=3x=0mAF=32x+12y+z=0，取y2，得m=（0，2，1），设二面角CAFE的平面角为，则cos=|mn|m|n|=2325=155二面角CAFE的余弦值为15519（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量（）若某日播报的AQI为11

21、8，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；（）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在170，180）内组数分组天数第一组50，80）3第二组80，110）4第三组110，140）4第四组140，170）6第五组170，200）5第六组200，230）4第七组230，260）3第八组260，290）1郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑

22、州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望【解答】解：（）设重度污染区AQI的平均值为x，则742+1145+2x1189，解得x172；（）11月份仅有一天AQI在170，180）内，则AQI小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为P=1830=35；由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X0）=C183C303=2041015，P（X1）=C182C121C303=4591015，P（X2）=C181C122C303=2971015，P（X3）=C1

23、23C303=551015，X的分布列为：X0123P2041015 4591015 2971015 551015 数学期望为E（X）02041015+14591015+22971015+3551015=12181015=6520（12分）设M点为圆C：x2+y24上的动点，点M在x轴上的投影为N动点P满足2PN=3MN，动点P的轨迹为E（）求E的方程；（）设E的左顶点为D，若直线l：ykx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足|DA+DB|DA-DB|，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标【解答】解：（）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0，0），PN=(x0-

24、x，-y)，MN=(0，-y0)，2PN=3MN，x0x，y0=233y，代入圆的方程得，x2+43y2=4，即x24+y23=1，故动点P的轨迹为E的方程为：x24+y23=1；（）证明：由（）知，D（2，0），|DA+DB|=|DA-DB|，DADB，设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+mx24+y23=1消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，y1y2（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2，由DADB得：y1x1+2y2x2+2=-1，即y1y2x1x2+2（x1+

25、x2）+4，由得：(k2+1)x1x2+(2+mk)(x1+x2)+m2+4=0，把代入并整理得：7m216km+4k20，得：（7m2k）（m2k）0，即m=27k或m2k，故直线l的方程为yk（x+27），或yk（x+2），当直线l的方程为yk（x+27）时，l过定点（-27，0）；当直线l的方程为yk（x+2）时，l过定点（2，0），这与A，B不是左顶点矛盾故直线l的方程为yk（x+27），过定点（-27，0）21（12分）已知函数f（x）x28x+alnx（aR）（）当x1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x1是极大值点还是极小值点；（）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2

26、），且x11时，总有alnx11-x1t（4+3x1x12）成立，求t的取值范围【解答】解：（I）f（x）2x8+ax，（x0），当x1时，f（x）取得极值，f（1）28+a0，解得a6，此时，f（x）x28+6lnx，f（x）2x8+6x=2(x-1)(x-3)x，令f（x）0，解得：x3或x1，令f（x）0，解得：1x3，故f（x）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+）递增，故x1是极大值点；（II）当函数f（x）在（0，+）内有两个极值点x1，x2（x1x2）且x11时，则u（x）2x28x+a0在（0，+）上有两个不等正根=64-8a0u(0)=a0x=20，0a8x1+x2

27、4，x1x2=a2，0x1x2，x24x1，a2x1x22x1（4x1），可得0x12alnx11-x1t（4+3x1x12）成立，即2x1(4-x1)lnx11-x1t（4x1）（x1+1），即2x1lnx11-x1t（x1+1），即2x1lnx11-x1-t（x1+1）0，即x11-x12lnx1+t(x12-1)x10，且0x11时，x11-x101x12时，x11-x10即h（x）2lnx+t(x2-1)x（0x2）h（x）=tx2+2x+tx2 （0x2），t0时，h（x）=2x0h（x）在（0，2）上为增函数，且h（1）0，x（1，2）时，h（x）0，不合题意舍去t0时，h（x）0

28、同不合题意舍去t0时，（i）0时，解得t1，h（x）0，在（0，2）内函数h（x）为减函数，且h（1）0，可得：0x1时，h（x）01x2时，h（x）0，x1-x2lnx+t(x2-1)x0成立（ii）0时，1t0，h（x）分子中的二次函数对称轴x=-1t1，开口向下，且函数值2（t+1）0，即amin-1t，2，则x（1，a）时，h（x）0，h（x）为增函数，h（1）0，h（x）0，故舍去综上可得：t的取值范围是t1选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线C1：x2+（y3）29，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O

29、逆时针旋转90得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2（）求曲线C1，C2的极坐标方程；（）射线=56（0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（4，0），求MPQ的面积【解答】1解：（）知曲线C1：x2+（y3）29，整理得：x2+y26y+99，转换为极坐标方程为：6sin，A是曲线C1上的动点，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2所以得到的直角坐标方程为：（x+3）2+y29，转换为极坐标方程为：6cos（）由于射线=56（0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，则：|OQ|=1=6sin56=3，|OP|=2=6cos56=33，所以：SMO

30、P=12|OM|OP|sin56=124312=3，SMOQ=12|OM|OQ|sin56=1243312=33，所以：SMPQSMOQSMOP33-3选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|3x2a|+|2x2|（aR）（）当a=12时，解不等式f（x）6；（）若对任意x0R，不等式f（x0）+3x04+|2x02|都成立，求a的取值范围【解答】解：（）a=12时，|3x1|+|2x2|6，故x13x-1+2x-26或13x13x-1+2-2x6或x131-3x+2-2x6，解得：x95或x-35，故不等式的解集是（，-35）（95，+）；（）若对任意x0R，不等式f（x0）+3x04+|2x02|都成立，则|3x02a|+3x04恒成立，故x023a时，6x02a+4恒成立，故623a2a+4，解得：a2，x023a时，2a4，解得：a2，综上，a（2，+）