2019年北京市高考数学试卷(文科).docx

1、2019年北京市高考数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A=x|-1x2，B=x|x1，则AB=（）A. (1,1)B. (1,2)C. (1,+)D. (1,+)2. 已知复数z=2+i，则zz=（）A. 3B. 5C. 3D. 53. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（）A. y=x12B. y=2xC. y=log12xD. y=1x4. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知双曲线x2a2-y2=1（a0）的离心率是5，则a=（）A. 6B. 4C. 2D. 126. 设函数f（

2、x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 1010.18. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为（）A. 4+4

3、cosB. 4+4sinC. 2+2cosD. 2+2sin二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知向量a=（-4，3），b=（6，m），且ab，则m=_10. 若x，y满足x2，y1，4x3y+10，则y-x的最小值为_，最大值为_11. 设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_12. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为_13. 已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_14.

4、 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12（）求b，c的值；（）求sin（B+C）的值16. 设an是等差数列，a1=-10，且a2+

5、10，a3+8，a4+6成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值17. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000

6、元的概率；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元结合（）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线l：y=kx+t（t1）与椭圆C交于两

7、个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N若|OM|ON|=2，求证：直线l经过定点20. 已知函数f（x）=14x3-x2+x（）求曲线y=f（x）的斜率为l的切线方程；（）当x-2，4时，求证：x-6f（x）x；（）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（aR），记F（x）在区间-2，4上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值答案和解析1.【答案】C【解析】解：A=x|-1x2，B=x|x1，AB=x|-1x2x|x1=（-1，+）故选：C直接由并集运算得答案本题考查并集及其运算，是基础的计算题2.【答案】D【解析】解：z=2+i，z=故选：D直接由求解本题考查复数

8、及其运算性质，是基础的计算题3.【答案】A【解析】解：在（0，+）上单调递增，和在（0，+）上都是减函数故选：A判断每个函数在（0，+）上的单调性即可考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性4.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得 k=1，s=1 s=2 不满足条件k3，执行循环体，k=2，s=2 不满足条件k3，执行循环体，k=3，s=2 此时，满足条件k3，退出循环，输出s的值为2 故选：B由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行

9、过程，以便得出正确的结论，是基础题5.【答案】D【解析】解：由双曲线-y2=1（a0），得b2=1，又e=，得，即，解得，a=故选：D由双曲线方程求得b2，再由双曲线的离心率及隐含条件a2+b2=c2联立求得a值本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是基础题6.【答案】C【解析】解：设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数）， 则“b=0”“f（x）为偶函数”， “f（x）为偶函数”“b=0”， 函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数）， 则“b=0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件 故选：C“b=0”“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”“b=0”，由此能求出结果本题考

10、查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题7.【答案】A【解析】解：设太阳的星等是m1=-26.7，天狼星的星等是m2=-1.45，由题意可得：，则故选：A把已知熟记代入m2-m1=lg，化简后利用对数的运算性质求解本题考查对数的运算性质，是基础的计算题8.【答案】B【解析】解：由题意可得AOB=2APB=2，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QOAB，即有QO=2，Q到线段AB的距离为2+2cos，AB=22sin=4sin，扇形AOB的面积为24=4，ABQ的面积为（2+2cos）4sin=4sin+4sincos=4sin+2sin2，SAOQ+S

11、BOQ=4sin+2sin2-22sin2=4sin，即有阴影区域的面积的最大值为4+4sin故选：B由题意可得AOB=2APB=2，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QOAB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题9.【答案】8【解析】解：由向量=（-4，3），=（6，m），且，得，m=8故答案为：8则，代入，解方程即可本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题10.【答案】-3 1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，-1），B（2，3），令z=y-x，作出直线y=x，由图可知，平移直

12、线y=x，当直线z=y-x过A时，z有最小值为-3，过B时，z有最大值1故答案为：-3，1由约束条件作出可行域，令z=y-x，作出直线y=x，平移直线得答案本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题11.【答案】（x-1）2+y2=4【解析】解：如图，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），所求圆的圆心F，且与准线x=-1相切，圆的半径为2则所求圆的方程为（x-1）2+y2=4故答案为：（x-1）2+y2=4由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题12.【答案】40【解析】解：由三视图

13、还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V=故答案为：40由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题13.【答案】若l，lm，则m【解析】解：由l，m是平面外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若l，lm，则m 故答案为：若l，lm，则m由l，m是平面外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l，lm，则m本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题14.【答案】130 15【解析】解

14、：当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140（元），即有顾客需要支付140-10=130（元）；在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m-x）80%m70%，即有x，由题意可得m120，可得x=15，则x的最大值为15元故答案为：130，15由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m-x）80%m70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题15.【答案】解：（1）a=3，b-c=2，cosB=-12由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+(b

15、2)223(b2)(12)，b=7，c=b-2=5；（2）在ABC中，cosB=-12，sinB=32，由正弦定理有：asinA=bsinB，sinA=asinBb=3327=3314，sin（B+C）=sin（-A）=sinA=3314【解析】（1）利用余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；（2）sin（B+C）=sin（-A）=sinA，根据正弦定理可求出sinA本题考查了正弦定理余弦定理，属基础题16.【答案】解：（）an是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（a3+8）2=（a2+10）（a4+6），（

16、-2+2d）2=d（-4+3d），解得d=2，an=a1+（n-1）d=-10+2n-2=2n-12（）由a1=-10，d=2，得：Sn=-10n+n(n1)22=n2-11n=（n-112）2-1214，n=5或n=6时，Sn取最小值-30【解析】（）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d=2，由此能求出an的通项公式（）由a1=-10，d=2，得Sn=-10n+=n2-11n=（n-）2-，由此能求出Sn的最小值本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题17.【答案】解：（）由题意得：从全校所有的

17、1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，A，B两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40，估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：100040100=400人（）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n=25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m=1，该学生上个月支付金额大于2000元的概率p=mn=125（）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学

18、生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为125，虽然概率较小，但发生的可能性为125故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化【解析】（）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，求出A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数（）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n=25，该学生上个月支

19、付金额大于2000元包含的基本事件个数m=1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率（）从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题18.【答案】证明：（）四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，BDPA，BDAC，PAAC=A，PA、AC平面PAC，BD平面PAC（）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，ABC=60，ACD是等边三角

20、形，E为CD的中点，AECD，ABCD，ABAE，PA平面ABCD，PAAE，PAAB=A，PA、AB平面PAB，AE平面PAB，AE平面PAE，平面PAB平面PAE解：（）棱PB上存在中点F，使得CF平面PAE理由如下：分别取PB、PA的中点F、G,连接CF、FG、EG，在三角形PAB中，FGAB且FG=12AB，在菱形ABCD中，E为CD的中点，所以CEAB，且CE=12AB，所以CEFG，且CE=FG，即四边形CEGF 为平行四边形，所以CFEG，又，.【解析】（）推导出BDPA，BDAC，由此能证明BD平面PAC（）推导出ABAE，PAAE，从而AE平面PAB，由此能证明平面PAB平面

21、PAE（）棱PB上存在中点F，分别取PB、PA的中点F、G,连接CF、FG、EG，推导出四边形CEGF 为平行四边形，所以，进而CF平面PAE本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题19.【答案】解：（）椭圆C：x2a2+y2b2=1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）可得b=c=1，a=b2+c2=2，则椭圆方程为x22+y2=1；（）证明：y=kx+t与椭圆方程x2+2y2=2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2

22、），=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-2）0，x1+x2=-4kt1+2k2，x1x2=2t221+2k2，AP的方程为y=y11x1x+1，令y=0，可得y=x11y1，即M（x11y1，0）；AQ的方程为y=y21x2x+1，令y=0，可得y=x21y2即N（x21y2，0）（1-y1）（1-y2）=1+y1y2-（y1+y2）=1+（kx1+t）（kx2+t）-（kx1+kx2+2t）=（1+t2-2t）+k22t221+2k2+（kt-k）（-4kt1+2k2）=(t1)21+2k2，|OM|ON|=2，即为|x11y1x21y2|=2，即有|t2-1|=（t-1）2，由t1，

23、解得t=0，满足0，即有直线l方程为y=kx，恒过原点（0，0）【解析】（）由题意可得b=c=1，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求椭圆方程； （）y=kx+t与椭圆方程x2+2y2=2联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线恒过定点的求法，计算可得结论本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题20.【答案】解：（）f（x）=34x22x+1，由f（x）=1得x（x-83）=0，得x1=0，x2=83又f（0）=0，f（83）=827，y=x和y827=x83，即y=x和y=x-6427；（）证明：欲证x-

24、6f（x）x，只需证-6f（x）-x0，令g（x）=f（x）-x=14x3x2，x-2，4，则g（x）=34x22x=34x(x83)，可知g（x）在-2，0为正，在（0，83）为负，在83，4为正，g（x）在-2，0递增，在0，83递减，在83，4递增，又g（-2）=-6，g（0）=0，g（83）=-6427-6，g（4）=0，-6g（x）0，x-6f（x）x；（）由（）可得，F（x）=|f（x）-（x+a）|=|f（x）-x-a|=|g（x）-a|在-2，4上，-6g（x）0，令t=g（x），h（t）=|t-a|，则问题转化为当t-6，0时，h（t）的最大值M（a）的问题了，当a-3时，M

25、（a）=h（0）=|a|=-a，此时-a3，当a=-3时，M（a）取得最小值3；当a-3时，M（a）=h（-6）=|-6-a|=|6+a|，6+a3，M（a）=6+a，也是a=-3时，M（a）最小为3综上，当M（a）取最小值时a的值为-3【解析】（）求导数f（x），由f（x）=1求得切点，即可得点斜式方程； （）把所证不等式转化为-6f（x）-x0，再令g（x）=f（x）-x，利用导数研究g（x）在-2，4的单调性和极值点即可得证； （）先把F（x）化为|g（x）-a|，再利用（）的结论，引进函数h（t）=|t-a|，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴t=a与-3的关系分析即可此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大