2020年安徽省合肥某中学高二(上)期中数学试卷.docx

1、 高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 直线x=1的倾斜角和斜率分别是()A. 45，1B. 135，1C. 90，不存在D. 180，不存在2. 下列说法中不正确的是()A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B. 同一平面的两条垂线一定共面C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3. 方程x2+y2+4mx2y+5m=0表示圆，m的取值范围是( )A. 14m1B. m1C. m14. 若a，b是异面直线，且a/平面，则b和的位置关系是()

2、A. 平行B. 相交C. b在内D. 平行、相交或b在内5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是()A. 103B. 133C. 113D. 836. 设l是直线，是两个不同的平面()A. 若l/，l/，则/B. 若l/，l，则C. 若，l，则lD. 若，l/，则l7. 若直线xy+1=0与圆(xa)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A. 3,1B. 1,3C. 3,1D. (,31,+)8. 圆x2+2x+y2+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平

3、面的距离为2，则此球的体积为()A. 6B. 43C. 46D. 6310. 直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. 110B. 25C. 3010D. 2211. 已知点A(2,3)，B(3,2)，直线m过P(1,1)，且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为()A. k34或k4B. k34或k14C. 4k34D. 34k412. 如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动(P点异于B、C1点)，则下列四个结论：三棱锥AD1PC的体积不变：A1P/平面ACD1：

4、DPBC1；平面PDB1平面ACD1其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如果直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0平行，那么系数a的值为_14. 已知点B与点A(1,2，3)关于M(0,1,2)对称，则点B的坐标是_15. 圆(x+2)2+y2=4与圆(x2)2+(y1)2=9的位置关系为_16. 已知M：x2+(y2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程为_三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A=y|y=x232x+1,34x2,B=x|x+

5、m21，p：xA，q：xB，并且p是q的充分条件，求m的取值范围18. 已知直线l1，l2的方程分别为2xy=0，x2y+3=0，且l1，l2的交点为P(1)求P点坐标；(2)若直线l过点P，且与x，y轴正半轴围成的三角形面积为92，求直线l的方程19. 圆C经过点A(2,1)，和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=2x上(1)求圆C的方程；(2)圆内有一点B(2,52)，求以该点为中点的弦所在的直线的方程20. 如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC=60，PA=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1(1)求该四棱锥的体积；(2)若F为棱PC的中点，证明：BF

6、/平面AEC21. 如图1，在RtABC中，C=90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2(1)求证：DE/平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由22. 已知过点A(1,0)的动直线l与圆C：x2+(y3)2=4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当PQ=23时，求直线l的方程；(3)探索AMAN是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由答案和解析1.【答案】C

7、【解析】解：直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90，而斜率不存在，故选：C利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90，选出答案本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及直线的图象特征与直线的倾斜角、斜率的关系2.【答案】D【解析】【分析】根据证明平行四边形的条件判断A，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义，只要抓住定理中的关键条件进行判断，可借助于符合条件的几何体进行说明，考查了空间想象能力和对定理的运用能力【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，

8、故B不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D符合题意故选：D3.【答案】B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程x2+y2+4mx2y+5m=0表示圆，必有16m2+420m0，即可求出m的取值范围本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有D2+E24F0【解答】解：根据二元二次方程表示圆的条件，方程x2+y2+4mx2y+5m=0表示圆，必有16m2+420m0，解可得，m1，故选：B4.【答案】D【解

9、析】解：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1的中点为E，CC1的中点为F，设D1C1=a，平面ABCD为，则a/观察图形，知：a与AD为异在直线，AD；a与AA1为异面直线，AA1与相交；a与EF是异面直线，EF/若a，b是异面直线，且a/平面，则b和的位置关系是平行、相交或b在内故选：D作出正方体，借助正方体能够比较容易地得到结果本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意平面的公理及其推论的灵活运用5.【答案】B【解析】解：由几何体的三视图得，几何体是低下是一个圆柱，底面半径为1，圆柱体的高为3，上面是半径为1的一个球该几何体的体积为3+43=133故选：B先由三

10、视图判断出几何体的直观图的形状为上面是球，下面是圆柱；然后利用圆柱、球的体积公式求出该几何体的体积解决由三视图求几何体的表面积、体积问题，一般先将三视图转化为几何体的直观图，再利用面积、体积公式求6.【答案】B【解析】解：若l/，l/，则/或，相交，故A不正确；根据线面平行的性质可得：若l/，经过l的直线与的交线为m，则l/m，l，m，根据平面与平面垂直的判定定理，可得，故B正确；若l，则l或l/，故C错误；作出正方体ABCDABCD，设平面ABCD为，ADDA为，则，观察正方体，得到：BC/，且BC/；AD/，且AD；AB/，且AB与相交面、及直线l满足：，l/，则一定有l/或l或l与相交，

11、故D不正确故选：B对4个选项分别进行判断，即可得出结论“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来7.【答案】C【解析】【分析】根据直线xy+1=0与圆(xa)2+y2=2有公共点，可得圆心到直线xy+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式【解答】解：直线xy+1=0与圆(xa)2+y2=2有公共点圆心到直线xy+1=0的距离为|a+1|22|a+1|23a1故选：C8.【答案】C【解析

12、】解：圆x2+2x+y2+4y3=0的圆心(1,2)，半径是22，圆心到直线x+y+1=0的距离是|12+1|2=2，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为2的共有3个故选：C先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和2比较，可得结果本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题9.【答案】B【解析】【分析】利用平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，求出球的半径，然后求解球的体积本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力【解答】解：因为平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，所以球的半径为：(2)2+1=3所以球的体积为

13、：43(3)3=43.故选B10.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值【解答】解：直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，MN=/12B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角等于ANO，BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，CO=1，AO=5，AN=5，MB=B1M2+BB12=(2)2+22=6，在ANO中，由余弦定理可得：cosAN

14、O=AN2+NO2AO22ANNO=6256=3010故选：C11.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次不等式组表示平面区域的问题，注意直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上根据题意，设直线m的方程为y1=k(x1)，分析可得若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有(3)2k+k1(2)(3)k+k10，解可得k的范围，即可得答案【解答】解：根据题意，直线m过P(1,1)，设直线m的方程为y1=k(x1)，即ykx+k1=0，若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有(3)2k+k1(2)(3)k+k10，解可得：k34或k4；故选A12.【

15、答案】C【解析】解：对于，由题意知AD1/BC1，从而BC1/平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥AD1PC的体积不变，故正确；对于，连接A1B，A1C1，A1C1/AD1且相等，由于知：AD1/BC1，所以面BA1C1/面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故正确；对于，由于DC平面BCB1C1，所以DCBC1，若DPBC1，则BC1平面DCP，BC1PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；对于，连接DB1，由DB1AC且DB1AD1，可得DB1面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故正确故选：C利用空间中线线、线面、面面间

16、的位置关系，结合线线、线面、面面平行和垂直的判断与性质求解本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等积法、线面平行、线线垂直的判定，要注意转化的思想的使用，是中档题13.【答案】6【解析】解：直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0平行，它们的斜率相等，a2=3a=6故答案为：6根据它们的斜率相等，可得a2=3，解方程求a的值本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等14.【答案】(1,4,1)【解析】解：设点B的坐标为(x,y，z)，点B与点A(1,2，3)关于M(0,1,2)对称，点M(0,1,2)对为点A(1,2，3)和点B(x,y，z)的中点，由中点坐标公式可得，0=

17、x+121=y+222=z+32，解得x=1y=4z=1，点B的坐标是(1,4,1)故答案为：(1,4,1)根据点的对称性，将问题转化为两点的中点坐标问题，利用中点坐标公式列出方程组，求解即可得到点B的坐标公式本题考查了空间中的点的坐标中点考查了中点坐标公式，解空间坐标问题时，要注意类比平面坐标，对于一些运算公式和法则两者是通用的属于基础题15.【答案】相交【解析】解：圆C(x+2)2+y2=4的圆心C(2,0)，半径r=2；圆M(x2)2+(y1)2=9的圆心M(2,1)，半径R=3|CM|=(22)2+1=17，Rr=32=1，R+r=3+2=5Rr17R+r两圆相交故答案为：相交由两圆的

18、方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题16.【答案】x2+(y74)2=116(32y2)【解析】解：连接MB，MQ，设P(x,y)，Q(|a|,0)，点M、P、Q在一条直线上，得2a=y2x.由射影定理，有|MB|2=|MP|MQ|，即x2+(y2)2a2+4=1.由及消去a，可得x2+(y74)2=116和x2+(y94)2=116又由图形可知y2，因此x2+(y94)2=116舍去因此所求的轨迹方程为x2+(y74)2=116(32y2)故答案为：x2+(y74)2=116(32y2)连接MB，MQ，设P(x,y)

19、，Q(|a|,0)，点M、P、Q在一条直线上，利用斜率相等建立等式，进而利用射影定理|MB|2=|MP|MQ|，联立消去a，求得x和y的关系式，根据图形可知y0，12k0，解得k=1或4故所求的直线方程为y2=1(x1)或y2=4(x1)，即x+y3=0或4x+y6=0；综上，所求直线方程为x+y3=0或4x+y6=0；【解析】(1)把2条直线的方程联立方程组，求出方程组的解，可得交点坐标(2)用点斜式求直线的方程，并求出它在坐标轴上的截距，再根据直线与x，y轴正半轴围成的三角形面积为92，求出斜率的值，可得直线l的方程本题主要考查求直线的交点坐标，用点斜式求直线的方程，直线的截距，属于基础题

20、19.【答案】解：(1)设圆心(m,2m)，方程为：(xm)2+(y+2m)2=r2圆过A(2,1)，有(2m)2+(1+2m)2=r2又|m2m1|2=r，解得m=1,r=2，圆的方程为(x1)2+(y+2)2=2(2)由题意，(x1)2+(y+2)2=2的圆心坐标为C(1,2)，则kCB=2+5212=12，以B(2,52)为中点的弦所在的直线的斜率为2，所求直线方程为y+52=2(x2)，即4x2y13=0【解析】(1)设出圆心坐标，利用圆C经过点A(2,1)，和直线x+y=1相切，建立方程组，可求圆C的方程；(2)求出以B(2,52)为中点的弦所在的直线的斜率，利用点斜式可得方程本题考

21、查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题20.【答案】(1)解：设ACBD=O，连接PO，则O既为AC的中点，也为BD的中点，ABC=60，AC=a，BD=3a，AO=12AC=12a，BO=12BD=32a.PB=PD=2a，POBD，PO2=PB2BO2=54a2，PA2+AO2=PO2，即PAACPOBD，ACBD，POAC=O，PO、AC平面PAC，BD平面PAC，又BD平面ABCD，平面ABCD平面PAC平面ABCD平面PAC=AC，PA平面PAC，PA平面ABCD四棱锥的体积V=13PAS菱形ABCD=13PA12ACBD=13a12a3a=36a3(2)

22、证明：取PE的中点M，连结FM、BM，则FM/CE由PE：ED=2：1，知E是MD的中点，O为BD的中点，BM/OEFMBM=M，CEOE=E，FM、BM平面BFM，CE、OE平面AEC，平面BFM/平面AEC又BF平面BFM，BF/平面AEC【解析】(1)设ACBD=O，连接PO，在菱形ABCD中，易求得BD=3a，AO=12a，BO=32a，由勾股定理可证明PAAC；由POBD，ACBD，可推出BD平面PAC，结合面面垂直的判定定理与性质定理可得PA平面ABCD，故四棱锥的体积V=13PAS菱形ABCD(2)取PE的中点M，连结FM、BM，则FM/CE，BM/OE，从而推出平面BFM/平面

23、AEC，再由面面平行的性质定理即可得证本题考查空间中线与面的位置关系、棱锥体积的求法，熟练掌握空间中线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题21.【答案】解：(1)D，E分别为AC，AB的中点，DE/BC，又DE平面A1CB，DE/平面A1CB(2)由已知得ACBC且DE/BC，DEAC，DEA1D，又DECD，DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，DEA1F，又A1FCD，A1F平面BCDE，A1FBE(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ/BCDE/BC

24、，DE/PQ平面DEQ即为平面DEP由()知DE平面A1DC，DEA1C，又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP，A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ【解析】(1)D，E分别为AC，AB的中点，易证DE/平面A1CB；(2)由题意可证DE平面A1DC，从而有DEA1F，又A1FCD，可证A1F平面BCDE，问题解决；(3)取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ/BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与

25、性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题22.【答案】解：(1)l与m垂直，且km=13，k1=3，故直线l方程为y=3(x+1)，即3xy+3=0.圆心坐标(0,3)满足直线l方程，当l与m垂直时，l必过圆心C(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=1符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，即kxy+k=0，PQ=23，CM=43=1，则由CM=|k+3|k2+1=1，得k=43，直线l：4x3y+4=0故直线l的方程为x=1或4x3y+4=0(3)CMMN，AMAN=(AC+CM)AN=ACAN+CMAN=ACAN当l与x轴垂直时，易得N(1,5

26、3)，则AN=(0,53)，又AC=(1,3)，AMAN=ACAN=5当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)，则由y=k(x+1)x+3y+6=0得N(3k61+3k,5k1+3k)，则AN=(51+3k,5k1+3k)AMAN=ACAN=51+3k+15k1+3k=5综上所述，AMAN的值与直线l的斜率无关，且AMAN=5【解析】(1)根据l与m垂直，则两条直线的斜率之积为1，进而根据直线过点A(1,0)，我们可求出直线的方程，将圆的圆心坐标代入直线方程验证后，即可得到结论；(2)根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，结合PQ=23，易得到弦心距，进而根据点到直线的距离公式，构造关于k的方程，解方程即可得到k值，进而得到直线l的方程；(3)根据已知条件，我们可以求出两条直线的交点N的坐标(含参数k)，然后根据向量数量积公式，即可求出AMAN的值，进而得到结论本题考查的知识点是直线与圆相交的性质及向量在几何中的应用，其中在处理圆的弦长问题时，根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，进行弦长、弦心距、圆半径的知二求一，是解答此类问题的关键