2021年新高考数学模拟试卷(29).docx

1、2021年新高考数学模拟试卷（29）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合A0，1，2，3，集合Bx|x|2，则AB（）A0，3B0，1，2C1，2D0，1，2，32（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i3（5分）已知向量a，b，其中|a|=2，|b|=2，且(a-b)a，则a与b的夹角是（）A6B4C2D34（5分）等比数列an的前5项的和S510，前10项的和S1050，则它的前20项的和S20（）A160B210C640D8505（5分）在ABC中，A60，AC=2，BC=6，则C（）A30B45C60

2、D906（5分）抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足AFB=3设线段AB的中点M在L上的投影为N，则|MN|AB|的最大值是（）A23B1C32D167（5分）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）A25B35C38D588（5分）已知正四面体ABCD的棱长为3，则其外接球的体积为（）A83B928C829D92二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号用户通过该公众号可查看自己某时

3、间段的运动情况某人根据2018年1月至2018年11月期间每月离步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的是（）A月跑步里程逐月增加B月跑步里程最大值出现在10月C月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳10（5分）已知函数f（x）sinxcosx，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中正确的是（）A函数f（x）的值域g（x）的值域不相同B把函数f（x）的图象向右平移2个单位长度，就可以得到函数g（x）的图象C函数f（x）和g（x）在区间（-4，4）上都是增函数D若x0是函数f（x）的极值点，则

4、x0是函数g（x）的零点11（5分）关于函数f（x）=2x+1x-1，正确的说法是（）Af（x）有且仅有一个零点Bf（x）的定义域为x|x1Cf（x）在（1，+）单调递增Df（x）的图象关于点（1，2）对称12（5分）棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上运动（不包括线段端点），且AMBN以下结论正确的是（）AAA1MNB若点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCDA1B1C1D1上的截面为等边三角形C四面体MBCN的体积的最大值为124D直线D1M与直线A1N的夹角为定值三填空题（共4小题，满分20分，每小题5

5、分）13（5分）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）x+2，则f（32） 14（5分）已知（x2+1）（x2）9a0+a1（x1）+a2（x1）2+a11（x1）11，则a1+a2+a3+a11的值为 15（5分）已知双曲线x2-y2m=1的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为 16（5分）已知函数f（n）n2cos（n），数列an满足anf（n）+f（n+1）（nN+），则a1+a2+a2n 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在等差数列an和正项等比数列bn中，a11，b12，且b1，a2，b2成等差数列，数列bn的前n项和为Sn，且S314

6、（1）求数列an，bn的通项公式；（2）令cn=abn，（1）ndnncn+n，求数列dn的前项和为Tn18（12分）在cos2B-3sinB+202bcosC2acba=cosB+13sinA三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ，且a，b，c成等差数列，则ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19（12分）在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内

7、，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为PnP1（910）n1+n-110（n1，2，3），其中Pi表示第i个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立求该团队挑战成功的概率；该团队以Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的

8、人员数目X的分布列与数学期望20（12分）如图，已知多面体ABCDA1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，ADBC，ABBCCDAA1CC12，BB11，ADDD14（）证明：A1C1平面CDD1C1；（）求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值21（12分）在平面直角坐标系xOy中，中心在原点的椭圆C经过点(-332，1)，其右焦点与抛物线y2=45x的焦点重合（）求椭圆C的标准方程；（）设点M（m，0）为长轴上的一个动点，过点M作斜率为23的直线l交椭圆C于A，B两点，试判断|MA|2+|MB|2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由22（12

9、分）已知函数f(x)=1(1-x)n+aln(x-1)，其中nN*，a为常数（）当n2时，求函数f（x）的极值；（）当a1时，证明：对任意的正整数n，当x2时，有f（x）x12021年新高考数学模拟试卷（29）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合A0，1，2，3，集合Bx|x|2，则AB（）A0，3B0，1，2C1，2D0，1，2，3【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2，AB0，1，2故选：B2（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i【解答】解：z=2+3ii=(2+3i)(-i)-i

10、2=3-2i，z=3+2i故选：B3（5分）已知向量a，b，其中|a|=2，|b|=2，且(a-b)a，则a与b的夹角是（）A6B4C2D3【解答】解：由|a|=2，|b|=2，且(a-b)a，所以（a-b）a=0，即a2-ba=0，所以ab=a2=2，所以cos=ab|a|b|=222=22；又0，所以=4，即a与b的夹角是4故选：B4（5分）等比数列an的前5项的和S510，前10项的和S1050，则它的前20项的和S20（）A160B210C640D850【解答】解：由等比数列的性质可知S5，S10S5，S15S10，S20S15成等比数列，即10，40，S1550，S20S15成等比数

11、列可知：其公比为4，S2010+40+160+640850故选：D5（5分）在ABC中，A60，AC=2，BC=6，则C（）A30B45C60D90【解答】解：由正弦定理得：asinA=bsinB，6sin600=2sinB，sinB=12，又ab，AB，且0B，B300，C1800AB900，故选：D6（5分）抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足AFB=3设线段AB的中点M在L上的投影为N，则|MN|AB|的最大值是（）A23B1C32D16【解答】解：设|AF|a，|BF|b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形

12、ABPQ中，2|MN|AQ|+|BP|a+b由余弦定理得，|AB|2a2+b22abcos60a2+b2ab，配方得，|AB|2（a+b）23ab，又ab（a+b2）2，（a+b）23ab（a+b）2-34（a+b）2=14（a+b）2得到|AB|12（a+b）|MN|AB|1，即|MN|AB|的最大值为1故选：B7（5分）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）A25B35C38D58【解答】解：从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n4416，抽得的第一张

13、卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，分别为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为p=1016=58故选：D8（5分）已知正四面体ABCD的棱长为3，则其外接球的体积为（）A83B928C829D92【解答】解：如图所示：过A作AE平面BCD，由于ABBCCDADBD=3，所以BF=(3)2-(32)2=32，所以BE=2332=1，利用勾股定理的应用解得AE=3-1=2设外接球的半径为r，则：12+(2-r)2=r2，解得：r=324，所

14、以V=43(324)3=928故选：B二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况某人根据2018年1月至2018年11月期间每月离步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的是（）A月跑步里程逐月增加B月跑步里程最大值出现在10月C月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳【解答】解：根据题意，依次分析选项：在A中，2月跑步里程比1月的小，8月跑步里程比7月的小，11月跑步里程比1

15、0月的小，故A错误；在B中，月跑步里程10月最大，故B正确；在C中，月跑步里程高峰期大致在9、10月从小到大依次为2月、8月、3月、4月、1月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，故C正确；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确故选：BCD10（5分）已知函数f（x）sinxcosx，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中正确的是（）A函数f（x）的值域g（x）的值域不相同B把函数f（x）的图象向右平移2个单位长度，就可以得到函数g（x）的图象C函数f（x）和g（x）在区间（-4，4）上都是增函数D若x0是函数f（x）的极值点，则x0是函

16、数g（x）的零点【解答】解：函数f（x）sinxcosx，g（x）f（x）cosx+sinx，对于A，f（x）=2sin（x-4），值域是-2，2；g（x）=2sin（x+4），值域是-2，2，它们的值域相同，所以A错误；对于B，函数f（x）的图象向右平移2个单位长度，得yf（x-2）=2sin（x-34）2sin（x+4）的图象，不是g（x）的图象，所以B错误；对于C，x（-4，4）时，x-4（-2，0），f（x）是单调增函数；x（-4，4）时，x+4（0，2），g（x）是单调增函数；所以C正确；对于D，若x0是函数f（x）的极值点，则g（x0）0，即x0是函数g（x）的零点，D正确故选：C

17、D11（5分）关于函数f（x）=2x+1x-1，正确的说法是（）Af（x）有且仅有一个零点Bf（x）的定义域为x|x1Cf（x）在（1，+）单调递增Df（x）的图象关于点（1，2）对称【解答】解：f（x）=2x+1x-1=2(x-1)+3x-1=2+3x-1，作出函数f（x）图象如图：由图象可知，函数只有一个零点，定义域为x1，在（1，+）上单调递减，图象关于（1，2）对称，故C错误，故选：ABD12（5分）棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上运动（不包括线段端点），且AMBN以下结论正确的是（）AAA1MNB若点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，

18、则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCDA1B1C1D1上的截面为等边三角形C四面体MBCN的体积的最大值为124D直线D1M与直线A1N的夹角为定值【解答】解：A作NEBC，MFAB，垂足分别为E，F，AMBN，NEMF，四边形MNEF是矩形，MNFE，AA1面AC，EF面AC，AA1EF，AA1MN，故A正确；B点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCDA1B1C1D1上的截面为AB1C，为等边三角形，故B正确C设BNBC1，则VMBCN=13SBCNdMBCN，又AMBNBC1AB1，SBCN=12，dMBCN（1）AB1，VMBCN=13S

19、BCNdMBCN=16(1-)124，当且仅当=12时取得最大值，故C成立；D设BNBC1，当接近于0时，直线D1M与直线A1N的夹角近似于直线D1A和直线A1B的夹角，接近于3，当接近于1时，直线D1M与直线A1N的夹角近似于直线D1B1和直线A1C1的夹角，接近于2，故D不正确；故选：ABC三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）x+2，则f（32）52【解答】解：依题意得f（x）f（x）且f（x+2）f（x），f（32）f（-32）f（-32+2）f（12）=12+2=52，故答案为：5214（5分）已知

20、（x2+1）（x2）9a0+a1（x1）+a2（x1）2+a11（x1）11，则a1+a2+a3+a11的值为2【解答】解：已知(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a11(x-1)11，令x1，可得a02，再令x2，可得 02+a1+a2+a11，求得a1+a2+a112，故答案为：215（5分）已知双曲线x2-y2m=1的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为2【解答】解：根据条件可得a21，b2m，则c=1+m，渐近线方程为ybax，故焦点到渐近线距离d=bca2+b2=bcc=b1，故c=2，所以离心率e=21=2，故答案为：216（5分）已知函数f（n

21、）n2cos（n），数列an满足anf（n）+f（n+1）（nN+），则a1+a2+a2n2n【解答】解：函数f（n）n2cos（n），数列an满足anf（n）+f（n+1）（nN+），a2k1f（2k1）+f（2k）（2k1）2+（2k）24k1a2kf（2k）+f（2k+1）（2k）2（2k+1）24k1a2k1+a2k2a1+a2+a2n2n故答案为：2n四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在等差数列an和正项等比数列bn中，a11，b12，且b1，a2，b2成等差数列，数列bn的前n项和为Sn，且S314（1）求数列an，bn的通项公式；（2）令cn=abn，（1）ndnnc

22、n+n，求数列dn的前项和为Tn【解答】解：（1）等差数列an的公差设为d，正项等比数列bn的公比设为q，q0，a11，b12，且b1，a2，b2成等差数列，可得2a2b1+b2，即2（1+d）2+2q，即dq，数列bn的前n项和为Sn，且S314，可得2+2q+2q214，解得q2，d2，则an2n1，bn2n；（2）cn=abn=2n+11，（1）ndnncn+nn2n+1，则dn2n（2）n，前项和为Tn2（2）+44+6（8）+2n（2）n，2Tn24+4（8）+616+2n（2）n+1，相减可得3Tn4+2（4+（8）+（2）n）2n（2）n+14+24(1-(-2)n-1)1-(-

23、2)-2n（2）n+1，化简可得Tn=-49-6n+29（2）n+118（12分）在cos2B-3sinB+202bcosC2acba=cosB+13sinA三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且a，b，c成等差数列，则ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：选择cos2B-3sinB+20，则：12sin2B-3sinB+20，化为：2sin2B+3sinB30，解得sinB=32，又a，b，c成等差数列，2ba+c，B为锐角B=3b2a2+c22a

24、ccosB（a+c）23ac，化为：b2ac(a+c2)2=ac，可得acABC是等边三角形故答案为：19（12分）在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概

25、率分别为PnP1（910）n1+n-110（n1，2，3），其中Pi表示第i个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立求该团队挑战成功的概率；该团队以Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望【解答】解：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，0.015+0.0145+b5+0.0345+0.04（4745）0.5，解得b0.026，0.043+0.0325+a5+0.010100.5解得a0.024甲在1分钟内解密成功的频率是f10.01100.9（2）由题意及（1）可知第一个出场选手

26、解密成功的概率为p10.9，第二个出场选手解密成功的概率为p20.9910+1101=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p30.9(910)2+1102=0.929，该团队挑战成功的概率为p0.9+0.10.91+0.10.090.9290.999361由知按Pi从小到大的顺序的概率分别为p1，p2，p3，根据题意知X的可能取值为1，2，3，则P（X1）0.9，P（X2）（10.9）0.910.091，P（X3）（10.9）（10.91）0.009，团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列为： X 1 2 3 P 0.9 0.091 0.009E（X）10.9+20.091+30.009

27、1.10920（12分）如图，已知多面体ABCDA1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，ADBC，ABBCCDAA1CC12，BB11，ADDD14（）证明：A1C1平面CDD1C1；（）求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值【解答】（）证明：如图，连接AC，AA1CC1，且AA1CC1，四边形ACC1A1为平行四边形，即A1C1AC又底面ABCD为等腰梯形，且ABBCCD2，AD4，ACCDCC1平面ABCD，AC平面ABCD，CC1AC又CDCC1C，AC平面CDD1C1，A1C1平面CDD1C1；（）解：法一、由题意得BC1=22，延长DC，D1C1，

28、AB，A1B1交于点G，取CG中点M，连接BM，ACBMACA1C1，BM平面A1B1C1，A1C1平面A1B1C1，BM平面A1B1C1，点B到平面A1B1C1的距离和点M到平面A1B1C1的距离相等由（）知A1C1平面CDD1C1，又A1C1平面A1B1C1，平面A1B1C1平面CDD1C1过点M作MHGD1于点H，则MH平面A1B1C1，即点M到平面A1B1C1的距离为MH=22设直线BC1与平面A1B1C1所成的角为，则sin=MHBC1=2222=14，即直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为14；解法二、以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，过点D且垂直于平面ADD1A1的直线

29、为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(3，3，0)，A1(4，0，2)，B1(3，3，1)，C1(1，3，2)，BC1=(-2，0，2)，A1C1=(-3，3，0)，B1C1=(-2，0，1)设平面A1B1C1的法向量n=(x，y，z)，由nA1C1=-3x+3y=0nB1C1=-2x+z=0，令x1，得n=(1，3，2)设直线BC1与平面A1B1C1所成的角为，则sin=|cosBC1，n|=22222=14，即直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为1421（12分）在平面直角坐标系xOy中，中心在原点的椭圆C经过点(-332，1)，其右焦点与抛物线y2=45

30、x的焦点重合（）求椭圆C的标准方程；（）设点M（m，0）为长轴上的一个动点，过点M作斜率为23的直线l交椭圆C于A，B两点，试判断|MA|2+|MB|2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【解答】解：（）由题意知椭圆C的两个焦点F1(-5，0)，F2(5，0)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)由274a2+1b2=1a2-b2=5解得，a2=9b2=4故椭圆C的标准方程是x29+y24=1（）由题意可设直线l的方程为y=23(x-m)联立y=23(x-m)x29+y24=1消去y得，2x22mx+m290因为（2m）28（m29）0，所以m(-32，32)因为点M（m，0

31、）为椭圆C长轴上的一个动点，所以m（3，3）此时0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=m，x1x2=m2-92于是|MA|2+|MB|2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22=139(x1-m)2+139(x2-m)2=139(x12+x22)-269m(x1+x2)+269m2=139(x1+x2)2-2x1x2-269m(x1+x2)+269m2=13故|MA|2+|MB|2为定值1322（12分）已知函数f(x)=1(1-x)n+aln(x-1)，其中nN*，a为常数（）当n2时，求函数f（x）的极值；（）当a1时，证明：对任意的正整数n，当x2时，有f（x）x

32、1【解答】解：（）解：由已知得函数f（x）的定义域为x|x1，当n2时，f(x)=1(1-x)2+aln(x-1)，所以f(x)=2-a(1-x)2(1-x)3（1）当a0时，由f（x）0得x1=1+2a1，x2=1-2a1，此时f(x)=-a(x-x1)(x-x2)(1-x)3当x（1，x1）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（x1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增（2）当a0时，f（x）0恒成立，所以f（x）无极值综上所述，n2时，当a0时，f（x）在x=1+2a处取得极小值，极小值为f(1+2a)=a2(1+ln2a)当a0时，f（x）无极值（）证法一：因为a1，所以f(x)=1

33、(1-x)n+ln(x-1)当n为偶数时，令g(x)=x-1-1(1-x)n-ln(x-1)，则g(x)=1+n(x-1)n+1-1x-1=x-2x-1+n(x-1)n+10（x2）所以当x2，+）时，g（x）单调递增，又g（2）0，因此g(x)=x-1-1(x-1)n-ln(x-1)g(2)=0恒成立，所以f（x）x1成立当n为奇数时，要证f（x）x1，由于1(1-x)n0，所以只需证ln（x1）x1，令h（x）x1ln（x1），则h(x)=1-1x-1=x-2x-10（x2），所以当x2，+）时，h（x）x1ln（x1）单调递增，又h（2）10，所以当x2时，恒有h（x）0，即ln（x1）x1命题成立综上所述，结论成立证法二：当a1时，f(x)=1(1-x)n+ln(x-1)当x2时，对任意的正整数n，恒有1(1-x)n1，故只需证明1+ln（x1）x1令h（x）x1（1+ln（x1）x2ln（x1），x2，+），则h(x)=1-1x-1=x-2x-1，当x2时，h（x）0，故h（x）在2，+）上单调递增，因此当x2时，h（x）h（2）0，即1+ln（x1）x1成立故当x2时，有1(1-x)n+ln(x-1)x-1即f（x）x1