2021年新高考数学模拟试卷(11).docx

1、2021年新高考数学模拟试卷（11）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知AxN*|x3，Bx|x24x0，则AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，42（5分）已知直线yx+3与圆x2+y22x2y0相交于A，B两点，则|AB|（）A62B3C6D23（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为-3的直线与双曲线在第一象限的交点为A，且AF1AF2=0，若a=3-1，则F2的坐标为（）A（1，0）B（3，0）C（2，0）D（3+1，0）4（5分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为56和34，两个零

2、件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A12B13C512D165（5分）函数f（x）x2+e|x|的图象只可能是（）ABCD6（5分）诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（）A70B128C140D1507（5分）已知为任意角，则“cos2=1

3、3”是“sin=33”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要8（5分）已知函数f(x)=2x+1+2，x0|log2x|，x0，若关于x的方程f（x）22af（x）+3a0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A(3，165)B(3，165C（3，4）D（3，4二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）对任意实数x，有(2x-3)9a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a9(x-1)9则下列结论成立的是（）Aa2144Ba01Ca0+a1+a2+a91Da0-a1+a2-a3+-a9=-3910（5分）原油价格的走势在一定程度

4、上反映了全球的经济形势如图是2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图下列说法正确的是（）A2008年原油价格波动幅度最大B2008年至2019年，原油价格平均值不断变小C2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值D2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶11（5分）已知函数f（x）3cos2xsin2x+4sinxcosx，则以下说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的最小值为122C直线x=38是图象的一条对称轴D直线x=8是图象的一条对称轴12（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是

5、（）AACB1EBB1C平面A1BDC三棱锥C1B1CE的体积为13D异面直线B1C与BD所成的角为45三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知数列an的各项为正，记Sn为an的前n项和，若an+1=3an2an+1-2an(nN*)，a11，则S5 14（5分）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有 种15（5分）已知二次函数f（x）的图象过点（3，5），（3，5）

6、，（0，4），则f（x）的解析式为 16（5分）四面体ABCD中，ADCDBD2，CDAD，CDBD，二面角ACDB的大小为60，则该四面体外接球的体积为 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设an是等比数列，若a12，且2a2，a3，S36成等差数列（1）求an的通项公式；（2）当an的公比不为1时，设anbn=2n+14n2-1，求证：数列bn的前n项和Tn118（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足tanA2(asinC2+2bcosA2)=acosC2（）求B；（）若b6，求a2+c2的最小值19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB

7、1C1C，已知BCC1=3，BC1，ABC1C2，点E是棱C1C的中点（1）求证：C1B平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由20（12分）随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增，由于该小区建成时间较早没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵，该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：编号x12345年份20142015201620172018数量y（

8、单位：辆）37104147196216（）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量（）为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区，并于2018年底完成了基础设施改造，共划设了120个停车位，由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将这120个车位对业主出租，租期一年，竟拍方案如下：截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格：每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请井并给出自己的报价；根据物价部门的规定，竟价不得超过1200元；申请阶段截止后，将所有申请的业主报

9、价自高到低排列，排在前120位的业主一起报价成交；若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行统计，得到如图频率分布直方图：（1）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）参考公式及数据：回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，a=y-bx，i=15 (xi

10、-x)(yi-y)=45021（12分）已知椭圆E：x24+y2=1，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且AOB的面积为1，其中O为坐标原点（）x12+x22y12+y22为定值；（）设线段AB的中点为M，求|OM|AB|的最大值22（12分）已知函数f（x）2x3+3x212x+6，g（x）为函数f（x）的导函数（1）求证：函数f（x）在区间（1，2）上存在唯一的零点；（2）记x0为函数f（x）在区间（1，2）上的零点设m1，x0），函数h（x）g（x）（mx0）f（m），判断h（m）的符号，并说明理由；求证：存在大于0的常数A，使得对任意的正整数p，q，且p

11、q1，x0），满足|pq-x0|1Aq32021年新高考数学模拟试卷（11）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知AxN*|x3，Bx|x24x0，则AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，4【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4，所以AB1，2，3，故选：A2（5分）已知直线yx+3与圆x2+y22x2y0相交于A，B两点，则|AB|（）A62B3C6D2【解答】解：由x2+y22x2y0，得（x1）2+（y1）22圆x2+y22x2y0的圆心坐标为（1，1），半径为2圆心到直线x+y30的距离d=|1+1-3|

12、2=22，|AB|=2(2)2-(22)2=6故选：C3（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为-3的直线与双曲线在第一象限的交点为A，且AF1AF2=0，若a=3-1，则F2的坐标为（）A（1，0）B（3，0）C（2，0）D（3+1，0）【解答】解：因为AF1AF2=0，所以AF1AF2，又因为kAF2=-3，所以AF1F2=6，则由AF1=3c，根据双曲线的定义可得3cc2a，则c=2(3-1)3-1=2，故选：C4（5分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中

13、恰有一个一等品的概率为（）A12B13C512D16【解答】解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立，所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品P=56(1-34)+(1-56)34=13，故选：B5（5分）函数f（x）x2+e|x|的图象只可能是（）ABCD【解答】解：因为对于任意的xR，f（x）x2+e|x|0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）02+e|0|1，则排除D，故选：C6（5分）诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽

14、象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（）A70B128C140D150【解答】解：由七七数时余两个，可知灯笼数除以7余2，则A，C，D错，故选：B7（5分）已知为任意角，则“cos2=13”是“sin=33”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要【解答】解：若cos2=13，则cos21sin2，sin=33，则cos2=13”是“sin=33”的不充分条件；若sin=33，则cos21sin2，cos2=13，

15、则cos2=13”是“sin=33”的必要条件；综上所述：“cos2=13”是“sin=33”的必要不充分条件故选：B8（5分）已知函数f(x)=2x+1+2，x0|log2x|，x0，若关于x的方程f（x）22af（x）+3a0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A(3，165)B(3，165C（3，4）D（3，4【解答】解：令f（x）t，则g（t）t22at+3a，作f（x）的图象如下，设g（t）t22at+3a的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需g（t）t22at+3a在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，故2a4g(2)0g(4)00或2a

16、4g(4)=00g(2)0，解得3a165或a=165即实数a的取值范围是：（3，165故选：B二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）对任意实数x，有(2x-3)9a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a9(x-1)9则下列结论成立的是（）Aa2144Ba01Ca0+a1+a2+a91Da0-a1+a2-a3+-a9=-39【解答】解：对任意实数x，有(2x-3)9a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a9(x-1)9=1+2（x1）9，a2=-C9222144，故A正确；故令x1，可得a01，故B不正确；令x2，可得a0+a1+a2+a

17、91，故C正确；令x0，可得 a0a1+a2+a939，故D正确；故选：ACD10（5分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势如图是2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图下列说法正确的是（）A2008年原油价格波动幅度最大B2008年至2019年，原油价格平均值不断变小C2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值D2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶【解答】解：由图可知，2008年原油价格波动幅度最大，A对；通过最高价，最低价，并不反应出平均值的大小，得不出结论，B错；因为2013年原油价格最低价都比2018年原油价格最高值大，则20

18、13年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值，C对，由图可知，2016年原油价格波动幅度均小于20美元/桶，D错，故选：AC11（5分）已知函数f（x）3cos2xsin2x+4sinxcosx，则以下说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的最小值为122C直线x=38是图象的一条对称轴D直线x=8是图象的一条对称轴【解答】解：f（x）3cos2xsin2x+4sinxcosx2cos2x+1+2sin2x，=22sin(2x+4)+1，A：结合周期公式可得T，故A正确；B：结合正弦函数的性质可知，当sin（2x+4）1时，函数取得最小值122，故B正确；C：当x=38时，

19、2x+4=，不符合正弦函数对称轴处取得最值的条件，故C错误；D：当x=8时，2x+4=12，符合正弦函数对称轴处取得最值的条件，故D正确；故选：ABD12（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）AACB1EBB1C平面A1BDC三棱锥C1B1CE的体积为13D异面直线B1C与BD所成的角为45【解答】解：如图，ACBD，ACBB1，AC平面BB1D1D，又B1E平面BB1D1D，ACB1E，故A正确；B1CA1D，A1D平面A1BD，B1C平面A1BD，B1C平面A1BD，故B正确；三棱锥C1B1CE的体积为VC1-B1CE=VB1-C1

20、CE=131211=16，故C错误；BDB1D1，CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又CB1D1是等边三角形，异面直线B1C与BD所成的角为60，故D错误故选：AB三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知数列an的各项为正，记Sn为an的前n项和，若an+1=3an2an+1-2an(nN*)，a11，则S5121【解答】解：由an+1=3an2an+1-2an 得：an+12-2an+1an=3an2，an+12-2an+1an-3an2=0，（an+1+an）（an+13an）0，数列an的各项为正数，an+13an0，an+1an=3，数列an是首项为1，公比

21、为3的等比数列，S5=1(1-35)1-3=121，故答案为：12114（5分）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有144种【解答】解：用插空法：先排丁、戊、己三家企业，共有A33中方法，在它们之间的两个空加上两头共有四个空位，从4孔位中任意选三个排列甲、乙、丙三个企业，共有A43种方法由乘法原理可得：甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有=A33A43=144种故答案为：14415（

22、5分）已知二次函数f（x）的图象过点（3，5），（3，5），（0，4），则f（x）的解析式为f（x）x24【解答】解：依题意，f（3）f（3），所以二次函数f（x）关于x0对称，又过（0，4），所以二次函数的解析式为f（x）ax24，又f（3）5，9a45，解得a1，f（x）x24故答案为：f（x）x2416（5分）四面体ABCD中，ADCDBD2，CDAD，CDBD，二面角ACDB的大小为60，则该四面体外接球的体积为282127【解答】解：由CDAD，CDBD，二面角ACDB的大小为60可得ADB60，即三角形ABD为等边三角形，设三角形ABD的外接圆半径为r，则2r=2sin60=223

23、，所以r=23，CDAD，CDBD，ADBDD，CD面ABD，将此三棱锥放在直三棱柱中，设三棱锥的外接球的半径为R，则R2r2+（CD2）2=43+1=73，所以R=213，所以外接球的体积V=43R3=282127，故答案为：282127四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设an是等比数列，若a12，且2a2，a3，S36成等差数列（1）求an的通项公式；（2）当an的公比不为1时，设anbn=2n+14n2-1，求证：数列bn的前n项和Tn1【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q；由2a2，a3，S36成等差数列，a12，2a32a2+S36，即 4q24q+2+2q+2q2

24、6，即 q23q+20，解得q2，或q1，所以an的通项为an=2n 或an2；（2）证明：由（1）知an=2n，anbn=2n+14n2-1；bn=24n2-1=12n-1-12n+1；Tnb1+b2+b3+bn=(1-13)+(13-15)+(12n-1-12n+1)=1-12n+11，故数列an的前n项和 Tn118（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足tanA2(asinC2+2bcosA2)=acosC2（）求B；（）若b6，求a2+c2的最小值【解答】解：（）tanA2(asinC2+2bcosA2)=acosC2，sinA2(asinC2+2bcosA2)

25、=acosA2cosC22bsinA2cosA2=a(cosA2cosC2-sinA2sinC2)，bsinA=acosA+C2=acos-B2=asinB2，由正弦定理得sinBsinA=sinAsinB2，sinA0，2sinB2cosB2=sinB2，sinB20，cosB2=12，0B，B=23（）法一：因为B=23，b6，由余弦定理得：b2a2+c22accosB，a2+c2+ac36，由基本不等式得：aca2+c22（当且仅当ac时“”成立），a2+c224，a2+c2的最小值为24法二：因为B=23，A+C=3，b6，由正弦定理得：asinA=csinC=6sin23=43，a=

26、43sinA，c=43sinC，a2+c2=48(sin2A+sin2C)=48(1-cos2A2+1-cos2C2)=48-24cos2A+cos(23-2A)=48-24(12cos2A+32sin2A)=48-24sin(2A+6)，0A3，62A+656，则12sin(2A+6)1，24a2+c236，a2+c2的最小值为2419（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，已知BCC1=3，BC1，ABC1C2，点E是棱C1C的中点（1）求证：C1B平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA

27、的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：BC1，CC12，BCC1=3，BC1=3，BC2+BC12CC12，得BC1BC，又AB侧面BB1C1C，ABBC1，又ABBCB，C1B平面ABC；（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），B1（1，3，0），A1（1，3，2），E（12，32，0），C（1，0，0）则EB1=（-32，32，0），B1A1=（0，0，2）设平面A1EB1的法向量为m=（x，y，z），则mEB1=-32x+32y=0mB1A1=2z=0，令x1，求得m=（1，3，0）假设在棱CA上存在一点M

28、（a，b，c），使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111，不妨设CM=CA，0，1又CM=（a1，b，c），CA=（1，0，2），a-1=-y=0c=2，M（1，0，2），EM=（12-，-32，2），又平面A1B1E的法向量为m=（1，3，0），则EM与平面A1B1E所成角的正弦值为：|cosEM，m|=|EMm|EM|m|=|12-32|(12-)2+34+422=21111，化简得69238+50，解得=13或=523在棱CA上存在点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111此时CMCA=13或52320（12分）随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数

29、量与日俱增，由于该小区建成时间较早没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵，该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：编号x12345年份20142015201620172018数量y（单位：辆）37104147196216（）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量（）为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区，并于2018年底完成了基础设施改造，共划设了120个停车位，由

30、于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将这120个车位对业主出租，租期一年，竟拍方案如下：截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格：每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请井并给出自己的报价；根据物价部门的规定，竟价不得超过1200元；申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主一起报价成交；若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行统计，得到如图频率分布直方图：（1）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于10

31、00元的人数；（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）参考公式及数据：回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，a=y-bx，i=15 (xi-x)(yi-y)=450【解答】解：（）由表中数据，计算得x=15（1+2+3+4+5）3，y=15（37+104+147+196+216）140， b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=450(-2)2+(-1)2+0+12+22=45010=45，a=y-bx=1

32、404535故所求线性回归方程为y=45x+5，令x7，得y=457+5320；（）（i）由频率直方图可知，有意竞拍报价不低于1000元的频率为：（0.25+0.05）10.3，共抽取40位业主，则400.312，有意竞拍不低于1000元的人数为12人（ii）由题意，120216=59由频率直方图估算知，报价应该在9001000之间，设报价为x百元，则（10x）0.4+0.3=59解得x9.36至少需要报价936元才能竞拍成功21（12分）已知椭圆E：x24+y2=1，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且AOB的面积为1，其中O为坐标原点（）x12+x22y12

33、+y22为定值；（）设线段AB的中点为M，求|OM|AB|的最大值【解答】解：（）当直线l的斜率不存在，设l：xm，代入椭圆方程可得y21-m24，由AOB的面积为1，可得12|m|21-m24=1，解得m2，则x12+x22y12+y22=2m22-m22=4；当直线l的斜率存在，设ykx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t240，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=-8kt1+4k2，x1x2=4t2-41+4k2，|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(-8kt1+4k2)2-4(4t2-4)1+4k2=1+k241+4k2-t21

34、+4k2，由AOB的面积为1，可得12|t|1+k2|AB|1，化简可得1+4k22t2，则x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=（-8kt1+4k2）224t2-41+4k2=4(1+8k2+16k4)(1+4k2)2=4，而x12+x22y12+y22=x12+x222-14(x12+x22)=4，综上可得，x12+x22y12+y22为定值4；（）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|=2，|AB|=2，则|OM|AB|2；当直线的斜率存在时，由（）可得x0=x1+x22=-4kt1+4k2，y0kx0+t=t1+4k2，则|OM|=x02+y02=16k2t2(1+

35、4k2)2+t2(1+4k2)2=|t|1+16k21+4k2，可得|OM|AB|=|t|1+16k21+4k21+k241+4k2-t21+4k2=1291t4-301t2+16t2=2k2+1212，01t22可知|OM|AB|2综上，|OM|AB|的最大值为222（12分）已知函数f（x）2x3+3x212x+6，g（x）为函数f（x）的导函数（1）求证：函数f（x）在区间（1，2）上存在唯一的零点；（2）记x0为函数f（x）在区间（1，2）上的零点设m1，x0），函数h（x）g（x）（mx0）f（m），判断h（m）的符号，并说明理由；求证：存在大于0的常数A，使得对任意的正整数p，q，

36、且pq1，x0），满足|pq-x0|1Aq3【解答】解：（1）证明：由f（x）2x3+3x212x+6得f（x）6x2+6x126（x1）（x+2），易知函数f（x）在（1，2）上为增函数，而f（1）f（2）1100，且函数f（x）在（1，2）上的图象不间断，函数f（x）在区间（1，2）上存在唯一的零点；（2）h（m）的符号为正，理由如下：x0为函数f（x）在区间（1，2）上的零点，f（x0）0，函数h（x）g（x）（mx0）f（m），h（m）g（m）（mx0）f（m），则h（m）g（m）（mx0）+g（m）f（m）g（m）（mx0）6（2m+1）（mx0），m1，x0），h（m）0，从而函数

37、h（m）在区间1，x0）上单调递减，h（m）h（x0）f（x0）0；证明：对任意的正整数p，q，且pq1，x0），令m=pq，函数h（x）g（x）（mx0）f（m），则h（x0）g（x0）（mx0）f（m），记F（m）g（x0）（mx0）f（m），则F（m）g（x0）f（m）f（x0）f（m），当m1，x0）时，由，（1）知，F（m）f（x0）f（m）0，F（m）在区间1，x0）上单增，故F（m）F（x0）f（x0）0，即h（x0）0，由（2）知，h（m）0，所以h（m）h（x0）0，函数h（x）在（m，x0）上存在零点，从而在1，x0）存在零点，不妨设x1为函数h（x）在1，x0）的一个零点，则h(x1)=g(x1)(m-x0)-f(m)=g(x1)(pq-x0)-f(pq)=0，从而pq-x0=f(pq)g(x1)，由（1）知，函数g（x）在区间1，2上单调递增，所以0g（1）g（x1）g（2），于是|pq-x0|=|f(pq)g(x1)|f(pq)g(x2)|=|2p3+3p2q-12pq2+6q3g(2)q3|，由（1）知，函数f（x）在区间（1，2）上存在唯一零点x0，而pq1，x0)，所以f(pq)0，又p，q为正整数，所以|2p3+3p2a12pq2+6q3|为正整数，从而|pq-x0|1|g(2)q3|=1g(2)q3，所以存在正常数Ag（2），满足题设