2020年辽宁省高考数学(理科)模拟试卷.docx

1、2020年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（1）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）设全集Ux|x0，Mx|1exe2，则UM（）A（1，2）B（2，+）C（0，12，+）D2，+）2（5分）若复数z满足z（1i）2i（i是虚数单位），则|z|为（）A13B12C14D153（5分）已知，（0，），则“sin+sin13”是“sin（+）13”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）若a=(94)12，b3log83，c=(23)13，则a，b，c的大小关系是（）AcbaBabcCbacDcab5（5分）公元263年左右，我国数学家

2、刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：31.732，sin150.2588，sin7.50.1305）A12B24C36D486（5分）由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为（）A288B360C480D6007（5分）如图，B是AC上一点，分别以AB，BC，AC为直径作半圆从B作BDAC，与半圆相交于DAC6，BD=22，在整个图形中随机取一点，

3、则此点取自图中阴影部分的概率是（）A29B13C49D238（5分）设变量x，y满足约束条件x+y1，2x-y2，x-y+10，则z（x3）2+y2的最小值为（）A2B455C4D1659（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足A1PAC1，则线段A1P长度的取值范围（）A62，2B62，3C1，2D2，310（5分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A12B212C414D1011（5分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA=a，OB=b

4、，其中a=（1，2），b=（2，1），平面区域D由所有满足OP=a+b，（01）的点P（x，y）组成，点P使得zax+by（a0，b0）取得最大值3，则1a+2b的最小值是（）A3+22B42C2D312（5分）若函数f（x）mx2+4mx+30在R上恒成立，则实数m的取值范围是（）A0，23）B0，34）C（34，+）D（0，23）二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）正项等比数列an满足a1+a3=54，且2a2，12a4，a3成等差数列，则（a1a2）（a2a3）（anan+1）取得最小值时的n值为 14（5分）若a=0ln3 exdx，则(x2-ax)6）展开式的常数

5、项为 15（5分）已知抛物线y24x上有三点A，B，C，直线AB，BC，AC的斜率分别为3，6，12，则ABC的重心坐标为 16（5分）已知函数f（x）=12x2-ex-1ex+1，若f（4m）f（m）84m，则实数m的取值范围为 三解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+1（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）2，a+b4，且ABC的面积为33，求ABC外接圆的半径18（12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初中毕业学生进行体育测试，是激发学

6、生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施某市2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分某学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图（如图），且规定计分规则如表：每分钟跳绳个数155，165）165，175）175，185）185，+）得分17181920（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态

7、分布N（，2），用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S2169（各组数据用中点值代替）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：（）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）（）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望附：若随机变量X服从正态分布N（，2），则P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0

8、.997419（12分）如图，在四棱柱ABCDABCD中，底面ABCD为等腰梯形，DAABBC1，DC2平面DCCD平面ABCD，四边形DCCD为菱形，DDC60（）求证：DABC；（）求DA与平面BCCB所成角的正弦值20（12分）椭圆M的中心在坐标原点O，左、右焦点F1，F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点O，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A （3，26）（）求椭圆M与抛物线N的方程；（）在抛物线M位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点B，使得AF1B的外接圆圆心在x轴上？若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由21（12分）已知函数f(x)=alnx+12x2(aR)

9、（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为4x2y30，求实数a的值；（2）当a0时，证明函数g（x）f（x）（a+1）x恰有一个零点22（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=ty=t（t为参数），点A（1，0），B（3，-3），若以直角坐标系xOy的O点为极点，x轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系（1）求直线AB的极坐标方程；（2）求直线AB与曲线C交点的极坐标2020年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）设全集Ux|x0，Mx|1exe2，则UM（）A（1，2）B（2，+）C（0，

10、12，+）D2，+）【解答】解：Ux|x0，Mx|0x2，UM2，+）故选：D2（5分）若复数z满足z（1i）2i（i是虚数单位），则|z|为（）A13B12C14D15【解答】解：由z（1i）2i，得z=i(1-i)2=i-2i=-12，|z|=12故选：B3（5分）已知，（0，），则“sin+sin13”是“sin（+）13”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：，（0，），sin（+）sincos+cossinsin+sin13，（0，），则“sin+sin13”是“sin（+）13”的充分不必要条件故选：A4（5分）若a=(94)12，b

11、3log83，c=(23)13，则a，b，c的大小关系是（）AcbaBabcCbacDcab【解答】解：a=(94)12=32，b3log83log23log28=32，c=(23)13（23）01，a，b，c的大小关系是cab故选：D5（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：31.732，sin150.2588，sin7.50.1305）A12

12、B24C36D48【解答】解：模拟执行程序，可得：n6，S3sin60=332，不满足条件S3.10，n12，S6sin303，不满足条件S3.10，n24，S12sin15120.25883.1056，满足条件S3.10，退出循环，输出n的值为24故选：B6（5分）由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为（）A288B360C480D600【解答】解：根据题意，末位数字可以为1、3、5，有A31种取法，首位数字不能为0，有A41种取法，再选3个数字，排在中间，有A43种排法，则五位奇数共有A31A41A43288，故选：A7（5分）如图，B是AC上一点，分别以A

13、B，BC，AC为直径作半圆从B作BDAC，与半圆相交于DAC6，BD=22，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）A29B13C49D23【解答】解：连接AD，CD，可知ACD是直角三角形，又BDAC，所以BD2ABBC，设ABx（0x6），则有8x（6x），得x2，所以AB2，BC4，由此可得图中阴影部分的面积等于322-(122+222)=2，故概率P=2129=49，故选：C8（5分）设变量x，y满足约束条件x+y1，2x-y2，x-y+10，则z（x3）2+y2的最小值为（）A2B455C4D165【解答】解：画出变量x，y满足约束条件x+y1，2x-y2，x-y+

14、10，的可行域，可发现z（x3）2+y2的最小值是（3，0）到2xy20距离的平方取得最小值：(6-24+1)2=165故选：D9（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足A1PAC1，则线段A1P长度的取值范围（）A62，2B62，3C1，2D2，3【解答】解：AC1平面BDA1，所以点P的轨迹就是线段BD，满足A1PAC1，所以P在B或D时A1P最长为2，在BD中点时A1P最短为62，故选：A10（5分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A12

15、B212C414D10【解答】解：取AC的中点E，做EFAF与F，连接PF可得PFAF，过E做垂直于面ABC的直线，由题意可得外接球的球心直线直线EO上，设球心为O，过O做OM面PAF交于M，由正方体性质可得，M在PF上，四边形OEFM为矩形，MFOE，OMEF，PFAB2，连接PO，OC可得都是外接球的半径，由题意可得：CE=22AB=2，EF=AB2=1，在三角形OEC中，OC2OE2+EC2OE2+（2）22+OE2，在三角形POM中，OP2OM2+（PFFM）212+（2OE）2，两式联立可得：2+OE21+（2OE）2，解得：OE=34，所以OC22+（34）2=4116，所以外接球

16、的表面积S4OC2=414，故选：C11（5分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA=a，OB=b，其中a=（1，2），b=（2，1），平面区域D由所有满足OP=a+b，（01）的点P（x，y）组成，点P使得zax+by（a0，b0）取得最大值3，则1a+2b的最小值是（）A3+22B42C2D3【解答】解：a=（1，2），b=（2，1），平面区域D由所有满足OP=a+b，点P（x，y）x=+2y=2+即=-13x+23y=23x-13y012x-y-302y-x-30xyx0，y0可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b6，由基本不等式得1a+2b=（1a+2b）（a+b）3+ba

17、+ab3+22，当且仅当b=2a时“”成立，12（5分）若函数f（x）mx2+4mx+30在R上恒成立，则实数m的取值范围是（）A0，23）B0，34）C（34，+）D（0，23）【解答】解：mx2+4mx+30在R上恒成立，当m0时，30恒成立；当m0时，不等式不恒成立；当m0且16m212m0，即为m0且0m34，即有0m34，综上可得实数m的取值范围是0m34故选：B二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）正项等比数列an满足a1+a3=54，且2a2，12a4，a3成等差数列，则（a1a2）（a2a3）（anan+1）取得最小值时的n值为2【解答】解：正项等比数列an的

18、公比设为q，a1+a3=54，且2a2，12a4，a3成等差数列，可得a1+a1q2=54，a42a2+a3，即q22+q，解得q2，a1=14，则an=142n12n3，anan+12n32n222n5，则（a1a2）（a2a3）（anan+1）232122n5232+2n52n(2n-8)2=2n2-4n=2(n-2)2-4，当n2时，（a1a2）（a2a3）（anan+1）取得最小值，故答案为：214（5分）若a=0ln3 exdx，则(x2-ax)6）展开式的常数项为240【解答】解：若a=0ln3 exdx=ex|0ln3=eln3e02，则(x2-ax)6=(x2-2x)6，它的展

19、开式通项公式为 Tr+1=C6r（2）rx123r，令123r0，求得r4，可得它的 展开式的常数项为C6416240，故答案为：24015（5分）已知抛物线y24x上有三点A，B，C，直线AB，BC，AC的斜率分别为3，6，12，则ABC的重心坐标为（35432，718）【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由y12=4x1y22=4x2，两式相减得（y1y2）（y1+y2）4（x1x2），所以直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=4y1+y2，因为y1+y2=43，同理可得：kBC=4y2+y3，kAC=4y1+y3，y2+y3=46=23，y1+y3=

20、412=13，所以y1+y2+y3=76，所以y3=-16，y2=56，y1=12，所以x3=1144，x2=25144，x1=116，因此x1+x2+x3=35144，所以ABC的重心坐标（35432，718），故答案为：（35432，718）16（5分）已知函数f（x）=12x2-ex-1ex+1，若f（4m）f（m）84m，则实数m的取值范围为2，+）【解答】解：f（x）=12x2-ex-1ex+1，f（x）-12x2=-ex-1ex+1，设g（x）f（x）-12x2=-ex-1ex+1，则g（x）=-e-x-1e-x+1=-1-ex1+ex=ex-1ex+1=-g（x），即g（x）是奇

21、函数，g（x）=-ex-1ex+1=-ex+1-2ex+1=-1+2ex+1，则g（x）在（，+）上为减函数，f（x）=12x2+g（x）f（4m）f（m）84m，等价为12（4m）2+g（4m）g（m）-12m284m，即g（4m）g（m）+84m84m，即g（4m）g（m）0，即g（4m）g（m）g（x）在（，+）上为减函数，4mm，即m2，即实数m的取值范围是2，+），故答案为：2，+）三解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+1（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C

22、）2，a+b4，且ABC的面积为33，求ABC外接圆的半径【解答】解：（1）函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+1=32sin2x+12cos2x+32=sin(2x+6)+32，故最小正周期T=22=；令2+2k2x+632+2k，解得：6+kx23+k，kZ故函数的单调递减区间为：6+k，23+k，kZ（2）由f（C）2，可得sin(2C+6)=12，又0C，所以62C+6136，所以2C+6=56，从而C=3由S=33=12absin3，ab=43，由余弦定理有：c2（a+b）22ab2abcosC（a+b）23ab12，c=23，由正弦定理有：R=12csinC=218（12

23、分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初中毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施某市2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分某学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图（如图），且规定计分规则如表：每分钟跳绳个数155，165）165，175）175，185）185，+）得分17181920（1）现从样本的100名学生中，

24、任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N（，2），用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S2169（各组数据用中点值代替）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：（）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）（）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望附：若随机变量

25、X服从正态分布N（，2），则P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974【解答】（12分）解：（）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分， P=C62+C61C121C1002=291650 （3分）（）X=1600.06+1700.12+1800.34+1900.30+2000.1+2100.08185（个）（5分）又2169，13，所以正式测试时，185，13，172（）P（182）1-1-0.68262=0.8413，0.841320001682.61683（人） （7分）（）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1

26、人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即B（3，0.5），P（0）=C30(1-0.5)3=0.125，P（1）=C310.5(1-0.5)2=0.375，P（2）=C320.52(1-0.5)=0.375，P（3）=C330.53=0.125，的分布列为0123P0.1250.3750.3750.125E（）30.51.5 （12分）19（12分）如图，在四棱柱ABCDABCD中，底面ABCD为等腰梯形，DAABBC1，DC2平面DCCD平面ABCD，四边形DCCD为菱形，DDC60（）求证：DABC；（）求DA与平面BCCB所成角的正弦值【解答】方法一、解：（）证明：连接DB、BA，

27、取DC中点H，连接DH、HB等腰梯形ABCD中，DAABBC1，DC2DCB60，DBBC又在菱形DCCD中，DDC60，DHBC又平面DCCD平面ABCD，交线为DC，DH底面ABCDDADAHB，DADAHB，四边形HBDA为平行四边形，DHABAB底面ABCD，ABBC，又AB，DB相交，BC平面ADB，BCDA（）解：取DC中点K，连接AH，HK，KA，AH，DB相交于点O，连接AO，显然平面AHKA平面BCCBBC平面ADB，平面BCCB平面ADB，平面AHKA平面ADB，交线为AO，DAO为DA与平面BCCB所成角tanDAB=BDBA=1，tanOAB=OBBA=12，tanDA

28、O=1-121+112=13，sinDAO=1010DA与平面BCCB所成角的正弦值为1010方法二、解：（）证明：取DC中点O，连接OD四边形DCCD为菱形，DDC60，ODCD又平面DCCD平面ABCD，交线为DC，OD底面ABCD以O为原点如图建立空间直角坐标系，则D（0，1，0），C（0，1，0），A(32，-12，0)，B(32，12，0)，D(0，0，3)DA=DA+AA=DA+DD=(32，12，0)+(0，1，3)=(32，32，3)，BC=(-32，12，0)，DABC=-34+34+0=0，DABC（）CC=DD=(0，1，3)，设平面BCCB的法向量为m=(x，y，z)，

29、则mCC=y+3z=0mBC=-32x+12y=0，取y3，得m=(3，3，-3)，|cosm，DA|=6-3615=1010DA与平面BCCB所成角的正弦值为101020（12分）椭圆M的中心在坐标原点O，左、右焦点F1，F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点O，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A （3，26）（）求椭圆M与抛物线N的方程；（）在抛物线M位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点B，使得AF1B的外接圆圆心在x轴上？若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（ab0），抛物线的方程为y22px（p0），A （3，2

30、6）在抛物线上，可得246p，即p4，可得抛物线N的方程为y28x；由题意可得椭圆的c2，即F1（2，0），F2（2，0），由椭圆的定义可得2a|PF1|+|PF2|=(3+2)2+(26)2+(3-2)2+(26)2=7+512，即a6，可得b2a2c232，则椭圆M的方程为x236+y232=1；（）在抛物线M位于椭圆内（不含边界）的段曲线上，假设存在点B，使得AF1B的外接圆圆心H在x轴上，可设H（t，0），由外接圆的圆心H在线段F1A的垂直平分线上，也在线段F1B的垂直平分线上，设B（2m2，4m），（02m23），由kAF1=265，可得线段F1A的垂直平分线的斜率为-526，且线段

31、F1A的中点坐标为（12，6），线段F1A的垂直平分线的方程为y-6=-526（x-12），可令y0，可得x=2910，即有t=2910；同理可得线段F1B的垂直平分线方程为y2m=-1+m22m（xm2+1），代入H（2910，0）可得2m=-1+m22m（2910-m2+1），化为10m4+11m2390，解得m2=32（-135舍去），这与02m23矛盾，故不存在这样的B点，使得AF1B的外接圆圆心H在x轴上21（12分）已知函数f(x)=alnx+12x2(aR)（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为4x2y30，求实数a的值；（2）当a0时，证明函数g（x）f（x）（a

32、+1）x恰有一个零点【解答】解：（1）函数f(x)=alnx+12x2(aR)的导数为f(x)=ax+x，由切线的斜率为2得f（1）a+12a1；（2）证明：g(x)=alnx+12x2-（a+1）x，x0，g(x)=ax+x-(a+1)=(x-a)(x-1)x，当0a1时，由g（x）0得0xa或x1，g（x）0得ax1，g（x）在（0，a）上递增，在（a，1）上递减，在（1，+）上递增又g(a)=alna+12a2-(a+1)a=a(lna-12a-1)0，g（2a+2）aln（2a+2）0，当0a1时函数g（x）恰有一个零点；当a1时，g（x）0恒成立，g（x）在（0，+）上递增又g(1)

33、=12-20，g（4）ln40，所以当a1时函数g（x）恰有一个零点；当a1时，由g（x）0得0x1或xa，g（x）0得1xa，g（x）在（0，1）上递增，在（1，a）上递减，在（a，+）上递增又g(1)=-a-120，g（2a+2）aln（2a+2）0，当a1时函数g（x）恰有一个零点综上，当a0时，函数g（x）f（x）（a+1）x恰有一个零点22（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=ty=t（t为参数），点A（1，0），B（3，-3），若以直角坐标系xOy的O点为极点，x轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系（1）求直线AB的极坐标方程；（2）求直线AB与曲线C交点的极坐标【解答】解：（1）由点A（1，0），B（3，-3），所以直线AB的直角坐标方程为：3x+2y-3=0，（2分）化为极坐标方程是：3cos+2sin=3；（4分）（2）曲线C的参数方程是x=ty=t（t为参数），消去参数，化为普通方程是：y2x（y0）；（6分）由3x+2y=3y2=x(y0)，解得x=13y=33，即交点的直角坐标为(13，33)；（8分）化为极坐标是：(23，3)（10分）