人教版新课标高中数学必修4-全册教案.doc

1、 高中数学必修4教案 按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.11 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角 的集合的书写 （三） 情感与态度目标 1 提高学生的推理能力； 2培养学生应用意识 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写 教学过程 一、引入： 1回顾角的定义 角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 角的第二种定义是角可以看成平面内一条

2、射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 形成的图形 二、新课： 1角的有关概念： 角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 角的名称： 始边 B 终边 角的分类： O A 顶点 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 注意： 在不引起混淆的情况下，“角 ”或“ ”可以简化成“ ”； 零角的终边与始边重合，如果是零角 =0； 角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角 练习：请说出角、各是多少度? 2象限角的概念： 定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)

3、在第几象限，我们就说这个角是第几象限角 例1如图中的角分别属于第几象限角？ y y B 1 45 30 x x o 60 O O B 2 B 3 例2在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角 1 高中数学必修4教案 60； 120； 240； 300； 420； 480； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角 3探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k360 ， kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和 注意： kZ 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，

4、它们 相差 360的整数倍； 角 + k720与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角 例3在0到360范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角 120；640；95012 答：240,第三象限角；280,第四象限角；12948,第二象限角； 例4写出终边在y轴上的角的集合(用0到360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ y=x例5写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式360720的元素写出来 4课堂小结 角的定义； 角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 象限角； 终边相同的角的表示

5、法 5课后作业： 阅读教材P-P； 教材P练习第1-5题； 教材P.9习题1.1第1、2、3题 255 a思考题：已知角是第三象限角，则2，各是第几象限角？ 2 a Q解：角属于第三象限， k360+180k360+270(kZ) 因此，2k360+36022k360+540(kZ) 即(2k +1)3602(2k +1)360+180(kZ) 故2是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角 a又k180+90k180+135(kZ) 2 a n360+135(nZ) ， 当k为偶数时，令k=2n(nZ)，则n360+90 2 a此时，属于第二象限角 2 a当k为奇数时，令k=2n+1 (nZ

6、)，则n360+270n360+315(nZ) ， 2 2 高中数学必修4教案 a此时，属于第四象限角 2 a因此属于第二或第四象限角 2 1.1.2弧度制（一） 教学目标 （四） 知识与技能目标 理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数 （五） 过程与能力目标 能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式， 并能运用公式解决一些实际问题 （六） 情感与态度目标 通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制 与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下

7、的简洁美 教学重点 弧度的概念弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明 教学难点 “角度制”与“弧度制”的区别与联系 教学过程 一、复习角度制： 初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 1规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制 360二、新课： 1引 入： 由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度弧度制，它是如何定义呢？ 2定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1弧度记做1rad在实际运算中，常常将ra

8、d单位省略 3思考： a（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？ （2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： p p 2r r pp =;=2.半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为 r r正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 l.零角的弧度数是零 角的弧度数的绝对值|= r4角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度： 3 高中数学必修4教案 p p n p p 1=0.01745radn=rad 360=2180= ； ； 180 180将弧度化为角度： 180n 180 =盎? ) n=( 1rad()57.305718 2p=3

9、60 p=180 ； ； p p5常规写法： 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少 的形式, 不必写成小数 弧度与角度不能混用 6特殊角的弧度 角030456090120135150180270360度 p pp p p p pp 2353弧 p p 2 0 度 462 4323 67弧长公式 l ?lr aa= r弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 例1把6730化成弧度 3 prad例2把化成度 5例3计算： p (1)sin (2)tan1.5 ； 4例4将下列各角化成0到2的角加上2k（kZ）的形式： p 19 (1) (2)-315 ； 3例5将下列各角化成2k

10、 + (kZ,02)的形式,并确定其所在的象限 p p 31 19 (2)-(1) ； 3 6 l R pp 197 p =2+,解: (1) 36 O p 719p 而是第三象限的角,是第三象限角. 3 6 31p5p31p =-6p+,-(2) 是第二象限角. 666 1 例 6.利用弧度制证明扇形面积公式S=lR,其中l是扇形弧长,R是圆的半径. 2 1 2 2 p p R R ,又扇形弧长为l,半径为证法一:圆的面积为,圆心角为1rad的扇形面积为 p 2R, ll11 2 S=R=lR rad, 扇形面积 扇形的圆心角大小为 RR22 2 p nR S=证法二:设圆心角的度数为n，则

11、在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长 360 4 高中数学必修4教案 p p nR1nR1 l=R=lRS= ， 18021802 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多 11 2 a 扇形面积公式:S=lR=R 227课堂小结什么叫1弧度角? 任意角的弧度的定义“角度制”与“弧度制”的联系与区别 8课后作业： 阅读教材PP； 6 8教材P练习第1、2、3、6题； 9教材P10面7、8题及B2、3题 4-1.2.1任意角的三角函数（三） 教学目的： 知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余

12、弦、正切的三角函数值； 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、 值域有更深的理解。 德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程： 一、复习引入： 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式 paa sin(2k+)=sin(kZ) paa cos(2k+)=cos(kZ) paa tan(2k+)=tan(kZ) 的值是 o tan600_. D 练习1. 33 A.- B. C.-3 D.3

13、 33 .若sincos0,则在_ B 练习2. 第一、二象限 第一、三象限 A. B. 第一、四象限 第二、四象限 C. D. q若cos0，且sin20则的终边在_练习3. C A.第一象限 B.第三象限 C.第四象限 D.第二象限二、讲解新课： 22 x+y=1 P(x,y)当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的 5 高中数学必修4教案 几何表示三角函数线。 1有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2三角函数线的定义： a x O 设任意角的顶点在原点

14、，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (x,y) ， a x PM A(1,0) 过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向 y y T 延 T 长线交与点. P P A A o x o M x M T yy （） （） T A M o M A x o x PT P （） （） 由四个图看出： a OM=x,MP=y 当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有 yyxxyMPAT a a a sin=y=MPcos=x=OMtan=AT ， ， r1r1xOMOA MP,OM,AT 我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。 说明： a x（1）三条有向线段

15、的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线 xx 在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上， 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。 a（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂 a 足；正切线由切点指向与的终边的交点。 yy xx（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的 为负值。 （4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 4例题分析： 例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 p p p p 5213 - （1）； （2）； （3）； （4） 6 336 6

16、 高中数学必修4教案 解：图略。 p aaa 若01. 例2. 2 例3.比较大小： 2424 pppp (1)sin与sin(2)cos与cos 3535 24 pp (3)tan与tan 35 1 p 例4.在0，2上满足sinx的x的取值范围是() 2 pppppp 525 p A.0, B.， C.， D.， 666636 例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围 11 (1)sinx. 22 pppp 711 pp pp +2kx+2k,kZ-+2kx 1 sina 2 tana 2 3 y y 解： 1 2 30 T PP 2 1 o x o x A 7 210 高中数学必修

17、4教案 30a150 30a90或210a270 cos64,cos285 补充：1利用余弦线比较的大小； pp q q q q sincostan 2若，则比较、的大小； 42 q 3分别根据下列条件，写出角的取值范围： 33 q q q cos- tan-1（1） ； （2） ； （3） 22 4-1.2.1任意角的三角函数（1） 教学目的： 知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数

18、； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分 析、探究、解决问题的能力。 德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与 比值（函数值）的一种联系方式； （2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重 点。 教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用他 们的集合形式表示出来. 教学过程： 一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在

19、RtABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依 aba sinA=,cosA=,tanA= 次为 ccb 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课： 1三角函数定义 P (x,y) 在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为， 2222 r(r=|x|+|y|=x+y0) 它与原点的距离为，那么 8 高中数学必修4教案 yy a a sin= sin 叫做的正弦，记作，即； （1）比值 rr xx a a coscos= （2）比值叫做的余弦，记作，即； r r yy a a tan= tan （

20、3）比值叫做的正切，记作，即； xx xx a a cot= cot （4）比值叫做的余切，记作，即； yy x说明：的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及 的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置； P(x,y) 根据相似三角形的知识，对于确定的角，四个比值不以点在的终边上 的位置的改变而改变大小； p ap x =+k(kZ) y 当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等 2 0 于， y x a ap a tan= cot= =k(kZ) 无意义；同理当时，无意义； 所以 x y yxy x 除以上两种情况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的实 r xr

21、 y 数， 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为 三角函数。 2三角函数的定义域、值 函 数 定 义 域 值 域 域 a y=sin-1,1 R a y=cos -1,1 R p a y=tan aap |+k,kZ R 2注意： (1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合 (2) 是任意角，射线OP是角的终边，的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了 几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关. a(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数

22、的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程. (5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 3例题分析 例1求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总

23、结特殊角的三角函数值） 9 高中数学必修4教案 p 3 p 0 （1）； （2）； （3） 2 a x=r y=0 =0 解：（1）因为当时，所以 sin0=0cos0=1tan0=0 cot0 ， ， ， 不存在。 ap =x=-r y=0 （2）因为当时，所以 p p p p sin=0cos=-1tan=0 cot ， ， ， 不存在， p 3 a = x=0 y=-r （3）因为当时，所以 2 p p p p 3333 sin=-1cos=0tan=0cot ， ， ， 不存在， 2 222 P(2,-3)例2已知角的终边经过点，求的四个函数值。 22 r=2+(-3)=13 x=2,

24、y=-3 解：因为，所以，于是 y-3313x2213 a a cos=-=sin= ； ； r13r13 1313 x2 y3 a a tan=- cot=- ； x2 y3 (a,2a)(a0)例3已知角的终边过点，求的四个三角函数值。 (a,2a)(a0)x=a,y=2a r=5|a| 解：因为过点，所以， y2a2a25 xa5a a a cos= a0时，sin= 当； r5 r5 5a 5|a|5a 15 ； aaaa tan=2;cot=;sec=5;csc= 22 y2a2a25 a a0,r0y0 对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）； 正弦值 r x x0,r

25、0x0 余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）； r y x,yx,y 正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号） x 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 练习： 确定下列三角函数值的符号： p p 11 sin(-)tan cos250 tan(-672)（1）； （2）； （3）； （4） 43 a a q sin0例4求证：若且，则角是第三象限角，反之也成立。 5诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有： apa sin(+2k)=sin ， apa kZ cos(+2k)=cos ，其中 10 高中数

26、学必修4教案 apa tan(+2k)=tan ， 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题 p p 911 cos)tan(-例5求下列三角函数的值：（1）， ， （2） 4 6 cosx tanx y=+例6求函数的值域 cosxtanx 解： 定义域：cosx0 x的终边不在x轴上 又tanx0 x的终边不在y轴上 x0,y0 当x是第象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 x0,|cosx|=-cosx |tanx|=-tanx y=-2 x0,y0,y0) sin=cos=tan= ，那么：， rrx2当角分别在不同的象限时

27、，sin、cos、tg的符号分别是怎样的？ 3 sinA=3背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值； 54问题：由于的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角的三个三角函数之间有什么关系？ 二、讲解新课： （一）同角三角函数的基本关系式： 11 高中数学必修4教案 （板书课题：同角的三角函数的基本关系） 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： a sin 22 a aa tan= sin+con=1 （1）商数关系： （2）平方关系： a con 说明： 22 aa sin4+cos4=1 注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等； 注意这些关系式都是对于使它们有意义的

28、角而言的，如 p k aaa tancot=1(,kZ) ； 2 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如： a sin 2 22 a aa aa cos= cos=1-sin sin=1-cos 等。 ， ， a tan2例题分析： 一、求值问题 12 a a aaa sin= cos,tan,cot例1（1）已知，并且是第二象限角，求 13 4 a aa cos=- sin,tan（2）已知，求 5 125 22 aa sin+cos=1 2222 aa cos=1-sin=1-()=()解：（1）， 1313 5 a a a cos=- cos0 又是第二象限

29、角， ，即有，从而 13 a sin1215 a a tan=-cot=- a a cos5tan12 ， 43 2222 22 aa aa sin=1-cos=1-(-)=() sin+cos=1（2）， ， 55 4 a a 0 =-sin=tan= ； 当在第二象限时，即有，从而， a 5cos4 a 3sin3 a a a a =sin=-tan= sin0 cos= 当在第一、四象限时，即有，从而， 22 aa 1+tan1+tan 2 aa tan1+tan aaa sin=tancos=； 2 a 1+tan 2 a 11+tan a a a cos0 cos=-=- 当在第二、

30、三象限时，即有，从而， 22 aa 1+tan1+tan 2 aa tan1+tan aaa sin=tancos=- 2 a 1+tan aa sin-4cos sina=2cosa 例3、已知，求 22 aaaa 2sin+2sincos-cos aa 5sin+2cos Qsina=2cosatana=2 解： sina-4cosatana-4-21 =- 5sina+2cosa5tana+2126强调（指出）技巧：1 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 a cos 注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、 a tan 分母转化为的代数式； 2 “化1法

31、” 22 aa sin+cos=1 可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关 a tan 系化归为的分式求值； 小结：化简三角函数式，化简的一般要求是： （1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低； （2）尽量使分母不含三角函数式； （3）根式内的三角函数式尽量开出来； （4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧 妙的变形， 二、化简 2 1-sin440练习1化简 22 =1-sin(360+80)=1-sin80 2 =cos80=cos80 解：原式 qqp 1-cos1+cos3 pq 化简 + () 练习2 qq 1+cos

32、1-cos2 三、证明恒等式 cosx1+sinx = 例4求证： 1-sinxcosx cosx0 1+sinx0,1-sinx0 证法一：由题义知，所以 1+sinx cosx(1+sinx)cosx(1+sinx) = = 右边 左边= 2 cosx (1-sinx)(1+sinx)cosx 原式成立 cosx0 1+sinx0,1-sinx0 证法二：由题义知，所以 22 (1-sinx)(1+sinx)=1-sinx=cosx=cosxcosx 又， 13 高中数学必修4教案 cosx1+sinx = 1-sinxcosx cosx0 1+sinx0,1-sinx0证法三：由题义知，所以 22 cosx-1+sinx cosx1+sinx cosxcosx-(1+sinx)(1-sinx) - = =0 ， 1-sinxcosx (1-sinx)cosx (1-sinx)cosx cosx1+sinx = 1-sinxcosx 总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常 用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子； （3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。 四、小 结：本节课学习了以下内容： 1同角三角函数基本关系式及成立的条件； 2根据一个角的某一个三角函数值求其它三