第21课时锐角三角函数及其实际应用.pptx

1、第第21课时课时 锐角三角函数及其实际应用锐角三角函数及其实际应用 (每年必考每年必考1道，道，3分分) 目 录 点对点点对点“过过”考点考点 1 典例典例“串串”考点考点 2 3 陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法 点对点点对点“过过”考点考点 【对接教材】【对接教材】北师：九下第一章北师：九下第一章P1P27； 人教：八下第十七章人教：八下第十七章P21P39，九下第二十八章，九下第二十八章P60P85. 锐角三 角函数 直角三角形 的边角关系 锐角三角形函数 的实际应用 锐角三角函数定义 特殊角的 三角函数值 锐角三角函数 及其实际应用 锐角三角函数锐角三角函数 考点考点

2、 1 1. 锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 图 如图如图，在，在RtABC中，中，C90，我们把锐角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A的的 正弦，记作正弦，记作sinA. sinA斜边斜边(A的对边的对边)_ A的余弦：的余弦：cosA斜边斜边(A的邻边的邻边)_. A的正切：的正切：tanAA的邻边的邻边(A的对边的对边)_ a c b c a b 返回思维导图返回思维导图 2. 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 (1)图表记忆法图表记忆法 角度角度三角函三角函 数值三角函数数值三角函数 30 45 60 图形 sin _ cos _ tan _ 1 2 2

3、2 2 2 2 3 1 2 3 3 2 3 2 1 返回思维导图返回思维导图 (2)规律记忆法：规律记忆法：30、45、60角的正弦值的分母都是角的正弦值的分母都是2，分子依次为，分子依次为 1、 、 ；30、45、60角的余弦值恰好是角的余弦值恰好是60、45、30角的正弦角的正弦 值值 32 返回思维导图返回思维导图 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系(如图如图) 考点考点 2 三边关系：勾股定理：三边关系：勾股定理： ； 三角关系：三角关系：ABC90； 边角间关系：边角间关系：sinAcosB ； cosAsinB ； tanA ，tanB . a c b c b a a b a

4、2b2c2 图 返回思维导图返回思维导图 锐角三角函数的实际应用锐角三角函数的实际应用 考点考点 3 仰角、俯仰角、俯 角角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视 线在水平线下方的角叫俯角如图 方向角方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋 转到目标方向所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)x 度，如图，A点位于O点的北偏东30方向，B点位于O点的南偏东 60方向，C点位于O点的北偏西45方向(或西北方向) 返回思维导图返回思维导图 坡度坡度(坡比坡比) 、坡角、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表 示；

5、坡面与水平线的夹角叫坡角如图，itan h l 返回思维导图返回思维导图 典例典例“串串”考点考点 模型一模型一 背靠背型背靠背型 【模型分析】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高【模型分析】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角，构造出两个直角 三角形求解，其中公共边三角形求解，其中公共边CD是解题的关键是解题的关键 【等量关系】【等量关系】CD为公共边，为公共边，ADBDAB 模型演变模型演变 图 图 【等量关系】如图【等量关系】如图，CEDA，CDEA，CEBDAB；如图；如图，CDEF， CEDF，ADCEBFAB. 1. 周六下午，王武和父亲开车出去办事

6、如图，他们在周六下午，王武和父亲开车出去办事如图，他们在A处测得其北偏东处测得其北偏东30处有处有 一座移动信号发射塔一座移动信号发射塔C，当车以每小时，当车以每小时60公里的速度向正东方向行驶公里的速度向正东方向行驶10分钟到达分钟到达B处处 后，此时他们测得信号发射塔后，此时他们测得信号发射塔C在其北偏西在其北偏西15处，请你求出此时车和发射塔之间处，请你求出此时车和发射塔之间 的距离的距离BC.(结果保留根号结果保留根号) 第1题图 解：如解图，过点解：如解图，过点B作作BDAC于点于点D，则，则BDABDC90， 由题意得：AB60 10 6010， BAC903060，ABC9015

7、75， ABD30， CBD45，AD 1 2AB5，BD 3AD5 3， C180BACABC45， BCD是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， BC 2BD5 6. 答：此时车和发射塔之间的距离 BC 为56公里 第1题解图 2. 小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“垃圾分类从我做起垃圾分类从我做起”的竖直标语牌的竖直标语牌 CD.如图，她在如图，她在A点测得标语牌顶端点测得标语牌顶端D处的仰角为处的仰角为42，测得隧道底端，测得隧道底端B处的俯角处的俯角 为为30(B，C，D在同一条直线上在同一条直线上)，AB10 m，隧道高，隧道高6.5 m(

8、即即BC6.5 m)，求，求 标语牌标语牌CD的高的高(结果精确到结果精确到0.1米，参考数据：米，参考数据：sin420.67，cos420.74， tan420.90， 1.73) 3 第2题图 解：如解图，过点解：如解图，过点A作作AEBD于点于点E. 在在RtAEB中，中，EAB30，AB10 m， BE AB5 m，AE m， 在在RtADE中，中，DEAE tan427.79 m， BDDEBE12.79 m， CDBDBC12.796.56.3 m， 答：标语牌答：标语牌CD的高约为的高约为6.3 m. 1 2 5 3 第2题解图 模型二模型二 母子型母子型 图 图 【模型分析】

9、若三角形中有已知角，通过在三角形外作垂线【模型分析】若三角形中有已知角，通过在三角形外作垂线BC，构造有公共直角的，构造有公共直角的 两个三角形求解，其中公共边两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键是解题的关键 【等量关系】【等量关系】BC为公共边，如图为公共边，如图，ADDCAC；如图；如图，DCBCDB. 图 图 模型演变模型演变1 【等量关系】如图【等量关系】如图，DFEC，DEFC，BFDEBC，AEDFAC；如图；如图 ，AFCE，ACFE，BCAFBE. 模型演变模型演变2 图 图 图 【等量关系】如图【等量关系】如图，BEECBC；如图；如图，ECBCBE；如图；如图，ACF

10、G， AFCG，ADDCFG，BCAFBG. 图 图 【等量关系】如图【等量关系】如图，BCFG，BFCG，ACBFAG，EFBCEG；如图；如图 ，BCFG，BFCG，EFBCEG，BDDFBF，ACBDDFAG. 模型演变模型演变3 3. (2019湘潭湘潭)我国于我国于2019年年6月月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭 发射技术达到了一个崭新的高度如图，运载火箭从海面发射站点发射技术达到了一个崭新的高度如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面处垂直海面 发射，当火箭到达点发射，当火箭到达点A处时，海岸边处时，海岸边N处的雷达站测得

11、点处的雷达站测得点N到点到点A的距离为的距离为8千米，千米， 仰角为仰角为30.火箭继续直线上升到达点火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边处，此时海岸边N处的雷达测得处的雷达测得B处的仰角处的仰角 增加增加15，求此时火箭所在点，求此时火箭所在点B处与发射站点处与发射站点M处的距离处的距离(结果精确到结果精确到0.1千米千米)( 参考数据：参考数据： 1.41， 1.73) 32 第3题图 解：在解：在RtAMN中，中，cosANM ， ANM30，AN8， MNAN cosANM8cos30 MN AN 8 3 2 4 3. 在在RtBMN中，中，BNM45， MBMN 41.736.9(

12、千米千米) 答：此时火箭所在点答：此时火箭所在点B处与发射站点处与发射站点M处的距离约为处的距离约为6.9千米千米 4 3 4. (2019陕师大附中模拟陕师大附中模拟)某校在某校在“建设特色校园建设特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成的活动中，将本校的办学理念做成 宣传牌宣传牌(AB)，放置在教学楼的顶部，放置在教学楼的顶部(如图所示如图所示)小明在操场上的点小明在操场上的点D处，用处，用1米高米高 的测角仪的测角仪CD，从点，从点C处测得宣传牌的底部处测得宣传牌的底部B的仰角为的仰角为37，然后向教学楼正方向走，然后向教学楼正方向走 了了4米到达点米到达点F处，又从点处，又从点E处测得

13、宣传牌的顶部处测得宣传牌的顶部A的仰角为的仰角为45.已知教学楼高已知教学楼高BM 17米，且点米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌在同一直线上，求宣传牌AB的高度的高度(结果精确到结果精确到0.1米，米， 参考数据：参考数据： 1.73，sin370.60，cos370.80，tan370.75) 3 第4题图 解：如解图，过点解：如解图，过点C作作CNBM于点于点N，则四边形，则四边形CDMN是矩形，点是矩形，点E在线段在线段CN上上 BNBMCD17116米，米， 在在RtBCN中，中，BN16米，米，BEN37， CN BN tan37 21.33 米， 在在RtAEN中，中，EN

14、CNCE17.33米，米，AEN45， ANEN tan4517.33米，米， ABANBN17.33161.3米米 答：宣传牌答：宣传牌AB的高度约为的高度约为1.3米米 第4题解图 模型三模型三 拥抱型拥抱型 【模型分析】分别解两个直角三角形，其中公共边【模型分析】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键是解题的关键 【等量关系】【等量关系】BC为公共边为公共边 【模型演变】【模型演变】 图 图 图 【等量关系】如图【等量关系】如图，BFFCCEBE；如图；如图，BCCEBE；如图；如图， ABGE，AGBE，BCCEAG，DGABDE. 5. (2019西安铁一中模拟西安铁一中模

15、拟)如图所示，某数学活动小组为了测量小河对岸大树如图所示，某数学活动小组为了测量小河对岸大树BC的高的高 度，他们在斜坡上度，他们在斜坡上D处测得大树顶端处测得大树顶端B的仰角是的仰角是30，朝大树方向下坡走，朝大树方向下坡走6米到达坡米到达坡 底底A处，在处，在A处测得大树顶端处测得大树顶端B的仰角是的仰角是60，若坡角，若坡角FAE30，求大树的高，求大树的高 度度 第5题图 解：如解图，过点解：如解图，过点D作作DGBC于点于点G，则，则DGEC. FAE30，BAC60， ADG30，DAB90. 又又BDG30. BDABDGADG60. 在在RtABD中，中，AD6米，米， ABA

16、D tanBDA (米米) 在在RtABC中，中，BCAB sinBAC 6 3 3 2 9 (米) 答：大树的高度为答：大树的高度为9米米 6 3 第5题解图 陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法 锐角三角函数的实际应用锐角三角函数的实际应用(5年年2考考) 注：注：2018年开始陕西中考取消使用科学计算器，为了计算简便，以下真题参考数据年开始陕西中考取消使用科学计算器，为了计算简便，以下真题参考数据 统一改为两位小数统一改为两位小数 命题点命题点 类型一类型一 仰角、俯角仰角、俯角(2017.20) 1. (2018陕西副题陕西副题20题题7分分)如图所示，某集团的项目组计划

17、在山脚下如图所示，某集团的项目组计划在山脚下A点与山顶点与山顶B点点 之间修建一条索道，现利用无人机测算之间修建一条索道，现利用无人机测算A、B两点间的距离无人机飞至山顶点两点间的距离无人机飞至山顶点B 的正上方点的正上方点C处时，测得山脚下处时，测得山脚下A点的俯角约为点的俯角约为45，C点与点与A点的高度差为点的高度差为400 m ，BC100 m，求山脚下，求山脚下A点到山顶点到山顶B点的距离点的距离AB. 第1题图 解：如解图，延长解：如解图，延长CB与与A点所在水平面相交于点点所在水平面相交于点D， 由题意，知由题意，知CDAD，CD400，CAD45.ADCD400.(2分分) C

18、B100，BDCDBC300.(4分分) 在在RtABD中，中， AB AD2BD2 40023002 500 m. 答：山脚下答：山脚下A点到山顶点到山顶B点的距离点的距离AB为为500 m(7分分) 第1题解图 2. (2017陕西陕西20题题7分分)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳乡思柳”， 不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭聚贤亭”观湖赏柳小红和小军很观湖赏柳小红和小军很 想知道想知道“聚贤亭聚贤亭”与与“乡思柳乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着测倾器之间

19、的大致距离，于是，有一天，他们俩带着测倾器 和皮尺来测量这个距离测量方案如下：如图，首先，小军站在和皮尺来测量这个距离测量方案如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭聚贤亭”的的A处，处， 用测倾器测得用测倾器测得“乡思柳乡思柳”顶端顶端M点的仰角为点的仰角为23，此时测得小军的眼睛距地面的高度，此时测得小军的眼睛距地面的高度 AB为为1.7米；然后，小军在米；然后，小军在A处蹲下，用测倾器测得处蹲下，用测倾器测得“乡思柳乡思柳”顶端顶端M点的仰角为点的仰角为 24，这时测得小军的眼睛距地面的高度，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为为 1米请你利用以上所测得的数据，米请你利用以上所测得的数据， 计

20、算计算“聚贤亭聚贤亭”与与“乡思柳乡思柳”之间的距离之间的距离AN的长的长(结果结果 精确到精确到1米米)(参考数据：参考数据：sin230.39，cos230.92， tan230.42，sin240.41，cos240.91，tan240.45) 第2题图 解：如解图，过点解：如解图，过点B作作BDMN，垂足为，垂足为D，过点，过点C作作CEMN，垂足为，垂足为E. 设设ANx米，则米，则BDCEx米，米， 在在RtMBD中，中，MDx tan23. 在在RtMCE中，中，MEx tan24.(4分分) MEMDDEBC， x tan24x tan231.71， 解得解得x23. 答：答：

21、“聚贤亭聚贤亭”与与“乡思柳乡思柳”之间的距离之间的距离AN的长约为的长约为23米米(7分分) 第2题解图 类型二类型二 方向角方向角 3. (2016陕西副题陕西副题20题题7分分)某市为了创建绿色生态城市，在城东建了某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖东州湖”景区小景区小 明和小亮想测量明和小亮想测量“东州湖东州湖”东西两端东西两端A、B间的距离于是，他们去了湖边，如图，在间的距离于是，他们去了湖边，如图，在 湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点的一点C，并测得，并测得BC350米，点米，点A位位 于点于点C的北偏西的北偏西73方

22、向，点方向，点B位于点位于点C的北偏东的北偏东45方向请你根据以上提供的信息，方向请你根据以上提供的信息， 计算计算“东州湖东州湖”东西东西 两端之间两端之间AB的长的长(结果精确到结果精确到 1米米) (参考数据：参考数据：sin730.96，cos730.29， tan733.27， 1.41) 第3题图 2 解：在解：在RtBCD中，中，BCD45，BC350米，米， BDBC sinBCD350 sin45 米，米，(3分分) CDBD 米，米， 在在RtACD中，中，ACD73， ADCD tanACD tan73米，米，(5分分) ABADBD tan73 1054(米米) 答：答：“东州湖东州湖”东西两端之间东西两端之间AB的长约为的长约为1054米米(7分分) 175 2 175 2 175 2 175 2175 2 点击链接至练习册点击链接至练习册