三角函数的图像与性质复习导学案.doc
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- 关 键 词:
- 三角函数 图像 性质 复习 导学案
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1、4.3三角函数的图像与性质1.考查三角函数的图像:五点法作简图、图像变换、图像的解析式;2.考查三角函数的性质:值域或最值,单调区间、对称性等;3.考查数形结合思想复习备考要这样做1.会作三角函数的图像,通过图像研究三角函数的性质;2.对三角函数进行恒等变形,然后讨论其图像、性质;3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用1 “五点法”作图原理在确定正弦函数ysin x在0,2上的图像形状时,起关键作用的五个点是(0,0)、(,0)、(2,0)余弦函数呢?2 三角函数的图像和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk,kZ图像值域1,11,1R对称性对称轴:
2、xk(kZ);对称中心:(k,0)(kZ)对称轴:xk(kZ);对称中心:(k,0) (kZ)对称中心: (kZ)周期22单调性单调增区间2k,2k(kZ);单调减区间2k,2k (kZ)单调增区间2k,2k (kZ);单调减区间2k,2k(kZ)单调增区间(k,k)(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数难点正本疑点清源1 函数的周期性若f(xT)f(x) (0),常数T不能说是函数f(x)的周期因为f(xT)f,即自变量由x增加到x,是函数的周期2 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x、cos x的有界性;(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围,根据正弦函数
3、的单调性写出函数的值域;(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题1 设点P是函数f(x)sin x (0)的图像C的一个对称中心,若点P到图像C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是_答案解析由正弦函数的图像知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的,故f(x)的最小正周期为T4.2y23cos的最大值为_,此时x_.答案52k,kZ解析当cos1时,函数y23cos取得最大值5,此时x2k (kZ),从而x2k,kZ.3 (2012福建)函数f(x)sin的图像的一条对称轴是()Ax Bx Cx Dx答案C解析方法一正弦函数图
4、像的对称轴过图像的最高点或最低点,故令xk,kZ,xk,kZ.取k1,则x.方法二用验证法x时,ysin0,不合题意,排除A;x时,ysin,不合题意,排除B;x时,ysin1,符合题意,C项正确;x时,ysin,不合题意,故D项也不正确4 函数ytan的定义域为()Ax|xk,kZ Bx|x2k,kZCx|xk,kZ Dx|x2k,kZ答案A解析令xk,kZ,xk,kZ.5 给出下列四个命题,其中不正确的命题为()若cos cos ,则2k,kZ;函数y2cos的图像关于x对称;函数ycos(sin x)(xR)为偶函数;函数ysin|x|是周期函数,且周期为2.A B C D答案D解析命题
5、:若,则cos cos ,假命题;命题:x,coscos 0,故x不是y2cos的对称轴;命题:函数ysin|x|不是周期函数题型一三角函数的定义域、值域问题例1(1)求函数ylg sin 2x的定义域;(2)求函数ycos2xsin x 的最大值与最小值思维启迪:求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴;求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数解(1)由,得3x或0x.函数ylg sin 2x的定义域为x|3x或0x0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答列不等式的原则:把“x (0)”视为一个“整体”;A0 (A0)时,所列不等式的方向与ysin x(xR),ycos x(
6、xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反)(2)对于yAtan(x) (A、为常数),其周期T,单调区间利用x,解出x的取值范围,即为其单调区间对于复合函数yf(v),v(x),其单调性的判定方法:若yf(v)和v(x)同为增(减)函数时,yf(x)为增函数;若yf(v)和v(x)一增一减时,yf(x)为减函数(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图像,结合图像判定 求函数ysincos的周期、单调区间及最大、最小值解,coscoscossin.y2sin,周期T.当2k4x2k (kZ)时,函数单调递增,函数的递增区间为 (kZ)当2k4x2k (kZ)时,函数单调递减,函
7、数的递减区间为(kZ)当x (kZ)时,ymax2;当x (kZ)时,ymin2.题型三三角函数的对称性与奇偶性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR),函数yf(x) 的图像关于直线x0对 称,则的值为_(2)如果函数y3cos(2x)的图像关于点中心对称,那么|的最小值为()A. B.C. D.答案(1)(2)A解析(1)f(x)2sin,yf(x)2sin图像关于x0对称,即f(x)为偶函数k,kZ,k,kZ,又|,.(2)由题意得3cos3cos3cos0,k,kZ,k,kZ,取k0,得|的最小值为.故选A.探究提高若f(x)Asin(x)为偶函数,则当x0时,f(x)取得最
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