三角函数与解三角形总复习.doc

1、三角函数的化简与求值题型分析高考展望三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.体验高考1.(2015课标全国)sin 20cos 10cos 160sin 10等于()A. B. C. D.2.(2015重庆)若tan 2tan ，则等于()A.1 B.2 C.3 D.43.(2016课标全国甲)若cos，则sin 2等于()A. B. C. D.4.(2016课标全国丙)若tan ，则cos22si

2、n 2等于()A. B. C.1 D.5.(2016四川)cos2sin2_.高考必会题型题型一利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin2cos21；tan .基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1sin2cos2；(3)在进行开方运算时，注意判断符号.例1已知tan 2，求：(1)的值；(2)3sin23sin cos 2cos2的值.解(1)方法一tan 2，cos 0，.方法二由tan 2，得sin 2cos ，代入得.(2)3sin23sin cos 2cos2.点评本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，

3、分式可以分子分母同除“cos ”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2cos2代换“1”，变成分式后再化简.变式训练1已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.题型二利用诱导公式化简与求值1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例2(1)设f()，则f_.(2)化简：_.答案(1)(2)0解析(1)f()，f.(2)原式sin sin 0.变式训练2(1)(2016课标全国乙)已知是第四象限角，且sin，则ta

4、n_.(2)已知cosa(|a|1)，则cossin_.答案(1)(2)0解析(1)将转化为().由题意知sin()，是第四象限角，所以cos()0，所以cos() .tan()tan()tan().(2)coscoscosa.sinsincosa，cossin0.题型三利用其他公式、代换等化简求值例3(1)在ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan tan tan tan 的值为_.(2)的值是()A. B. C. D.(3)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A. B. C. D.解三角形问题题型分析高考展望正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每

5、年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点.体验高考1.(2016天津)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC等于()A.1 B.2 C.3 D.42.(2016课标全国丙)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A等于()A. B. C. D.3.(2015天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_.4.(2015广东)设ABC的

6、内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.高考必会题型题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题例1(1)(2015广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A且bc，则b等于()A.3 B.2 C.2 D.(2)(2016课标全国乙)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.求C；若c，ABC的面积为，求ABC的周长.解由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得c

7、os C，所以C.由已知，得absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解；已知大角求小角有一解.在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生.变式训练1设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin

8、A，求a，c的值.解(1)bsin Aacos B，由正弦定理得sin Bsin Asin Acos B.在ABC中，sin A0，即得tan B.B(0，)，B.(2)sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，即9a24a22a2acos ，解得a，c2a2. 题型二正弦、余弦定理的实际应用例2某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希

9、望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇.则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.故可设计航行方案如下：航

10、行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时.点评解三角形中的实际问题四步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.变式训练2为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米.答案10解析由题意可

11、得，BCD9015105，CD10，BDC45，CBD30.在BCD中，由正弦定理，得，解得BC10米，在RtABC中，塔AB的高是10米.题型三解三角形与其他知识的交汇例3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1)求ABC的面积；(2)求a的最小值.解(1)因为cos，所以cos A2cos21，sin A，又因为3，得bccos A3bc5SABCbcsin A2.(2)bc5，a2b2c22bccos Ab2c225，a2b2c26，a2b2c26b2c26a22bc10.amin2.当且仅当bc时，a有最小值2.点评解三角形问题与三角函数性质、向量、不等

12、式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键.变式训练3(2015陕西)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行.(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积.解(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A.由于0A，所以A.(2)方法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而由a，b2，A，得74c

13、22c，即c22c30，因为c0，所以c3，故ABC的面积为Sbcsin A.方法二由正弦定理，得，从而sin B.又由ab，知AB，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为Sabsin C.高考题型精练1.(2015北京改编)在ABC中，a4，b5，c6，则等于()A. B.2 C.1 D.答案C解析由余弦定理，得cos A，sin A，cos C，sin C，1.2.(2015重庆改编)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c等于()A.2 B.3 C. D.4答案D解

14、析由3sin A2sin B，得3a2b，ba23，在ABC中，由余弦定理，得c2a2b22abcos C223222316，解得c4.3.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且abc，a2b2c2，则角A的取值范围是()A. B. C. D.答案C解析因为a2b2c2，所以cos A0，所以A为锐角，又因为abc，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.4.在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin Absin Bcsin C，则ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定答案C解析根据正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理

15、得cos C0，故C是钝角.5.在ABC中，| |3，则ABC的面积的最大值为()A. B. C. D.3答案B解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，| |3，又cos A11，cos A，0sin A，ABC的面积Sbcsin Atan A，故ABC面积的最大值为.6.已知锐角A是ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2Acos2A，则下列各式正确的是()A.bc2a B.bc2a C.bc2a D.bc2a答案C解析sin2Acos2A，cos 2A.0A，02A，2A，A.由余弦定理得，a2b2c2bc(bc)23bc(bc)2(bc)2，4a2(bc)2，2

16、abc.7.(2016课标全国甲)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.答案解析在ABC中由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.8.(2015重庆)在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC_.答案解析在ABD中，由正弦定理得，即，解得sinADB，ADB45，从而BAD15DAC，所以C1801203030，AC2ABcos 30.9.(2015课标全国)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_.答案(，)解析如图

17、所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB0)，则aksin A，bksin B，cksin C.代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C.所以sin Asin Bsin C.(2)解由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)，知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B，故tan B4.