初中数学竞赛专题复习-第二篇-平面几何-第16章-几何变换试题-新人教版(DOC 18页).doc
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1、第16章几何变换16.1对称和平移1611设是边长为2的正三角形的边的中点是边上的任意一点,求的最小值解析 作正三角形关于的对称图形是的对称点,故是的中点,如图所示,则.连结,易知,所以所以,的最小值是1612已知中,试在的边、上分别找出一点、,使最小解析 作关于直线的对称点,关于直线的对称点,连与、分别交于点、,则、即为所求,如图所示事实上,对于、上的任意点,评注 因为,所以所作线段必与线段、相交1613求证:直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍解析 如图所示,设在直角三角形中,是斜边上的高,是它的任一内接三角形将以为对称轴反射为,此时反射为,再将以为对称轴反射为,此时反射为延长
2、交于易知,所以,即,且是两平行线与之间的距离所以.1614在内取一点使,设,求.解析 本题中为等腰三角形,这就提示我们利用对称性解题,先作一条对称轴,作的高与直线交于点由对称性知,所以,从而,因为,又,所以,于是,所以1615在中,是高,在边上,已知,求的面积解析 作的关于的对称图形,作的关于的对称图形分别延长和,它们相交于,如图所示易知,且,所以,四边形是正方形设正方形的边长为,则,在直角三角形中,由勾股定理知解方程,得,即所以1616如图,凸四边形的四个顶点分别在边长为的正方形的四条边上,求证:的周长不小于解析 作正方形关于的轴对称图形,得到正方形,再作正方形关于的轴对称图形,得到正方形,
3、再作正方形关于的轴对称图形,得到正方形,而、四点的对应点如图所示显然,故,所以四边形的周长即四边形的周长不小于1617如图,和是两个不全等的等腰直角三角形,现固定而将绕点在平面上旋转,试证:不论旋转到什么位置,线段上必存在点使力等腰直角三角形解析 如图,设为等腰直角三角形,下面证明点在线段上作关于的对称点,则因为,所以,又所以又是关于的对称点同理也是关于的对称点,因此,又因,所以即在上(且为的中点)1618如图,矩形中,若在、上各取一点、,使的值最小,试求出这个最小值解析 作关于直线的对称线段,即、关于对称,作关于的对称点,则在上,且有于,于由对称变换可知,.欲使最小,必须共线,所以最小值为点
4、到的距离.在中,所以,则在中,又,在中,则从而的最小值为161619凸四边形中,求证:.解析将沿翻折,点落在点因为,所以必定在内部延长线交于点,则.16110设表示凸四边形的面积,证明解析如图,作点关于的垂直平分线的对称点,显然与关于成轴对称图形所以,.16111在矩形内取一点,使,试求的值解析 如图将沿平移至,显然,所以,由已知条件,即、四点共圆,从而16112设是平行四边形内一点,使得,证明:解析 如图,把平移至,则,及,所以又已知,故,从而、四点共圆于是,又,所以16113(1)如图(a)所示,在梯形中,.已知:,求梯形的面积(2)如图(b),在梯形中,是的中点,于设,求梯形的面积解析(
5、1)将平移到,连结,则,所以因此因为,所以(2)将平移至,如图(b)所示,过点由于,所以评注 本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法16114如图,在四边形中,、分别是及中点,的延长线与及的延长线分别交于点、求证:解析1如图(a),将线段平移至则四边形为平行四边形由于是中点,故、共线现在是的中位线,故,所以,又显然故于是解析2如图(b),连结,取中点为,连结、,则、分别为、的中位线,所以,故,且,故,所以16115如图,、均垂直于,垂足为、,求的值解析 将平移到,在线段上,延长交于,将平移到,在上因为、均垂直于,所以四边形和都是矩形由,得又,所以,所以,于是,在中,也即16116在正三角形
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