函数的奇偶性与周期性-高考数学知识点总结-高考数学真题复习(DOC 22页).doc

1、2.3函数的奇偶性与周期性2014高考会这样考1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用复习备考要这样做1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题1 奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称2 奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性

2、相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数3 周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期难点正本疑点清源1 函数奇偶性的判断(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(x)与f(x)是否具

3、有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立2 函数奇偶性的性质(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反1 (课本改编题)已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_答案解析由f(x)是偶函数知，f(x)f(x)，即ax2bxa(x)2

4、bx，2bx0，b0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a1)2a0，a，故ab.2 (2011广东)设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_.答案9解析令g(x)f(x)1x3cos x，g(x)(x)3cos(x)x3cos xg(x)，g(x)为定义在R上的奇函数又f(a)11，g(a)f(a)110，g(a)g(a)10.又g(a)f(a)1，f(a)g(a)19.3 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_答案(1,0)(1，)解析画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)0的x的取值范围为(1,0

5、)(1，)4 函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则 ()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数答案D解析因为f(x1)与f(x1)都是奇函数，所以f(x1)f(x1)，即f(x)f(2x)，f(x1)f(x1)，即f(x)f(2x)，于是f(x2)f(x2)，即f(x)f(x4)，所以函数f(x)是周期T4的周期函数所以f(x14)f(x14)，f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函数5 (2011大纲全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f等于 ()A B C. D.答案A解析f(x)是

6、周期为2的奇函数，ffff2.题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立解(1)由，得x3.f(x)的定义域为3,3又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)f(x)f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由，得1x|x|0知f(x)ln(x)的定义域为R，又f(x)ln(x)lnln(x)f(x)，则f(x)为奇函数；f(x)的定义域为R，又f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；由0得1x1

7、，f(x)ln 的定义域为(1,1)，又f(x)ln ln1lnf(x)，则f(x)为奇函数，奇函数的个数为5.题型二函数的奇偶性与周期性例2设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 013)思维启迪：(1)只需证明f(xT)f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在0,2上的解析式求得f(x)在2,0上的解析式，进而求f(x)在2,4上的解析式；(3)由周期性求和(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(

8、x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(0)f(1)1.探究提高判断函数的周期只需证明f(xT)f(x) (T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的

9、其他性质综合命题，是高考考查的重点问题 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.答案2.5解析由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.题型三函数性质的综合应用例3设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调区间思维启迪：可以先确定函数的周期性，求f()；然后根据函数图

10、象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1 (kZ)，单调递减区间为4k1,4k3

11、(kZ)探究提高函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则 ()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(

12、25)f(80)f(11)(2)函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式fx(x)0的解集解yf(x)为奇函数，且在(0，)上为增函数，yf(x)在(，0)上也是增函数，且由f(1)0得f(1)0.若fx(x)0f(1)，则即0x(x)1，解得x或x0.若fx(x)0f(1)，则由x(x)1，解得x.原不等式的解集是x|x或x01.等价转换要规范典例：(14分)函数f(x)的定义域Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6

13、)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围审题视角(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1x21.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)、f(x)的关系从而想到赋值x11，x2x.即f(x)f(1)f(x)(3)就是要出现f(M)f(N)的形式，再结合单调性转化为MN的形式求解规范解答解(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.3分(2)f(x)为偶函数，证明如下：5分令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数9分(3)f(44)f(4)f(4

14、)2，f(164)f(16)f(4)3.10分由f(3x1)f(2x6)3，变形为f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64)12分又f(x)在(0，)上是增函数，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.解得x或x3或3x5.x的取值范围是x|x或x3或3x514分温馨提醒数学解题的过程就是一个转换的过程解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示如“M”等价

15、于“N”，“M”变形为“N”(2)要写明转化的条件如本例中：f(x)为偶函数，不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64)(3)转化的结果要等价如本例：由于f|(3x1)(2x6)|f(64)|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.若漏掉(3x1)(2x6)0，则这个转化就不等价了.方法与技巧1 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进

16、行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性失误与防范1 判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2 判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)对于偶函数的判断以此类推3 分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

17、(时间：60分钟)A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012广东)下列函数为偶函数的是 ()Aysin x Byx3Cyex Dyln答案D解析由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数2 (2012天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ()Aycos 2x，xR Bylog2|x|，xR且x0Cy，xR Dyx31，xR答案B解析选项A中函数ycos 2x在区间上单调递减，不满足题意；选项C中的函数为奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数，故选B.3(2011辽宁)若函数f(x)为奇函数，则a等于()A. B. C.

18、D1答案A解析f(x)f(x)，(2a1)x0，a.4 (2012福州质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于 ()A2 B2 C98 D98答案A解析f(x4)f(x)，f(x)是周期为4的函数，f(7)f(241)f(1)，又f(x)在R上是奇函数，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而当x(0,2)时，f(x)2x2，f(1)2122，f(7)f(1)f(1)2，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)5 设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_答案1解析因为f(x)是偶函数，所以恒有f(x)f

19、(x)，即x(exaex)x(exaex)，化简得x(exex)(a1)0.因为上式对任意实数x都成立，所以a1.6 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)_.答案3解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(x)f(x)0.当x0时，可得f(0)0，可得b1，此时f(x)2x2x1，因此f(1)3.又f(1)f(1)，所以f(1)3.7 (2012江南十校联考)已知定义在R上的函数yf(x)满足条件ff(x)，且函数yf为奇函数，给出以下四个命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)的图象关于点对称；函数f(x)为R上的偶函数；函数f(x)为R

20、上的单调函数其中真命题的序号为_答案解析由f(x)f(x3)f(x)为周期函数，且T3，为真命题；又yf关于(0,0)对称，yf向左平移个单位得yf(x)的图象，则yf(x)的图象关于点对称，为真命题；又yf为奇函数，ff，fff(x)，ff(x)，f(x)f(x3)ff(x)，f(x)为偶函数，不可能为R上的单调函数所以为真命题，为假命题三、解答题(共25分)8 (12分)已知函数f(x)x2 (x0)(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)2，试判断f(x)在2，)上的单调性解(1)当a0时，f(x)x2，f(x)f(x) ，函数是偶函数当a0时，f(x)x2 (x0)，取

21、x1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，这时f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12，x22，且x1x2，x1x2，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在2，)上是单调递增函数9 (13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x) (0x1)，求x5，4时，函数f(x)的解析式(1)证明由函数f(x)的图象关

22、于直线x1对称，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)从而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数(2)解由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)0.x1,0)时，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0时，f(x).x5，4时，x41,0，f(x)f(x4).从而，x5，4时，函数f(x).B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于()A3 B1 C1 D3答案A解析f(x)是奇函数

23、，当x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3.2 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 013)f(2 015)的值为 ()A1 B1 C0 D无法计算答案C解析由题意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)0.3 (2012淄博一模)

24、设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是 ()Aa1或a Ba1C1a Da答案C解析函数f(x)为奇函数，则f(1)f(1)由f(1)f(1)1，得f(1)1；函数的最小正周期T3，则f(1)f(2)，由1，解得1a.二、填空题(每小题4分，共12分)4 (2011浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.答案0解析函数f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，a0.5 已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 015)_.答案解

25、析方法一令x1，y0时，4f(1)f(0)f(1)f(1)，解得f(0)，令x1，y1时，4f(1)f(1)f(2)f(0)，解得f(2)，令x2，y1时，4f(2)f(1)f(3)f(1)，解得f(3)，依次求得f(4)，f(5)，f(6)，f(7)，f(8)，f(9)，可知f(x)是以6为周期的函数，f(2 015)f(33565)f(5).方法二f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)，构造符合题意的函数f(x)cos x，f(2 015)cos.6 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则2是函数f(x)的周

26、期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_答案解析由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象如图所示：当3x4时，1x40，f(x)f(x4)x3，因此正确不正确三、解答题(共13分)7 已知函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0，(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 011,2 011上根的个

27、数，并证明你的结论解(1)若yf(x)为偶函数，则f(x)f(2(x2)f(2(x2)f(4x)f(x)，f(7)f(3)0，这与f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是偶函数若yf(x)为奇函数，则f(0)f(0)f(0)，f(0)0，这些f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是奇函数综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)，f(x)f7(x7)f(7(x7)f(14x)，f(14x)f(4x)，即f10(x4)f(4x)f(x10)f(x)，即函数f(x)的周期为10.又f(1)f(3)0，f(1)f(110n)0(nZ)，f(3)f(310n)0(nZ)，即x110n和x310n(nZ)均是方程f(x)0的根由2 011110n2 011及nZ可得n0，1，2，3，201，共403个；由2 011310n2 011及nZ可得n0，1，2，3，200，201，共402个；所以方程f(x)0在闭区间2 011,2 011上的根共有805个