北师大版三角函数知识点及例题(DOC 13页).doc

1、三角函数1.特殊角的三角函数值：sin= 0cos= 1tan= 0sin3=cos3=tan3=sin=cos=tan=1sin6=cos6=tan6=sin9=1cos9=0tan9无意义2角度制与弧度制的互化： 36918273603.弧长及扇形面积公式弧长公式： 扇形面积公式:S=-是圆心角且为弧度制。 r-是扇形半径4.任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）, r=(1)正弦sin= 余弦cos= 正切tan=(2)各象限的符号： + -xy+O +xyO + +yOsin cos tan5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin2+ cos2=1。（2）

2、商数关系：=tan6.诱导公式：记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。，口诀：函数名称不变，符号看象限，口诀：正弦与余弦互换，符号看象限倍角公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2两角和与差的三角函数关系sin()=sincoscossincos()=coscossinsin7、三角函数公式：降幂公式： 升幂公式 ： 1+cos= cos21-cos= sin28正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质9正弦定理：.余弦定理：;.三角形面积定理.1直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2

3、b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素间的关系：在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面积公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、

4、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；（3）；（4）2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）；（6）；（7）rs。4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C =

5、；（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理 （R为外接圆半径）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，。5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形

6、内切圆半径，p为周长之半。（3）在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列。四【典例解析】题型1：正、余弦定理已知中，则（ ） A. B C D 或答案 C例1（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解析：（1）根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，（2）根据正弦定理，因为，所以，或当时， ，当时， ，例2（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解析：（1）=cos=求可以利用余弦定理，

7、也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）由余弦定理的推论得：cos；cos；题型2：三角形面积例3在中，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 , +得。 得。从而。例4在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 答案 2 解析 设由正弦定理得由锐角得，又，故，例5在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解 （1）因为，又由得， （2）对于，又，或，由余弦定理得， 例6在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件

8、(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.题型4：三角形中求值问题例7的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；当sin = ，即A=时, cosA+2c

9、os取得最大值为。例8在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解（） 又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以所以例9在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=

10、sin60=。解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB。=sinA=。例10在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又ABC180，所以AC120，从而60，故tan.由两角和的正切公式，得。所以题型6：正、余弦定理判断三角形形状例11在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB例12在中，为锐角

11、，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 21.在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 五【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角形内切圆的半径：，特别地，；3三角学中的射影定理：在ABC 中，4两内角与其正弦值：在ABC 中，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。