专题04 二次函数与特殊图形的存在性问题（连云港26题无锡27题淮安28题等）（解析版）.docx

1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题专题 4 二次函数与特殊图形的存在性问题二次函数与特殊图形的存在性问题 【真题再现】【真题再现】 1（2019 年盐城 27 题）如图所示，二次函数 yk（x1）2+2 的图象与一次函数 ykxk+2 的图象 交于 A、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x、y 轴交于 C、D 两点，其中 k0 （1）求 A、B 两点的横坐标； （2）若OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值； （3）二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E，是否存在实数

2、 k，使得ODC2BEC，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，即可求解； （2）分 OAAB、OAOB 两种情况，求解即可； （3）求出 mk2k2+ 1，在AHM 中，tan= = =k+2+ 1 =tanBEC= =k+2，即 可求解 【解析】 （1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2， 解得：x1 和 2， 故点 A、B 的坐标横坐标分别为 1 和 2； （2）OA= 22+ 1 = 5， 当 OAAB 时， 即：1+k25，解得：k2（舍去 2） ； 当 OAOB 时， 4+（k+2）2

3、5，解得：k1 或3； 故 k 的值为：1 或2 或3； （3）存在，理由： 当点 B 在 x 轴上方时， 过点 B 作 BHAE 于点 H，将AHB 的图形放大见右侧图形， 过点 A 作HAB 的角平分线交 BH 于点 M，过点 M 作 MNAB 于点 N，过点 B 作 BKx 轴于点 K， 图中：点 A（1，2） 、点 B（2，k+2） ，则 AHk，HB1， 设：HMmMN，则 BM1m， 则 ANAHk，AB= 2+ 1，NBABAN， 由勾股定理得：MB2NB2+MN2， 即： （1m）2m2+（2+ 1 +k）2， 解得：mk2k2+ 1， 在AHM 中，tan= = =k+2+

4、1 =tanBEC= =k+2， 解得：k= 3， 此时 k+20，则2k0，故：舍去正值， 故 k= 3； 当点 B 在 x 轴下方时， 同理可得：tan= = =k+2+ 1 =tanBEC= = （k+2） ， 解得：k= 47 3 或;4:7 3 ， 此时 k+20，k2，故舍去;4:7 3 ， 故 k 的值为：3或;4;7 3 2（2019 年连云港 26 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L1：yx2+bx+c 过点 C（0，3） ， 与抛物线 L2：y= 1 2x 23 2x+2 的一个交点为 A，且点 A 的横坐标为 2，点 P、Q 分别是抛物线 L1、L2 上的

5、 动点 （1）求抛物线 L1对应的函数表达式； （2）若以点 A、C、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P 的坐标； （3）设点 R 为抛物线 L1上另一个动点，且 CA 平分PCR若 OQPR，求出点 Q 的坐标 【分析】 （1）先求出 A 点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可； （2）设点 P 的坐标为（x，x22x3） ，分两种情况讨论：AC 为平行四边形的一条边，AC 为平行四边 形的一条对角线，用 x 表示出 Q 点坐标，再把 Q 点坐标代入抛物线 L2：y= 1 2x 23 2x+2 中，列出方程求 得解便可； （3）当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L1不存在

6、点 R 使得 CA 平分PCR，当点 P 在 y 轴右侧时，不妨设 点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方，过点 P、R 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 S、T，过点 P 作 PH TR 于点 H，设点 P 坐标为（x1，12 21 3） ，点 R 坐标为（x2，22 22 3） ，证明PSC RTC，由相似比得到 x1+x24，进而得 tanPRH 的值，过点 Q 作 QKx 轴于点 K，设点 Q 坐标为（m， 1 2 2 3 2 + 2） ，由 tanQOKtanPRH，移出 m 的方程，求得 m 便可 【解析】 （1）将 x2 代入 y= 1 2x 23 2x+2，得 y3

7、，故点 A 的坐标为（2，3） ， 将 A（2，3） ，C（0，3）代入 yx2+bx+c，得 3 = 2 2 + 2 + 3 = 0 + 0 + ，解得 = 2 = 3， 抛物线 L1：yx22x3； （2）如图，设点 P 的坐标为（x，x22x3） ， 第一种情况：AC 为平行四边形的一条边， 当点 Q 在点 P 右侧时，则点 Q 的坐标为（x+2，x22x3） ， 将 Q（x+2，x22x3）代入 y= 1 2x 23 2x+2，得 x22x3= 1 2（x+2） 23 2（x+2）+2， 解得 x0 或 x1， 因为 x0 时，点 P 与 C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点 P

8、的坐标为（1，0） ； 当点 Q 在点 P 左侧时，则点 Q 的坐标为（x2，x22x3） ， 将 Q（x2，x22x3）代入 y= 1 2x 23 2x+2，得 y= 1 2x 23 2x+2，得 x22x3= 1 2（x2） 23 2（x2）+2， 解得，x3，或 x= 4 3， 此时点 P 的坐标为（3，0）或（ 4 3， 13 9 ） ； 第二种情况：当 AC 为平行四边形的一条对角线时， 由 AC 的中点坐标为（1，3） ，得 PQ 的中点坐标为（1，3） ， 故点 Q 的坐标为（2x，x2+2x3） ， 将 Q（2x，x2+2x3）代入 y= 1 2x 23 2x+2，得 x2+2

9、x3 1 2（2x） 23 2（2x）+2， 解得，x0 或 x3， 因为 x0 时，点 P 与点 C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点 P 的坐标为（3，12） ， 综上所述，点 P 的坐标为（1，0）或（3，0）或（ 4 3， 13 9 ）或（3，12） ； （3）当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L1不存在点 R 使得 CA 平分PCR， 当点 P 在 y 轴右侧时，不妨设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方， 过点 P、R 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 S、T， 过点 P 作 PHTR 于点 H，则有PSCRTC90， 由 CA 平分PCR，得PCARCA，则P

10、CSRCT， PSCRTC， = ， 设点 P 坐标为（x1，12 21 3） ，点 R 坐标为（x2，22 22 3） ， 所以有 1 12;21;3;(;3) = 2 ;3;(22;22;3)， 整理得，x1+x24， 在 RtPRH 中，tanPRH= = 12213(22223) 12 = 1+ 2 2 = 2 过点 Q 作 QKx 轴于点 K，设点 Q 坐标为（m， 1 2 2 3 2 + 2） ， 若 OQPR，则需QOKPRH， 所以 tanQOKtanPRH2， 所以 2m= 1 2 2 3 2 + 2， 解得，m= 765 2 ， 所以点 Q 坐标为（;7:65 2 ，7+6

11、5）或（;7;65 2 ，765） 3（2019 年无锡 27 题）已知二次函数 yax24ax+c（a0）的图象与它的对称轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 C（0，2） ，其对称轴与 x 轴相交于点 B （1）若直线 BC 与二次函数的图象的另一个交点 D 在第一象限内，且 BD= 2，求这个二次函数的表达 式； （2）已知 P 在 y 轴上，且POA 为等腰三角形，若符合条件的点 P 恰好有 2 个，试直接写出 a 的值 【分析】 （1）先求得对称轴方程，进而得 B 点坐标，过 D 作 DHx 轴于点 H，由 B，C 的坐标得OBC 45，进而求得 DH，BH，便可得 D 点坐标，再由待

12、定系数法求得解析式； （2）先求出 A 点的坐标，再分两种情况：A 点在 x 轴上时，OPA 为等腰直角三角形，符合条件的点 P 恰好有 2 个；A 点不在 x 轴上，AOB30，OPA 为等边三角形或顶角为 120的等腰三角形，符合 条件的点 P 恰好有 2 个据此求得 a 【解析】 （1）过点 D 作 DHx 轴于点 H，如图 1， 二次函数 yax24ax+c， 对称轴为 x= 4 2 = 2， B（2，0） ， C（0，2） ， OBOC2， OBCDBH45， BH= 2， BHDH1， OHOB+BH2+13， D（3，1） ， 把 C（0，2） ，D（3，1）代入 yax24ax

13、+c 中得， = 2 9 12 + = 1， = 1 = 2， 二次函数的解析式为 yx2+4x2； （2）yax24ax+c 过 C（0，2） ， c2， yax24ax+ca（x2）24a2， A（2，4a2） ， P 在 y 轴上，且POA 为等腰三角形，若符合条件的点 P 恰好有 2 个， 当抛物线的顶点 A 在 x 轴上时，POA90，则 OPOA，这样的 P 点只有 2 个，正、负半轴各 一个，如图 2， 此时 A（2，0） ， 4a20， 解得 a= 1 2； 当抛物线的顶点 A 不在 x 轴上时，AOB30时，则OPA 为等边三角形或AOP120的等腰 三角形，这样的 P 点也

14、只有两个，如图 3， ABOBtan302 3 3 = 23 3 ， |4a2|= 23 3 ， = 1 2 1 63或 1 2 + 1 63 综上，a= 1 2或 1 2 1 63或 1 2 + 1 63 4（2017 年淮安 28 题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= 1 3x 2+bx+c 的图象与坐标轴交 于 A，B，C 三点，其中点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0） ，连接 AC，BC动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点

15、B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， 设运动时间为 t 秒连接 PQ （1）填空：b 1 3 ，c 4 ； （2）在点 P，Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 M，使PQM 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角 形？若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由； （4）如图，点 N 的坐标为（ 3 2，0） ，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点 Q 关于直线 NH 的对称 点 Q恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q的坐标 【分析】 （1）设抛物线的解析式为 ya（x+3） （x4）

16、 将 a= 1 3代入可得到抛物线的解析式，从而可 确定出 b、c 的值； （2）连结 QC先求得点 C 的坐标，则 PC5t，依据勾股定理可求得 AC5，CQ2t2+16，接下来， 依据 CQ2CP2AQ2AP2列方程求解即可； （3）过点 P 作 DEx 轴，分别过点 M、Q 作 MDDE、QEDE，垂足分别为 D、E，MD 交 x 轴与点 F， 过点 P 作 PGx 轴， 垂足为点 G， 首先证明PAGACO， 依据相似三角形的性质可得到 PG= 4 5t， AG= 3 5t， 然后可求得 PE、 DF 的长， 然后再证明MDPPEQ， 从而得到 PDEQ= 4 5t， MDPE3+ 2

17、 5t， 然 后可求得 FM 和 OF 的长，从而可得到点 M 的坐标，然后将点 M 的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （4）连结：OP，取 OP 的中点 R，连结 RH，NR，延长 NR 交线段 BC 与点 Q首先依据三角形的中 位线定理得到 RH= 1 2QO= 1 2t，RHOQ，NR= 1 2AP= 1 2t，则 RHNR，接下来，依据等腰三角形的性质 和平行线的性质证明 NH 是QNQ的平分线，然后求得直线 NR 和 BC 的解析式，最后求得直线 NR 和 BC 的交点坐标即可 【解析】 （1）设抛物线的解析式为 ya（x+3） （x4） 将 a= 1 3代入得：y= 1 3x 2

18、+1 3x+4， b= 1 3，c4 （2）在点 P、Q 运动过程中，APQ 不可能是直角三角形 理由如下：连结 QC 在点 P、Q 运动过程中，PAQ、PQA 始终为锐角， 当APQ 是直角三角形时，则APQ90 将 x0 代入抛物线的解析式得：y4， C（0，4） APOQt， PC5t， 在 RtAOC 中，依据勾股定理得：AC5，在 RtCOQ 中，依据勾股定理可知：CQ2t2+16，在 Rt CPQ 中依据勾股定理可知：PQ2CQ2CP2，在 RtAPQ 中，AQ2AP2PQ2， CQ2CP2AQ2AP2，即（3+t）2t2t2+16（5t）2，解得：t4.5 由题意可知：0t4，

19、t4.5 不合题意，即APQ 不可能是直角三角形 （3）如图所示： 过点 P 作 DEx 轴，分别过点 M、Q 作 MDDE、QEDE，垂足分别为 D、E，MD 交 x 轴与点 F，过 点 P 作 PGx 轴，垂足为点 G，则 PGy 轴，ED90 PGy 轴， PAGACO， = = ，即 4 = 3 = 5， PG= 4 5t，AG= 3 5t， PEGQGO+OQAOAG+OQ3 3 5t+t3+ 2 5t，DFGP= 4 5t MPQ90，D90， DMP+DPMEPQ+DPM90， DMPEPQ 又DE，PMPQ， MDPPEQ， PDEQ= 4 5t，MDPE3+ 2 5t， FM

20、MDDF3+ 2 5t 4 5t3 2 5t，OFFG+GOPD+OAAG3+ 4 5t 3 5t3+ 1 5t， M（3 1 5t，3+ 2 5t） 点 M 在 x 轴下方的抛物线上， 3+ 2 5t= 1 3 （3 1 5t） 2+1 3 （3 1 5t）+4，解得：t= 655205 2 0t4， t= 65+5205 2 （4）如图所示：连结 OP，取 OP 的中点 R，连结 RH，NR，延长 NR 交线段 BC 于点 Q 点 H 为 PQ 的中点，点 R 为 OP 的中点， RH= 1 2QO= 1 2t，RHOQ A（3，0） ，N（ 3 2，0） ， 点 N 为 OA 的中点 又

21、R 为 OP 的中点， NR= 1 2AP= 1 2t， RHNR， RNHRHN RHOQ， RHNHNO， RNHHNO，即 NH 是QNQ的平分线 设直线 AC 的解析式为 ymx+n，把点 A（3，0） 、C（0，4）代入得：3 + = 0 = 4 ， 解得：m= 4 3，n4， 直线 AC 的表示为 y= 4 3x+4 同理可得直线 BC 的表达式为 yx+4 设直线 NR 的函数表达式为 y= 4 3x+s，将点 N 的坐标代入得： 4 3 （ 3 2）+s0，解得：s2， 直线 NR 的表述表达式为 y= 4 3x+2 将直线 NR 和直线 BC 的表达式联立得： = 4 3 +

22、 2 = + 4 ，解得：x= 6 7，y= 22 7 ， Q（6 7， 22 7 ） 5（2017 年宿迁 25 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx22x3 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，将该抛物线位于 x 轴上方曲线记作 M，将该抛物线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折，翻 折后所得曲线记作 N，曲线 N 交 y 轴于点 C，连接 AC、BC （1）求曲线 N 所在抛物线相应的函数表达式； （2）求ABC 外接圆的半径； （3）点 P 为曲线 M 或曲线 N 上的一动点，点 Q 为 x 轴上的一个动点，若以点 B，C，P，Q 为顶点的四 边形是

23、平行四边形，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）由已知抛物线可求得 A、B 坐标及顶点坐标，利用对称性可求得 C 的坐标，利用待定系数 法可求得曲线 N 的解析式； （2）由外接圆的定义可知圆心即为线段 BC 与 AB 的垂直平分线的交点，即直线 yx 与抛物线对称轴的 交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长； （3）设 Q（x，0） ，当 BC 为平行四边形的边时，则有 BQPC 且 BQPC，从而可用 x 表示出 P 点的 坐标，代入抛物线解析式可得到 x 的方程，可求得 Q 点坐标，当 BC 为平行四边形的对角线时，由 B、C 的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可

24、表示出 P 点坐标，代入抛物线解析式可得到关于 x 的方程，可求得 P 点坐标 【解析】 （1）在 yx22x3 中，令 y0 可得 x22x30，解得 x1 或 x3， A（1，0） ，B（3，0） ， 令 x0 可得 y3， 又抛物线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折后得到曲线 N， C（0，3） ， 设曲线 N 的解析式为 yax2+bx+c， 把 A、B、C 的坐标代入可得 + = 0 9 + 3 + = 0 = 3 ，解得 = 1 = 2 = 3 ， 曲线 N 所在抛物线相应的函数表达式为 yx2+2x+3； （2）设ABC 外接圆的圆心为 M，则点 M 为线段 BC、线段 AB 垂

25、直平分线的交点， B（3，0） ，C（0，3） ， 线段 BC 的垂直平分线的解析式为 yx， 又线段 AB 的垂直平分线为曲线 N 的对称轴，即 x1， M（1，1） ， MB= (1 3)2+ 12= 5， 即ABC 外接圆的半径为5； （3）设 Q（t，0） ，则 BQ|t3| 当 BC 为平行四边形的边时，如图 1，则有 BQPC， P 点纵坐标为 3， 即过 C 点与 x 轴平行的直线与曲线 M 和曲线 N 的交点即为点 P，x 轴上对应的即为点 Q， 当点 P 在曲线 M 上时，在 yx22x3 中，令 y3 可解得 x1+7或 x17， PC1+7或 PC= 7 1， 当 x1+

26、7时，可知点 Q 在点 B 的右侧，可得 BQt3， t31+7，解得 t4+7， 当 x17时，可知点 Q 在点 B 的左侧，可得 BQ3t， 3t= 7 1，解得 t47， Q 点坐标为（4+7，0）或（47，0） ； 当点 P 在曲线 N 上时，在 yx2+2x+3 中，令 y3 可求得 x0（舍去）或 x2， PC2， 此时 Q 点在 B 点的右侧，则 BQt3， t32，解得 t5， Q 点坐标为（5，0） ； 当 BC 为平行四边形的对角线时， B（3，0） ，C（0，3） ， 线段 BC 的中点为（3 2， 3 2） ，设 P（x，y） ， x+t3，y+03，解得 x3t，y3

27、， P（3t，3） ， 当点 P 在曲线 M 上时，则有 3（3t）22（3t）3，解得 t2+7或 t27， Q 点坐标为（2+7，0）或（27，0） ； 当点 P 在曲线 N 上时，则有 3（3t）2+2（3t）+3，解得 t3（Q、B 重合，舍去）或 t1， Q 点坐标为（1，0） ； 综上可知 Q 点的坐标为（4+7，0）或（47，0）或（5，0）或（2+7，0）或（27，0）或（1， 0） 6 （2017 年常州 27 题）如图，在平面直角坐标系 xOy，已知二次函数 y= 1 2x 2+bx 的图象过点 A（4， 0） ，顶点为 B，连接 AB、BO （1）求二次函数的表达式； （

28、2）若 C 是 BO 的中点，点 Q 在线段 AB 上，设点 B 关于直线 CQ 的对称点为 B，当OCB为等边三 角形时，求 BQ 的长度； （3）若点 D 在线段 BO 上，OD2DB，点 E、F 在OAB 的边上，且满足DOF 与DEF 全等，求点 E 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）先求出 OB 和 AB 的长，根据勾股定理的逆定理证明ABO90，由对称计算QCB60，利 用特殊的三角函数列式可得 BQ 的长； （3）因为 D 在 OB 上，所以 F 分两种情况： i）当 F 在边 OA 上时，ii）当点 F 在 AB 上时， 当 F 在边 OA 上时

29、，分三种情况： 如图 2，过 D 作 DFx 轴，垂足为 F，则 E、F 在 OA 上，如图 3，作辅助线，构建OFDEDF FGE，如图 4，将DOF 沿边 DF 翻折，使得 O 恰好落在 AB 边上，记为点 E，当点 F 在 OB 上 时，过 D 作 DFx 轴，交 AB 于 F，连接 OF 与 DA，依次求出点 E 的坐标即可 ii）当点 F 在 AB 上时，分两种情况：画出图形可得结论 【解析】 （1）将点 A 的坐标代入二次函数的解析式得： 1 2 42+4b0，解得 b2， 二次函数的表达式为 y= 1 2x 2+2x （2）y= 1 2x 2+2x= 1 2（x2） 2+2， B

30、（2，2） ，抛物线的对称轴为 x2 如图 1 所示： 由两点间的距离公式得：OB= 22+ 22=22，BA= (4 2)2+ (2 0)2=22 C 是 OB 的中点， OCBC= 2 OBC 为等边三角形， OCB60 又点 B 与点 B关于 CQ 对称， BCQBCQ60 OA4，OB22，AB22， OB2+AB2OA2 OBA90 在 RtCBQ 中，CBQ90，BCQ60，BC= 2， tan60= ， BQ= 3CB= 3 2 = 6 （3）分两种情况： i）当 F 在边 OA 上时， 如图 2，过 D 作 DFx 轴，垂足为 F， DOFDEF，且 E 在线段 OA 上， O

31、FFE， 由（2）得：OB22， 点 D 在线段 BO 上，OD2DB， OD= 2 3OB= 42 3 ， BOA45， cos45= ， OFODcos45= 42 3 2 2 = 4 3， 则 OE2OF= 8 3， 点 E 的坐标为（8 3，0） ； 如图 3，过 D 作 DFx 轴于 F，过 D 作 DEx 轴，交 AB 于 E，连接 EF，过 E 作 EGx 轴于 G， BDEBOA， = = 1 3， OA4， DE= 4 3， DEOA， OFDFDE90， DEOF= 4 3，DFDF， OFDEDF， 同理可得：EDFFGE， OFDEDFFGE， OGOF+FGOF+DE

32、= 4 3 + 4 3 = 8 3，EGDFODsin45= 4 3， E 的坐标为（8 3， 4 3） ； 如图 4，将DOF 沿边 DF 翻折，使得 O 恰好落在 AB 边上，记为点 E， 过 B 作 BMx 轴于 M，过 E 作 ENBM 于 N， 由翻折的性质得：DOFDEF， ODDE= 42 3 ， BD= 1 2OD= 22 3 ， 在 RtDBE 中，由勾股定理得：BE= 2 2= 26 3 ， 则 BNNEBEcos45= 26 3 2 2 = 23 3 ， OM+NE2+ 23 3 ，BMBN2 23 3 ， 点 E 的坐标为： （2+ 23 3 ，2 23 3 ） ； i

33、i）当点 F 在 AB 上时， 过 D 作 DFx 轴，交 AB 于 F，连接 OF 与 DA， DFx 轴， BDFBOA， = ， 由抛物线的对称性得：OBBA， BDBF， 则BDFBFD，ODFAFD， ODOBBDBABFAF， 则DOFDAF， E 和 A 重合，则点 E 的坐标为（4，0） ； 如图 6，由可知：当 E 与 O 重合时，DOF 与DEF 重合， 此时点 E（0，0） ； 综上所述，点 E 的坐标为： （8 3，0）或（ 8 3， 4 3）或（2+ 23 3 ，2 23 3 ）或（4，0）或（0，0） 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2020张

34、家港市模拟）如图，二次函效 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，B 点坐标为（4，0） ， 与 y 轴交于点 C（0，4）点 D 为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式及 A 点坐标； （2）若BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点 D 的坐标； （3）若BCD 是锐角三角形，请写出点 D 的横坐标 m 的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令 y0，求 A 的坐标； （2）设 D 点板坐标为 3，代入函数解析式可得纵坐标，分别论BCD90，CBD90的情況，作 出图形进行求解； （3）当 BC 为斜边构成 RtBCD 时，以 BC 中点 O

35、 为圆心，以 BC 直径画圆，与抛物线交于 D 和 D， 此时BCD 和BCD就是以 BC 为 斜边的直角三角形，利用两点间的距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到 m 的取值范围 【解答】 （1）解：将 B（4，0） ，C（0，4）代入 yx2+bx+c 得16 + 4 + = 0 = 4 解得 = 5 = 4 所以抛物的解析式为 yx25x+4 令 y0，得 x25x+40，解得 x11，x24 A 点的坐标为（1，0） （2）解：设 D 点坐标为 a，则坐标为 a25a+4 当BCD90时，如下图所示， 连结 BC，过 C 点作 CDBC 与抛物 交于点 D，过 D 作 DEy 轴于点

36、 E， 由 B、C 坐标可知，OBOC4 OBC 为等要真角三角形， OCBOBC45 又BCD90， ECD+OCB90 ECD45， CDE 为等要真角三角形， DECEa OEOC+CEa+4 由 D、E 织坐标相等，可得 a25a+4a+4 解得 a16，a20， 当 a0 时，D 点坐标为（0，4） ，与 C 重含，不符含思意，舍去 当 a6 时，D 点坐标为（6，10） 当CBD90时，如下图所示， 连按 BC，过 B 点作 BDBC 与抛物线 交于点 D，过 B 作 FGx 轴，再过 C 作 CFFG 于 F，过 D 作 DGFG 于 G COBOBFBFC90， 四边形 OBF

37、C 为形， 又OCOB， 四边形 OBFC 为正方形， CBF45 CBD90， CBF+DBG90 DBG45， DBG 为等腰直角三角形， DGBG D 点横坐标为 a DG4a 而 BG（a25a+4） （a25a+4）4a 解得 a12，a24 当 a4 时，D 点坐标为（4，0） ，与 B 重含，不符含题意，舍去 当 a2 时，D 点坐标为（2，2） 上所述，D 点坐标为（6，10）或（2，2） （3）当 BC 为斜边构成 RtBCD 时，如下图所示， 以 BC 中点 O为圆心，以 BC 为直径画圆，与物线交于 D 和 D BC 为 O的直径 BDCBDC90 = 2+ 2= 42

38、D 到 O的距离为 O的半径 = 1 2 = 22 D 点横坐标为 m，纵坐标为 m25m+4，O坐标为（2，2） ， = ( 2)2+ (2 5 + 4 2)2由图象易得 m0 或 4 为方程的解，则方程方边必有因式 m （m 一 4） 采用因式分解法进行降次解方程 m（m4） （m26m+6）0 m0 或 m40 或 m26m+60 ，解得1= 0，2= 4，3= 3 + 3，4= 3 3当 m0 时，D 点坐标为（0，4） ，与 C 点重合， 舍去； 当 m4 时，D 点坐标为（4，0） ，与 B 点重合，舍去； 当 = 3 + 3时，D 点横坐标3 + 3 当 = 3 3时，D 点横坐

39、标为3 3 结合（2）中BCD 形成直角三角形的情况， 可得BCD 为锐角三角形时，D 点横坐标 m 的取值范围为3 + 36或3 32 2 （2020宝应县一模）如图 1，矩形 ABCD 的一边 BC 在直角坐标系中 x 轴上，折叠边 AD，使点 D 落在 x 轴上点 F 处，折痕为 AE，已知 AB8，AD10，并设点 B 坐标为（m，0） ，其中 m0 （1）求点 E、F 的坐标（用含 m 的式子表示） ； （2）连接 OA，若OAF 是等腰三角形，求 m 的值； （3）如图 2，设抛物线 ya（xm+6）2+h 经过 A、E 两点，其顶点为 M，连接 AM，若OAM90， 求 a、h、

40、m 的值 【分析】 （1）根据题意和图形，可以求得 BF，CE 的长度，再根据点 B 坐标为（m，0） ，从而可以用含 m 的式子表示表示出点 E、F 的坐标； （2）根据题意，可知分三种情况，然后分别求出 m 的值即可解答本题； （3） 根据 （1） 中的结果， 可以用含 m 的式子表示出点 A 和点 E 的坐标， 然后根据抛物线 ya （xm+6） 2+h 经过 A、E 两点，从而可以求得 a、h 的值，再根据三角形相似，可以求得 m 的值，本题得以解决 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形，AB8，AD10， ADBC10，ABCD8，DDCBABC90， 由折叠对称性：AFAD

41、10，FEDE， 在 RtABF 中，BF= 2 2= 102 82=6， FC4， 设 DEx，则 CE8x， 在 RtECF 中，42+（8x）2x2，得 x5， CE8x3， 点 B 的坐标为（m，0） ， 点 E 的坐标为（m10，3） ，点 F 的坐标为（m6，0） ； （2）分三种情形讨论： 若 AOAF， ABOF，BF6， OBBF6， m6； 若 OFAF，则 m610，得 m4； 若 AOOF， 在 RtAOB 中，AO2OB2+AB2m2+64， （m6）2m2+64，得 m= 7 3； 由上可得，m6 或4 或 7 3； （3）由（1）知 A（m，8） ，E（m10，3

42、） ， 抛物线 ya（xm+6）2+h 经过 A、E 两点， ( + 6) 2 + = 8 ( 10 + 6)2+ = 3， 解得， = 1 4 = 1 ， 该抛物线的解析式为 y= 1 4（xm+6） 21， 点 M 的坐标为（m6，1） ， 设对称轴交 AD 于 G， G（m6，8） ， AG6，GM8（1）9， OAB+BAM90，BAM+MAG90， OABMAG， 又ABOMGA90， AOBAMG， = ， 即; 9 = 8 6， 解得，m12， 由上可得，a= 1 4，h1，m12 3 （2019 秋邗江区校级期末）如图抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴，y 轴分别交于

43、点 A（1，0） ， B（4，0） ，点 C 三点 （1）试求抛物线解析式； （2）点 D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接 BC，BD试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一 点 P，满足PBCDBC？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点 N 在抛物线的对称轴上， 点 M 在抛物线上， 当以 M、 N、 B、C 为顶点的四边形是平行四边形时， 请直接写出点 M 的坐标 【分析】 （1）把已知点 A、B 代入抛物线 yax2+bx+4 中即可求解； （2） 将二次函数与方程、 几何知识综合起来， 先求点 D 的坐标， 再根据三角形全等证明PBCDBC， 最后求出直线 BP 解析式即可求出 P 点坐标； （3）根据平行四边形的判定即可写出点 M 的坐标 【解答】解：如图： （1）抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴，y 轴分别交于点 A（1，0） ，B（4，0） ，点 C 三点 + 4 = 0 16 + 4 + 4 = 0，