专题03 二次函数与相似问题(镇江27题扬州28题连云港26题等)(解析版).docx
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1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练(江苏专用)年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练(江苏专用) 专题专题 03 二次函数与相似问题二次函数与相似问题 【真题再现】【真题再现】 1(2019年镇江第27题) 如图, 二次函数yx2+4x+5图象的顶点为D, 对称轴是直线l, 一次函数y= 2 5x+1的 图象与 x 轴交于点 A,且与直线 DA 关于 l 的对称直线交于点 B (1)点 D 的坐标是 (2,9) ; (2)直线 l 与直线 AB 交于点 C,N 是线段 DC 上一点(不与点 D、C 重合) ,点 N 的纵坐标为 n过点 N 作直线与线段 DA、DB 分别
2、交于点 P、Q,使得DPQ 与DAB 相似 当 n= 27 5 时,求 DP 的长; 若对于每一个确定的 n 的值,有且只有一个DPQ 与DAB 相似,请直接写出 n 的取值范围 9 5 n 21 5 【分析】 (1)直接用顶点坐标公式求即可; (2)由对称轴可知点 C(2,9 5) ,A( 5 2,0) ,点 A 关于对称轴对称的点( 13 2 ,0) ,借助 AD 的直线解 析式求得 B(5,3) ;当 n= 27 5 时,N(2,27 5 ) ,可求 DA= 95 2 ,DN= 18 5 ,CD= 36 5 当 PQAB 时, DPQDAB,DPDP= 9 45;当 PQ 与 AB 不平
3、行时,DP= 3 25, ;当 PQAB,DBDP 时,DB 35,DN= 24 5 ,所以 N(2,21 5 ) ,则有且只有一个DPQ 与DAB 相似时,9 5 n 21 5 ; 【解析】 (1)顶点为 D(2,9) ; 故答案为(2,9) ; (2)对称轴 x2, C(2,9 5) , 由已知可求 A( 5 2,0) , 点 A 关于 x2 对称点为(13 2 ,0) , 则 AD 关于 x2 对称的直线为 y2x+13, B(5,3) , 当 n= 27 5 时,N(2,27 5 ) , DA= 95 2 ,DN= 18 5 ,CD= 36 5 当 PQAB 时,DPQDAB, DAC
4、DPN, = , DP= 9 45; 当 PQ 与 AB 不平行时,DPQDBA, DNQDCA, = , DP= 3 25; 综上所述,DP= 3 25,DP= 9 45; 当 PQAB,DBDP 时, DB35, = , DN= 24 5 , N(2,21 5 ) , 有且只有一个DPQ 与DAB 相似时,9 5 n 21 5 ; 故答案为9 5 n 21 5 ; 点睛:本题考查二次函数的图象及性质,三角形的相似;熟练掌握二次函数的性质,三角形相似的判定 与性质是解题的关键 2 (2018 年扬州第 28 题)如图 1,四边形 OABC 是矩形,点 A 的坐标为(3,0) ,点 C 的坐标
5、为(0,6) , 点 P 从点 O 出发,沿 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 运动,同时点 Q 从点 A 出发,沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动,当点 P 与点 A 重合时运动停止设运动时间为 t 秒 (1)当 t2 时,线段 PQ 的中点坐标为 (5 2,2) ; (2)当CBQ 与PAQ 相似时,求 t 的值; (3)当 t1 时,抛物线 yx2+bx+c 经过 P,Q 两点,与 y 轴交于点 M,抛物线的顶点为 K,如图 2 所 示,问该抛物线上是否存在点 D,使MQD= 1 2MKQ?若存在,求出所有满足条件的 D 的坐标;若不 存在,说明理由 【分析】
6、 (1)先根据时间 t2,和 P,Q 的运动速度可得动点 P 和 Q 的路程 OP 和 AQ 的长,再根据中 点坐标公式可得结论; (2)根据矩形的性质得:BPAQ90,所以当CBQ 与PAQ 相似时,存在两种情况: 当PAQQBC 时, = ,当PAQCBQ 时, = ,分别列方程可得 t 的值; (3)根据 t1 求抛物线的解析式,根据 Q(3,2) ,M(0,2) ,可得 MQx 轴,则 KMKQ,KE MQ,画出符合条件的点 D,证明KEQQMH 或利用三角函数,列比例式可得点 D 的坐标,同理根 据对称可得另一个点 D 【解析】 (1)如图 1,点 A 的坐标为(3,0) , OA3
7、, 当 t2 时,OPt2,AQ2t4, P(2,0) ,Q(3,4) , 线段 PQ 的中点坐标为: (2:3 2 ,0:4 2 ) ,即(5 2,2) ; 故答案为: (5 2,2) ; (2)如图 1,当点 P 与点 A 重合时运动停止,且PAQ 可以构成三角形, 0t3, 四边形 OABC 是矩形, BPAQ90 当CBQ 与PAQ 相似时,存在两种情况: 当PAQQBC 时, = , 3; 2 = 6;2 3 , 4t215t+90, (t3) (t 3 4)0, t13(舍) ,t2= 3 4, 当PAQCBQ 时, = , 3; 2 = 3 6;2, t29t+90, t= 93
8、5 2 , 9:35 2 3, t= 9+35 2 不符合题意,舍去, 综上所述,当CBQ 与PAQ 相似时,t 的值是3 4或 9;35 2 ; (3)当 t1 时,P(1,0) ,Q(3,2) , 把 P(1,0) ,Q(3,2)代入抛物线 yx2+bx+c 中得: 1 + + = 0 9 + 3 + = 2,解得: = 3 = 2 , 抛物线:yx23x+2(x 3 2) 21 4, 顶点 k(3 2, 1 4) , Q(3,2) ,M(0,2) , MQx 轴, 作抛物线对称轴,交 MQ 于 E,设 DQ 交 y 轴于 H, KMKQ,KEMQ, MKEQKE= 1 2MKQ, 如图
9、2,MQD= 1 2MKQQKE, tanMQDtanQKE= = , 即 3 = 3 2 2:1 4 ,MH2, H(0,4) , 易得 HQ 的解析式为:y= 2 3x+4, 则 = 2 3 + 4 = 2 3 + 2 , x23x+2= 2 3x+4, 解得:x13(舍) ,x2= 2 3, D( 2 3, 40 9 ) ; 同理,在 M 的下方,y 轴上存在点 H,如图 3,使HQM= 1 2MKQQKE, 由对称性得:H(0,0) , 易得 OQ 的解析式:y= 2 3x, 则 = 2 3 = 2 3 + 2 , x23x+2= 2 3x, 解得:x13(舍) ,x2= 2 3, D
10、(2 3, 4 9) ; 综上所述,点 D 的坐标为:D( 2 3, 40 9 )或(2 3, 4 9) 点睛:本题是二次函数与三角形相似的综合问题,主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用,三角 形和四边形的面积,二次函数的最值问题的应用,函数的交点等知识,本题比较复杂,注意用 t 表示出 线段长度,再利用相似即可找到线段之间的关系,代入可解决问题 3 (2018 年镇江第 27 题)如图,二次函数 yx23x 的图象经过 O(0,0) ,A(4,4) ,B(3,0)三点, 以点 O 为位似中心, 在 y 轴的右侧将OAB 按相似比 2: 1 放大, 得到OAB, 二次函数 yax2+bx+
11、c (a0)的图象经过 O,A,B三点 (1)画出OAB,试求二次函数 yax2+bx+c(a0)的表达式; (2)点 P(m,n)在二次函数 yx23x 的图象上,m0,直线 OP 与二次函数 yax2+bx+c(a0) 的图象交于点 Q(异于点 O) 求点 Q 的坐标(横、纵坐标均用含 m 的代数式表示) 连接 AP,若 2APOQ,求 m 的取值范围; 当点 Q 在第一象限内,过点 Q 作 QQ平行于 x 轴,与二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象交于另 一点 Q,与二次函数 yx23x 的图象交于点 M,N(M 在 N 的左侧) ,直线 OQ与二次函数 yx2 3x 的图象交于点
12、 PQPMQBN,则线段 NQ 的长度等于 6 【分析】 (1)由位似求出 A、B坐标,代入解析式即可; (2)用 m 表示 P 的坐标及 OP 解析式,用 m 表示 OP 与抛物线交点 Q 的坐标,表示用 m 表示 AP、 OQ,代入 2APOQ,求出 m 范围; 用 m 表示 QQ解析式, 得到 P坐标, 求出 M、 N 坐标, 应用QPMQBN 构造方程求 m 【解析】 (1)由以点 O 为位似中心,在 y 轴的右侧将OAB 按相似比 2:1 放大,得 = =2 A(4,4) ,B(3,0) A(8,8) ,B(6,0) 将 O(0,0) ,A(8,8) ,B(6,0)代入 yax2+b
13、x+c 得 = 0 36 + 6 = 0 64 + 8 = 0 解得 = 1 2 = 3 = 0 二次函数的解析式为 y= 1 2x 23x; (2)点 P 在 yx23x 的图象上, nm23m, P(m,m23m) , 设直线 OP 的解析式为 ykx 将点 P 代入,得 mkm23m,解得 km3, OP:y(m3)x 直线 OP 与 y= 1 2x 23x 交于点 Q 1 2x 23x(m3)x,解得 x10(舍) ,x22m, Q(2m,2m26m) P(m,n)在二次函数 yx23x 的图象上 nm23m P(m,m23m) 设直线 OP 的解析式为 ykx,将点 P(m,m23m
14、)代入函数解析式, 得 mkm23m km3 OP 的解析是为 y(m3)x OP 与 y1 2x 23x 交于 Q 点 = ( 3) = 1 2 2 3 解得 = 0 = 0(不符合题意舍去) = 2 = 22 6 Q(2m,2m26m)过点 P 作 PCx 轴于点 C,过点 Q 作 QDx 轴于点 D 则 OC|m|,PC|m23m|,OD|2m|,QD|226m| = =2 OCPODQ OQ2OP 2APOQ 2AP2OP,即 APOP ( 4)2+ (2 3 4)22+ (2 3)2 化简,得 m22m40,解得 15m1+5,且 m0; P(m,m23m) ,Q(2m,2m26m)
15、 点 Q 在第一象限, 20 22 60,解得3 由 Q(2m,2m26m) ,得 QQ的表达式是 y2m26m QQ交 y= 1 2x 23x 交于点 Q = 1 2 2 3 = 22 6 解得 = 2 = 22 6(不符合题意,舍) = 6 2 = 22 6 Q(62m,2m26m) 设 OQ的解析是为 ykx, (62m)k2m26m 解得 km,OQ的解析式为 ym OQ与 yx23x 交于点 P mxx23x 解得 x10(舍) ,x23m P(3m,m23m) QQ与 yx23x 交于点 P mxx23x 解得 x10(舍去) ,x23m P(3m,m23m) QQ与 yx23x
16、交于点 M、N x23x2m26m 解得 x1= 3+8224+9 2 ,x2= 38224+9 2 M 在 N 左侧 M(3:8 2;24:9 2 ,2m26m) N(3;8 2;24:9 2 ,2m26m) QPMQBN = ( ) 2 = (3)2+(23)2 (26)2+(226)2 = 1 4 即3;8 2;24:9;(6;2) 2;3:8 224:9 2 = 1 2 化简得 m212m+270 解得:m13(舍) ,m29 N(12,108) ,Q(18,108) QN6 故答案为:6 点睛:本题二次函数背景的代数几何综合题,综合考查二次函数、一次函数、三角形相似的性质,应用 数形
17、结合的数学思想 4 (2018 年连云港第 26 题) 如图 1, 图形 ABCD 是由两个二次函数 y1kx2+m(k0) 与 y2ax2+b (a0) 的部分图象围成的封闭图形已知 A(1,0) 、B(0,1) 、D(0,3) (1)直接写出这两个二次函数的表达式; (2)判断图形 ABCD 是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形 ABCD 上) ,并说明理由; (3)如图 2,连接 BC,CD,AD,在坐标平面内,求使得BDC 与ADE 相似(其中点 C 与点 E 是对 应顶点)的点 E 的坐标 【分析】 (1)利用待定系数法即可得出结论; (2)先确定出 MM(1m2)(3m23)
18、44m2,进而建立方程 2m44m2,即可得出结论; (3)先利用勾股定理求出 AD= 10,同理:CD= 10,BC= 2,再分两种情况: 如图 1,当DBCDAE 时,得出 = ,进而求出 DE= 5 2,即可得出 E(0, 1 2) , 再判断出DEFDAO, 得出 = = , 求出 DF= 310 4 , EF= 10 4 , 再用面积法求出 EM= 3 2, 即可得出结论; 如图 2,当DBCADE 时,得出 = ,求出 AE= 5 2, 当 E 在直线 AD 左侧时,先利用勾股定理求出 PA= 5 3,PO= 4 3,进而得出 PE= 5 6,再判断出 = 即 可得出点 E 坐标,
19、当 E在直线 DA 右侧时,即可得出结论 【解析】 (1)点 A(1,0) ,B(0,1)在二次函数 y1kx2+m(k0)的图象上, + = 0 = 1 , = 1 = 1 , 二次函数解析式为 y1x2+1, 点 A(1,0) ,D(0,3)在二次函数 y2ax2+b(a0)的图象上, + = 0 = 3 , = 3 = 3, 二次函数 y23x23; (2)设 M(m,m2+1)为第一象限内的图形 ABCD 上一点,M(m,3m23)为第四象限的图形上一 点, MM(1m2)(3m23)44m2, 由抛物线的对称性知,若有内接正方形, 2m44m2, m= 1+17 4 或 m= 117
20、 4 (舍) , 0 1+17 4 1, MM= 1+17 2 存在内接正方形,此时其边长为;1:17 2 ; (3)在 RtAOD 中,OA1,OD3, AD= 2+ 2= 10, 同理:CD= 10, 在 RtBOC 中,OBOC1, BC= 2+ 2= 2, 如图 1,当DBCDAE 时, CDBADO, 在 y 轴上存在 E,由 = , 4 10 = 10 , DE= 5 2, D(0,3) , E(0, 1 2) , 由对称性知,在直线 DA 右侧还存在一点 E使得DBCDAE, 连接 EE交 DA 于 F 点,作 EMOD 于 M,连接 ED, E,E关于 DA 对称, DF 垂直
21、平分线 EE, DEFDAO, = = , 2.5 10 = 3 = 1 , DF= 310 4 ,EF= 10 4 , SDEE= 1 2DEEMEFDF= 15 8 , EM= 3 2, DEDE= 5 2, 在 RtDEM 中,DM= 2 2=2, OM1, E(3 2,1) , 如图 2, 当DBCADE 时,有BDCDAE, = , 4 10 = 10 , AE= 5 2, 当 E 在直线 AD 左侧时,设 AE 交 y 轴于 P,作 EQAC 于 Q, BDCDAEODA, PDPA, 设 PDn, PO3n,PAn, 在 RtAOP 中,PA2OA2+OP2, n2(3n)2+1
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