考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 (2019年高考数学真题分类Word文件).docx
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1、 温馨提示:温馨提示: 此题库为此题库为 WordWord 版版, , 请按住请按住 Ctrl, Ctrl, 滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴, , 调节调节 合适的观看比例合适的观看比例, , 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 41 41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 一、选择题 1.(2019北京高考理科T8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一 (如图).给出下列三个结论: 曲线C恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点); 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ; 曲线C所
2、围成的“ 心形” 区域的面积小于 3. 其中,所有正确结论的序号是 ( ) A. B. C. D. 【命题意图】考查曲线与方程,距离问题,面积问题,对称性等,意在考查知识的运用能力,推理能力,运算能 力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养. 【解析】选 C.对,令x=0 得y=1,即曲线C过整点(0,1);令x=1 得 1+y2=1+y,y=0,1,即曲线C过 整点(1,0),(1,1),又由曲线关于y轴对称知,曲线C过整点(-1,0),(-1,1),结合图形知,曲线C不过其他 整点,所以正确; 对,只需考虑第一象限内的点,即x0,y0,设C上的点(x,y)到
3、原点的距离为d,则x2+y2=1+|x|y=1+xy 1+ ,x2+y22,d ,所以正确; 对,由知,SOAB= 11= ,S 正方形OBCD=11=1,所以S阴影=2( )=3,所以心形区域面积大于 3, 错误. 二、解答题 2.(2019全国卷理科T21)已知曲线C:y= ,D为直线y=- 上的动点,过 D作C的两条切线,切点分别为 A,B. (1)证明:直线AB过定点. (2)若以E( )为圆心的圆与直线 AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积. 【命题意图】 本题考查直线、 圆及其位置关系的应用,考查考生数学运算、逻辑推理的求解综合问题的能力. 【解析】(1)设D(
4、 - ),A(x1,y1),则 =2y1. 由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故 - =x1. 整理得 2tx1-2y1+1=0. 设B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0. 故直线AB的方程为 2tx-2y+1=0. 所以直线AB过定点( ). (2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+ . 由 可得x2-2tx-1=0. 于是x1+x2=2t,x1x2=-1, y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1, |AB|= |x1-x2|= - =2(t2+1). 设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离, 则d1= ,d2= . 因此,四边形ADBE的面积 S= |AB|
5、(d1+d2)=(t 2+3) . 设M为线段AB的中点,则M( ). 由于,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行, 所以t+(t2-2)t=0.解得t=0 或t=1. 当t=0 时,S=3;当t=1 时,S=4 . 因此,四边形ADBE的面积为 3 或 4 . 3.(2019全国卷文科T21)已知曲线C:y= ,D为直线y=- 上的动点,过 D作C的两条切线,切点分别为 A,B. (1)证明:直线AB过定点. (2)若以E( )为圆心的圆与直线 AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程. 【解题指南】(1)表示出直线AB的方程,求出直线所过的定点. (2)利用根与系数的关系及已知
6、条件,分别表示出,利用二者的关系解出参数后求圆的方程. 【解析】(1)设D( - ),A(x1,y1),则 =2y1. 由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故 - =x1. 整理得 2tx1-2y1+1=0. 设B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0. 故直线AB的方程为 2tx-2y+1=0. 所以直线AB过定点( ). (2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+ . 由 ,可得x2-2tx-1=0. 于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1. 设M为线段AB的中点,则M( ). 由于,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)
7、t=0.解得t=0 或t=1. 当t=0 时,|=2,所求圆的方程为x2+( - ) =4; 当t=1 时,|= ,所求圆的方程为x2+( - ) =2. 4.(2019北京高考文科T19)已知椭圆C: + =1 的右焦点为(1,0),且经过点 A(0,1). (1)求椭圆C的方程. (2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ 与x轴交于点N,若|OM|ON|=2,求证:直线l经过定点. 【命题意图】 本小题主要考查椭圆方程及性质,直线与圆锥曲线位置关系,定点问题等,意在考查数形结合思 想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,
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