《线性代数》课件D2-3迭代法的收敛性.ppt

1、2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性2第二章第二章3 迭代法的收敛性迭代法的收敛性一、向量范数与矩阵范数一、向量范数与矩阵范数二、二、迭代法的收敛性迭代法的收敛性2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性3一、向量范数与矩阵范数一、向量范数与矩阵范数1nnR定定义义 满满足足如如下下条条件件的的 维维向向量量空空间间上上的的(1)0,00;XXX 正正定定性性：且且(2);kXkX 齐齐次次性性：|XX一一个个函函数数称称为为向向量量 的的范范数数或或模模:(3):.XYXY三三角角不不等等式式常常用用的的向向量量范范数数：12,(,),nTnxRxxxx 设设定定义义202

2、3-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性411|;niixx (1)(1)向向量量的的1-1-范范数数 12221|niixx (2)(2)向向量量的的2-2-范范数数(3)(3)向向量量的的-范范数数（也也称称最最大大范范数数）1|max|ii nxx (1,)pp 向向量量的的-范范数数11|npppiixx 2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性51/|ppxxnx 向向量量范范数数之之间间的的等等价价关关系系1211|xxxn 1 (1,0,2,3)|Txx 例例设设,求求，12|.xx ，以以及及 norm(X,1)matlab:norm(X,2)norm(X,inf)2

3、023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性64 ,|.n nA BRABAB （）设设则则2n nR 定定义义 满满足足如如下下条条件件的的上上的的一一个个函函数数|AA称称为为矩矩阵阵的的范范数数或或模模：(1)0,0;AAAO 正正定定性性：且且(2);kAkA 齐齐次次性性：(3):;ABAB三三角角不不等等式式2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性711|max|niji njAa 矩矩阵阵的的行行范范数数 2max|()TAA A 矩矩阵阵的的2-2-范范数数 ().n nijn nAaR 设设111|max|nijj niAa 矩矩阵阵的的列列范范数数 矩矩阵阵的的F

4、-F-范范数数（FrobeniusFrobenius范范数数）12211|.nnFijijAa 2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性83,|,nn nxRARAxAx 定定义义 如如果果对对任任何何都都成成立立则则称称所所给给的的向向量量范范数数与与矩矩阵阵范范数数相相容容.12212 =|30|.FAAAAA 例例设设,求求，和和matlab:norm(A,1)norm(A,2)norm(A,inf)norm(A,fro)2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性9二、二、迭代法的收敛性迭代法的收敛性4()定定义义 向向量量序序列列的的极极限限()*lim=kkXX()*l

5、im,1,2,kiikxxin ()*()lim=lim0kkkkXXXX *()lim0kkXX 15(1,2,)()max|.n niii nARinAA 定定义义 设设的的特特征征值值为为，称称 为为矩矩阵阵的的谱谱半半径径()|.AA 可可证证：2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性10(0)(1)()(2.3.5)()11kkXdXMXdM 对对任任意意的的初初始始向向量量及及任任意意的的右右端端向向量量，迭迭代代法法都都收收敛敛的的充充分分必必要要条条件件是是谱谱半半径径定定理理.*()(1)()*()(1)(0)|1,(2.3.5)1,1 .21kkkkkMXXXXMM

6、XXXXM 若若则则迭迭代代法法收收敛敛，且且有有误误差差估估计计式式 定定理理2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性113AA 若若 为为严严格格对对角角占占优优矩矩阵阵,则则 为为非非定定理理奇奇异异矩矩阵阵.16()()|,1,2,ijn nniiijjj iAaAaainA 定定义义 严严格格对对角角占占优优阵阵 设设，如如果果 满满足足条条件件|则则称称 为为严严格格对对角角占占优优矩矩阵阵。|0,AA 用用反反证证法法，若若 为为奇奇异异矩矩阵阵，证证 则则2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性124AXbA 若若的的系系数数矩矩阵阵 为为严严格格对对角角占占优

7、优矩矩阵阵,则则解解此此方方程程组组的的雅雅可可比比迭迭代代法法和和高高斯斯-塞塞德德尔尔迭迭代代法法都都定定理理收收敛敛.0AX 线线性性方方程程组组存存在在非非零零解解，设设为为121(,),|max|,Tnkii nXxxxxx 且且记记0AXk 由由的的第第 个个方方程程推推出出1|.nkkkjjj kaa A这这与与假假设设矛矛盾盾。故故 为为非非奇奇异异矩矩阵阵。2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性13 AXb (1)(1)先先证证解解方方程程组组的的雅雅可可比比迭迭代代证证法法收收敛敛.A为为严严格格对对角角占占优优矩矩阵阵11|1,1,2,nnijiiijjjiij

8、 ij iaaaina1()BDLU 雅雅可可比比迭迭代代矩矩阵阵,满满足足2由由定定理理 知知雅雅可可比比迭迭代代法法收收敛敛.11|max1.niji njiij iaBa 2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性14(2)(2)再再证证高高斯斯赛赛德德尔尔迭迭代代法法收收敛敛.1()()1.GDLUG G-SG-S迭迭代代矩矩阵阵,今今往往证证:|0,GIG 考考虑虑 的的特特征征值值，令令即即11|()|()|()|0,IDLUDLDLU111212122212|()|0.nnnnnnaaaaaaDLUaaa 也也即即(),|CDLUC令令则则当当|1|1时时，可可证证 为为2

9、023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性153|0.C 严严格格对对角角占占优优矩矩阵阵，从从而而由由定定理理，|0|0 CIG 这这说说明明即即的的根根 必必满满足足|1()11G ，亦亦即即，于于是是由由定定理理 知知高高斯斯-赛赛德德尔尔迭迭代代法法收收敛敛.5AXbA 若若的的系系数数矩矩阵阵 为为对对称称正正定定矩矩阵阵,则则解解此此方方程程组组的的高高斯斯-塞塞德德尔尔迭迭定定理理代代法法收收敛敛.关关于于超超松松弛弛迭迭代代法法有有如如下下定定理理：例例 习题二习题二 62023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性16 702,AXbASOR 若若的的系系数数矩矩阵阵 为为对对称称正正定定矩矩阵阵,且且定定则则解解理理此此方方程程组组的的法法收收敛敛.迭迭代代法法得得到到的的近近似似解解的的精精度度注注1 1要要适适当当；(0,1,2,)02.6iiAXb ainSOR 若若解解的的法法收收敛敛，则则 定定理理 有有时时应应该该用用迭迭代代法法求求解解一一个个同同解解注注2 2方方程程组组.12121212295,8313,8313.295.xxxxxxxx 如如：和和 2023-4-24第二章 第三节 迭代法的收敛性17