江西省红色七校2020届高三第二次联考理科数学试题附答案.docx

1、 江西省红色七校 2020 届高三第二次联 考数学（理科）试题 （分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、永新中学、瑞金一中、遂川中学） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数1zi （i是虚数单位） ，则z的模为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 2. 已知全集UR，集合1,0,1,2,3A ，|2Bx x，则 U AC B （ ） A. 1,0,1 B. 1,0,1,2 C. |2x x D. | 12xx 3. 命题“R ，sin0”的否定是（ ） A. R ，sin0 B. R ，sin0 C. R

2、 ，sin0 D. R ，sin0 4. 下列函数中，既是奇函数又在, 上单调递增的是（ ） A. sinyx B. yx C. 3 yx D. 2 ln(1)yxx 5. 已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 42 2SS，则数列 n a的公比q （ ） A. -1 B. 1 C. 1 D. 2 6. 过椭圆 22 1 2516 xy 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PFQ的周长 的最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 把标号为 1，2，3，4 的四个小球放入标号为 1，2，3，4 的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则 1 号

3、球不放入 1 号盒子的方法共有（ ） A. 18 种 B. 9 种 C. 6 种 D. 3 种 8. 为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的 1000 人，其服用后开始有 药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设 为解释变量x（分钟） ，这个区间上的人数为y（人） ，易见两变量x，y线性相关，那么一定在其线性回 归直线上的点为（ ） A. 1.5,0.10 B. 2.5,0.25 C. 2.5,250 D. 3,300 9. 单位正方体 111 ABCDABCO在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点, ,0M

4、a a，0, ,1Nb，其 中01a，01b，设由M，N，O三点确定的平面截该正方体的截面为E，那么（ ） A. 对任意点M，存在点N使截面E为三角形 B. 对任意点M，存在点N使截面E为正方形 C. 对任意点M和N，截面E都为梯形 D. 对任意点N，存在点M使得截面E为矩形 10. 设 4 log 3a ， 5 log 2b ， 8 log 5c ，则（ ） A. abc B. bca C. bac D. cab 11. 已知F是双曲线E： 22 22 10,0 xy ab ab 的左焦点，过点F且倾斜角为30的直线与曲线E的两 条渐近线依次交于A，B两点， 若A是线段FB的中点， 且C是线

5、段AB的中点， 则直线OC的斜率为 （ ） A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 3 12. 函数 11 sin xx f xeeax （xR，e是自然对数的底数，0a）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. 2 0, B. 2 0, C. 0,2 D. 0,2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 在ABC中， 222 sinsinsinsinsinABCBC，则角A的大小为_. 14. 已 知 函 数 yf x是 定 义 域 为R的 偶 函 数 ， 且 f x在0,上 单 调 递 增 ， 则 不 等 式 212fxf x的解集为_. 15. 已知各项都

6、为正数的数列 n a，其前n项和为 n S，若 2 41 nn Sa，则 n a _. 16. A，B为单位圆（圆心为O）上的点，O到弦AB的距离为 3 2 ，C是劣弧AB（包含端点）上一动 点，若,OCOAOBR ，则的取值范围为_. 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 2 1 3sincoscos(0) 2 xxf xx， 1 x， 2 x是函数 f x的零点，且 21 xx的 最小值为 2 . （1）求的值； （2）设,0, 2 ，若 13 235 f ， 155 21213 f ，求cos的值. 18. 某厂包装白

7、糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布 2 500,5N（单位：g）. （1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率约为多少？ （2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g，检测员根据抽检结果，判 断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 附 ： 2 ,XN ， 则0 . 6 8 2 6PX，220.9544PX， 330.9974PX. 19. 如图，直三棱柱 111 ABCABC中，ACBC， 1 AAAB，D为 1 BB的中点. （1）若E为 1 AB上的一点，且DE与直线CD垂直，求 1 1 E

8、B AB 的值； （2）在（1）的条件下，设异面直线 1 AB与CD所成的角为45，求直线DE与平面 11 ABC成角的正弦值. 20. 已知抛物线C： 2 20xpy p，其焦点到准线的距离为 2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过 A，B分别作抛物线C的切线 1 l， 2 l， 1 l与 2 l交于点M. （1）求p的值； （2）若 12 ll，求MAB面积的最小值. 21. 已知1x 是函数 2 ln 2 x f xaxxx的极值点. （1）求实数a的值； （2）求证：函数 f x存在唯一的极小值点 0 x，且 0 7 0 16 f x. （参考数据：ln20.69， 54 167e ，

9、其中e为自然对数的底数） 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l过原点且倾斜角为0 2 .以坐标原点O为极点，x轴正半轴为 极轴建立坐标系， 曲线 1 C的极坐标方程为2cos.在平面直角坐标系xOy中， 曲线 2 C与曲线 1 C关于直 线yx对称. （1）求曲线 2 C的极坐标方程； （2） 若直线 2 l过原点且倾斜角为 3 ， 设直线 1 l与曲线 1 C相交于O，A两点， 直线 2 l与曲线 2 C相交于O， B两点，当变化时，求AOB面积的最大值. 23.【选修 4

10、-5：不等式选讲】 已知函数 1f xxxa . （1）当1a时，求不等式 2f xx的解集； （2）当不等式 1f x 的解集为R时，求实数a的取值范围. 江西省红色七校 2020 届高三第二次联考数学（理科）参考答案 一、选择题 1-5：CABDC 6-10：DACAB 11-12：DA 二、填空题 13. 3 14. , 11, 15. 21n 16. 2 3 1, 3 三、解答题 17.（1） 2 1 ( )3sincoscos 2 f xxxx 31cos21 sin2 222 x x 31 sin2cos2sin 2 226 xxx ， 21 xx的最小值为 2 ， 22 T ，即

11、 2 2 T ，1. （2）由（1）知：( )sin 2 6 f xx ， 123 sinsincos 233625 f ， 1555 sinsin()sin 2126613 f ， 5 sin 13 ， 又,0, 2 ， 4 sin 5 ， 12 cos 13 ， cos()coscossinsin 3124556 51351365 . 18.（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖量为gX，由题意可知 2 500,5XN. 由于485500 3 5 ，所以根据正态分布的对称性与“3原则”可知 1 (485)(1(5003 55003 5) 2 P XPX 1 0.00260.0013

12、2 . （2）检测员的判断是合理的. 因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率约为 6 0.0013 0.00130.000001691.69 10， 几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的. 19. 证明：取AB中点M，连接CM，MD，有 1 / /MDAB， 因为ACBC，所以CMAB， 又因为三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱， 所以平面ABC 平面 11 ABB A， 又因为平面ABC平面 11 ABB AAB，所以CM 平面 11 ABB A， 又因为DE 平面 11 ABB A，所以CM

13、DE， 又因为DECD，CDMDD，CD平面CMD，CM 平面CMD， 所以DE 平面CMD， 又因为MD 平面CMD，所以DEMD， 因为 1 / /MDAB，所以 1 DEAB， 连接 1 AB，设 11 ABABO， 因为 11 ABB A为正方形，所以 11 ABAB， 又因为DE 平面 11 AAB B， 1 AB 平面 11 AAB B，所以 1 / /DEAB， 又因为D为 1 BB的中点，所以E为 1 OB的中点，所以 1 1 1 4 EB AB . （2）如图以M为坐标原点，分别以MA，MO，MC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 设2AB ，由（1）可知45CDM 所

14、以 1 2 2AB ，所以2DMCM， 所以1,0,0A， 1 1,2,0B ， 1 0,2, 2C，1,1,0D ， 1 3 ,0 2 2 E ， 所以 1 2,2,0AB ， 11 1,0, 2BC ， 1 1 ,0 2 2 DE ， 设平面 11 ABC的法向量为, ,nx y z，则 1 11 0 0 AB n BC n ，即 220 20 xy xz ， 则n的一组解为 2, 2, 1n . 所以 22 5 52 5 c 2 os, DE n DE n DE n ， 所以直线DE与平面 11 ABC成角的正弦值为 2 5 5 . 20.（1）由题意知，抛物线焦点为0, 2 p ，准线

15、方程为 2 p y ， 焦点到准线的距离为 2，即2p . （2）抛物线的方程为 2 4xy，即 2 1 4 yx，所以 1 2 yx， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 1 l： 2 11 1 42 xx yxx， 2 l： 2 22 2 42 xx yxx， 由于 12 ll，所以 12 1 22 xx ，即 12 4x x ， 设直线l方程为ykxm，与抛物线方程联立， 得 2 4 ykxm xy ，所以 2 440xkxm， 2 16160km ， 12 4xxk， 12 44x xm ，所以1m， 即l：1ykx， 联立方程 2 11 2 22 24 24 xx yx

16、xx yx ，得 2 1 xk y ，即2 , 1Mk ， M点到直线l的距离 2 22 21 21 1 11 k kk d kk ， 2 22 1212 144 1AkBxxx xk ， 所以 2 3 22 2 2 21 1 4 14 14 2 1 k Skk k ， 当0k 时，MAB面积取得最小值 4. 21.（1）因为 1 ( )2ln 2 fxaxx，且1x 是极值点， 所以 1 120 2 fa，所以 1 4 a . 此时 1 ln 22 x fxx， 设 g xfx，则 112 2 2 x x x x g . 则当02x时， 0gx ， g x为减函数. 又 10g， 1 2ln

17、20 2 g， 所以在01x时， 0g x ， f x为增函数； 12x时， 0g x ， f x为减函数. 所以1x 为 f x的极大值点，符合题意. （2）当2x时， 0gx ， g x为增函数，且 3 42ln20 2 g， 20g， 所以存在 0 2,4x ， 0 0g x； 当 0 2xx时， 0g x ， f x为减函数； 0 xx时， 0g x ， f x为增函数， 所以函数 f x存在唯一的极小值点 0 x. 又 757 ln 242 g ，已知 54 167e ，可得 4 77 54ln 22 s e ， 所以 7 0 2 g ，所以 0 7 4 2 x且满足 0 0 1 l

18、n0 22 x x. 所以 22 000 0000 7 ln0, 42416 xxx f xxxx . 其中 0 0f x也可以用如下方式证明： 2 11 ( )lnln 4242 xx f xxxxxx ，设 1 ( )ln 42 x h xx， 则 114 ( ) 44 x h x xx . 则当04x时， 0h x ， h x为减函数； 当4x时， 0h x ， h x为增函数. 所以 3 ( )(4)2ln20 2 h xh， 所以在 0f x ，所以 0 0f x. 四、选做题 22.（1）法一：由题可知， 1 C的直角坐标方程为 22 20xyx. 设曲线 2 C上任意一点, x

19、y关于直线yx对称点为 00 ,x y， 所以 0 0 xy yx ， 又因为 22 000 20xyx，即 22 20xyy， 所以曲线 2 C的极坐标方程为2sin. 法二：由题可知，yx的极坐标方程为() 4 R ， 设曲线 2 C上一点, 关于() 4 R 的对称点为 00 , ， 所以 0 0 24 ， 又因为 00 2cos，即2cos2sin 2 ， 所以曲线 2 C的极坐标方程为2sin. （2）直线 1 l的极坐标方程为，直线 2 l的极坐标方程为 3 ， 设 11 ,A ， 22 ,B ， 所以 2cos ，解得 1 2cos， 3 2sin ，解得 2 2sin 3 ，

20、12 1 sin3 cossin 233 AOB S 13 3 cossincos 22 3 13333 sin2cos2sin 2 2 222232 ， 因为0 2 ，所以 4 2 333 ， 当2 32 ，即 12 时，sin 21 3 ， AOB S取得最大值为 33 24 . 23.（1）1a时， 2 ,1 ( )2,11 2 ,1 xx f xx xx ， 当1x时，22xx，即0x，1x； 当11x 时，22x，即1x，11x ； 当1x 时，22xx，无解， 综上， 2f xx的解集为,1. （2） 11f xxxaa ， 当1a ，即1a 时，1ax 时等号成立； 当1a ，即1a 时，1xa 时等号成立， 所以 f x的最小值为1a， 即11a，0a或2a.