人教版2019年高中数学必修1知识点清单.docx

1、第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念：高中数学必修 1 知识点1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性； （3）元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的 元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样， 不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了

2、确定性和整体性。3、集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。（）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示 某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是xR| x-32或x| x-32（3）图示法（文氏图）：4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或 N+整数集 Z

3、有理数集 Q实数集 R 5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 aA6、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合 2无限集 含有无限个元素的集合 3空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称 集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B

4、 不包含集合 A,记作 A B 或 B A集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 子集个数为 2n. 2“相等”关系(55，且 55，则 5=5)实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即：A=B A B且B A 任何一个集合是它本身的子集。A A真子集:如果 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)如果 A B, B C ,那么 A C 如果 A B同时 B A 那么 A=

5、B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集 记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作：AB(读作”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB3、交集与并集的性质：AA = A，A= , AB = BA，AA = A，A= A , AB = BA.4、全集与补集（1）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各

6、个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常 用 U 来表示。（2）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 A S），由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）。 记作： CSA ，即 CSA =x | xS 且 xA（3）性质：CU(C UA)=A (C UA)A=(C UA)A=U(4)(C UA)(C UB)=C U(AB)(5)(C UA)(C UB)=C U(AB)SACsA二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定

7、的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记 作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫 做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1、如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义 的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的

8、真数必须大于零；(4)指数、对数 式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义 域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义 域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量

9、和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同 (两点必须同时具备)值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基 础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y

10、 为 坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相 应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法： 常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换 、对称变换:（1）将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=f(x)的图象如：书上 P21 例 5x（2） y=

11、 f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 y = ax与y = a- x 1 = a （3） y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 y = loga x与y = - loga x = log1 xa、平移变换: 由 f(x)得到 f(x a) 左加右减； 由 f(x)得到 f(x) a 上加下减(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5映射定义：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果

12、按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一 个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射。记作“f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则 有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合 A 中

13、的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一 的；（）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元 素在集合 A 中都有原象。6、函数的表示法： 常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图 象的依据：作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函

14、数值。图象法：便于量出函数值 补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相 应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左 大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认 为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA)称为 f 是 g 的复合函数。7函数单调性（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，

15、如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2 时，u=g(x)y=f(u)y=fg(x)增增增增减减减增减减减增都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的 单调增区间；如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区 间. 注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部 性质；2、必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2 时，总

16、有 f(x1)f(x2) （或 f(x1)f(x2)）。（2） 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单 调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1，x2D，且 x1 0（C 为常数）时， y = f (x) 与 y = C f (x) 的单调性相同； 当 C 0, g(x) 0 且 f (x) 与 g(x) 都是增（减）函数，则 f (x) g(x) 也是增（减）函数； 若 f (x) 0, g(x) 0 ，若 f

17、(x) 在定义域上是增函数，则 n f (x) 、 k f (x)(k 0) 、 f n (x)(n 1) 都是增函数，1而 f (x) 是减函数.8函数的奇偶性（1）偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内

18、的任意一个 x， 则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对 称；2 确定 f(x)与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称， 若不对称则函数是非奇非偶函数

19、.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=f(x)比较困难，可考虑根 据是否有 f(-x)f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=1 来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称.若 f (x) 为偶函数，则 f (-x) = f (x) = f (| x |) .若奇函数 f (x) 定义域中含有 0，则必有 f (0) = 0 .定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可

20、表示成“一个奇函数 F (x) 与一个偶函数 G(x) 的和（或差）”.如设 f (x) 是定义域为 R 的任一函数， 则 F (x) =复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.f (x) - f (-x)， G(x) =2f (x) + f (-x) .2既奇又偶函数有无穷多个（ f (x) = 0 ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.9、函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对 应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时， 可用

21、待定系数法；B、已知复合函数 fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知 表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f(x)10函数最大（小）值（定义见课本 p30 页）（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2） 利用图象求函数的最大（小）值；（3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b， c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b， c上单调递增则函数 y=f(x)在 x

22、=b 处有最小值 f(b)；第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 =0。 注意：(1) ( n a )n = a(2)当 n 是奇数时， n an = a2分数指数幂，当 n 是偶数时， n an =| a |= a, a 0-a, a 0, m, n N * , 且n 1)_ m正数的正分数指数幂的意义： a n1 (a 0, m, n N * , 且n 1)=ma n0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ar as = ar +s (a 0, r, s R

23、)（2） (ar )s = ars (a 0, r, s R)（3） (ab)r = arbr (a 0,b 0, r R)注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如(1-（二）指数函数及其性质12)2 2 1-2而应=2 -11、指数函数的概念：一般地，函数 y = ax叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1即 a0 且 a12、指数函数的图象和性质0a1图 像性质定义域 R ,值域（0，+）（1）过定点（0，1）,即 x=0 时，y=1(2)在 R 上是减函数(2)在 R 上是增函数（3）当 x0 时,0y1;当 x1（3

24、）当 x0 时,y1;当 x0 时,0y1图象特征函数性质共性向 x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R函数图象都在 x 轴上方函数的值域为 R+图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0a0 时,0y1;在第二象限内的图象纵坐标都大于 1当 x1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于 1当 x0 时,y1;在第二象限内的图象纵坐标都小于 1当 x0 时,0y0 时，a,N 在 1 的同侧；当 b0 且 a1；2. 真数 N03. 注意对数的书写格式2、两个

25、重要对数：（1）常用对数：以 10 为底的对数,log10 N记为lg N ；（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N 3、对数式与指数式的互化x = logaN ax = N对数式指数式 对数底数 a 幂底数 对数 x 指数 真数 N 幂结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa=1,loga1=0特别地， lg10=1,lg1=0 ,lne=1,ln1=0(3) 对数恒等式： aloga N = N（二）对数的运算性质如果 a 0，a 1，M 0， N 0有：1、 log（aM N）= loga M + loga N两个正数的积的对数等于这两个正数的对

26、数和M2 、 log aN= log aM - log a N两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差aa3 、 log说明:M n = n logM（n R）一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0,)4) 特别注意： log a MN log a M log a Nlog a (M N ) log a M log a N注意：换底公式 logb = logc b = lg b (a 0, a 1, c 0, c 1,b 0)calog alg a利用换底公式推导下面的结论 1nb log

27、 a b = log a loga b logb c logc d = loga d logam b（二）对数函数= nmloga b1、对数函数的概念：函数 y = loga x（0，+）(a0，且 a1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： y = logax -1 ， y = loga x + 2都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2） 对数函数对底数的限制：a0，且 a12、对数函数的图像与性质：对数函数 y = loga x (a0，且 a1)0 a 1a 1图 像y0(1,0)xy0(1,0)

28、x性 质定义域：（0，）值域：R过点(1 ,0), 即当 x 1 时,y0在(0,+)上是减函数在(0,+)上是增函数当 x1 时，y0当 x=1 时，y=0 当 0x0当 x1 时，y0当 x=1 时，y=0 当 0x1 时，y0;a当 a,b 不同在(0,1) 内，或不同在(1,+) 内时,有 logab0；当 a,b 在 1 的异侧时, logab 0，值域求法用单调性。、分辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa ，用 y=1 去截图象得到对应的底数。 、y=ax(a0 且 a 1) 与 y=logax(a0 且 a 1) 互为反函数，图象关于 y=x 对称。5 比较两个幂的形式的数

29、大小的方法:(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0.6 比较大小的方法(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 y = xa 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+ ）上

30、是增函数特 别地，当1 时，幂函数的图象下凸；当 01 时，幂函数的图象上凸；（3）0 时，幂函数的图象在（0，+）上是减函数在第一象限 内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴， 当 x 趋于+时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数的零点。（实质上是函数 y=f(x)与 x 轴交 点的横坐标）2、函数零点的意义：方程 f(x)=0 有实数根函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点函数 y=f(x)有零点3、零点定理：函数 y=f(

31、x)在区间a,b上的图象是连续不断的，并且有 f(a)f(b)0,那么函数 y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点 c，使得 f( c)=0,此时 c 也是方程 f(x)=0 的根。4、函数零点的求法：求函数 y=f(x)的零点：（1） （代数法）求方程 f(x)=0 的实数根；（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性 质找出零点5、二次函数的零点：二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)1）0，方程 f(x)=0 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点2）0，方程 f(x)=0 有两相等实根（

32、二重根），二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二 重零点或二阶零点3）0，方程 f(x)=0 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点 二、二分法1、概念：对于在区间a,b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤:确定区间a,b,验证 f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a,b)的中点 c;计算 f(c),若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点；若 f(a)f(c)0,则令 b=c（此时零点 x

33、0(a,c)）若 f(c)f(b)0,则令 a=c（此时零点 x0(c,b)） (4)判断是否达到精确度：即若|a-b|0) 指数函数：y=ax(a1)指数型函数： y=kax(k0,a1) 幂函数： y=xn（ nN*)对数函数：y=logax(a1) 二次函数：y=ax2+bx+c(a0) 增长快慢：V(ax)V(xn)V(logax)解不等式(1) log2x 2x x2(2) log2x x2 0）的 根的分布两个根都在（m,n )内两个有且仅有一个在（m,n)内x1(m,n) x2(p,q)ymnxmnmnpqD 0bm - 0 f (n) 0f(m)f(n) 0 f (n) 0 f ( p) 0两个根都小于 K两个根都大于 K一个根小于 K，一个根大于 KykxkkD 0D 0f(k)0-b k f (k ) 0 f (k ) 02a2a