线代框架.doc

1、 1 线 性 代 数 知 识 框 架线 性 代 数 知 识 框 架 ( ) 000 , n T A r An A A AxxAx A Ax A A AE 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0 总有唯一解 是正定矩阵 R 12 , si Ap ppp nBABEABE 是初等阵 存在 阶矩阵使得 或 注：全体n维实向量构成的集合 n R叫做n维向量空间. ( ) 0 A r An AA A AxA 不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是 的特征值 有非零解,其基础解系即为 关于0的 特征向量 注： () ()0 a b r aEbAn aEbAaEbA x 0有非零解

2、 =- 具有 向量组等价 矩阵等价() 反身性、对称性、传递性 矩阵相似() 矩阵合同() 2 关于 12 , n e ee： 称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量 152 p教材 ； 12 , n e ee线性无关； 12 ,1 n e ee； tr =E n； 任意一个n维向量都可以用 12 , n e ee线性表示. 行列式的定义 1 2 12 1 2 11121 21222() 12 12 () n n n n nj jj njjnj j jj nnnn aaa aaa Da aa aaa 1 行列式的计算： 行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与

3、其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 若AB与都是方阵（不必同阶）,则 = =()mn AOAAO A B OBOBB OAA A B BOBO 1 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 3 关于副对角线： (1) 2 11 2121 121 11 () n n nn nn nnn nn aOa aa a aa aOaO 1 范德蒙德行列式： 12 222 12 1 111 12 n ij n n ij nnn n xxx xxxxx xxx 111 矩阵的定义 由m n个数排成的m行n列的表 11

4、121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 称为m n矩阵.记作： ij m n Aa 或 m n A 伴随矩阵 11211 12222* 12 n T n ij nnnn AAA AAA AA AAA ， ij A为A中各个元素的代数余子式. 逆矩阵的求法: 1 A A A 注： 1 abdb cdcaadbc 1 1 ()()A EE A 初等行变换 4 1 2 3 1 1 1 1 2 1 3 a a a a a a 3 2 1 11 1 1 2 1 3 a a a a a a 方阵的幂的性质： mnm n A AA ()( ) mnmn AA 设, m nn

5、s AB A的列向量为 12 , n ,B的列向量为 12 , s ， 则 m s ABC 11121 21222 1212 12 , s s ns nnns bbb bbb c cc bbb ii Ac ，(, )is1,2 i 为 i Axc的解 121212 , sss AAAAccc 12 , s c cc可由 12 , n 线性表示. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示， T A为系数 矩阵. 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应

6、元素相乘. 分块矩阵的转置矩阵： T TT TT ABAC CDBD 分块矩阵的逆矩阵： 1 1 1 AA BB 1 1 1 AB BA 1 111 ACAA CB OBOB 1 1 11 AOAO CBB CAB 5 分块对角阵相乘： 1111 2222 , AB AB AB 1111 2222 A B AB A B 分块对角阵的伴随矩阵： * * * ABA BAB 矩阵方程的解法(0A )：设法化成AXBXAB(I) 或 (II) A BE X 初等行变换 (I)的解法：构造()() TTT T A XB XX (II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得 0Ax

7、与0Bx 同解（,A B列向量个数相同）,则： 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 矩阵 m n A 与 l n B的行向量组等价齐次方程组0Ax 与0Bx 同解PAB（左乘可逆矩阵P） ； 101 p教材 矩阵 m n A 与 l n B的列向量组等价PQB（右乘可逆矩阵Q）. 判断 12 , s 是0Ax 的基础解系的条件： 12 , s 线性无关； 12 , s 都是0Ax 的解； ( )snr A每个解向量中自由未知量的个数. 6 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量

8、正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 114 p教材 . 向量组 12 , n 中任一向量 i (1i)n都是此向量组的线性组合. 向量组 12 , n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示. 向量组 12 , n 线性无关向量组中每一个向量 i 都不能由其余n1个向量线性表示. m维列向量组 12 , n 线性相关( )r An； m维列向量组 12 , n 线性无关( )r An. ( )

9、r AAO0. 若 12 , n 线性无关，而 12 , n 线性相关,则可由 12 , n 线性表示,且表示法唯一. 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元 为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 7 矩阵的初等变换和初等矩

10、阵的关系： 对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A； 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A. 矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作( )r Ar 向量组的秩 向量组 12 , n 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 12 (,) n r 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：AB 向量组等价 12 , n 和 12 , n 可以相互线性表示. 记作： 1212 , nn 矩阵A与B等价PAQB，,P Q可逆( )( ),r Ar BA B作为向量组等价,即：秩相等的向

11、量组不一定等价. 矩阵A与B作为向量组等价 1212 (,)(,) nn rr 1212 (,) nn r 矩阵A与B等价. 向量组 12 , s 可由向量组 12 , n 线性表示AXB有解 12 (,)= n r 1212 (,) ns r 12 (,) s r 12 (,) n r . 向量组 12 , s 可由向量组 12 , n 线性表示,且sn，则 12 , s 线性相关. 向量组 12 , s 线性无关,且可由 12 , n 线性表示,则sn. 向量组 12 , s 可由向量组 12 , n 线性表示,且 12 (,) s r 12 (,) n r ,则两向量组等价；p教材94,

12、例10 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 8 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 若A是m n矩阵,则( )min,r Am n,若( )r Am，A的行向量线性无关； 若( )r An，A的列向量线性无关,即： 12 , n 线性无关. 矩阵的秩的性质： ( )AOr A若1 0() m n r A min( , )m n ( )()() TT r Ar Ar A A p教材101,例15 ()( )r kAr Ak 若0 ()r AB( )( )r Ar B max( ), (

13、 )r A r B( ,)r A B( )( )r Ar B p教材70 ( )( ) AOOA rr Ar B OBBO ( )( ) AC rr Ar B OB ()r ABmin( ), ( )r A r B ,()( )( ) m nn s ABr ABr Ar B 若且0n ()( )Ar ABr B若 可逆 ()( )Br ABr A若 可逆 若 0 () ()( ) m n Ax r An r ABr B 只有零解 且A在矩阵乘法中有左消去律 0ABB ABACBC ； 若()()( ) n s r Bnr ABr B 且B在矩阵乘法中有右消去律. 9 初等矩阵的性质： ( ,

14、)E i j 1 ( )E i kk , ( )E i j k1 ( , )( , ) T E i jE i j ( ) ( ) T E i kE i k , ( ) , ( ) T E i j kE j i k 1 ( , )( , )E i jE i j 1 1 ( ) ( ) k E i kE i 1 , ( ) , ()E i j kE i jk * ( , )( , )E i jE i j * 1 ( ) ( ) k E i kkE i * , ( ) , ()E i j kE i jk 10 12 12 ,0 ,( )() A n n Ax n AxA Axr Ar A Ax n

15、当 为方阵时 有无穷多解 表示法不唯一 线性相关有非零解0 可由线性表示有解 有唯一组解 12 12 ,0 ( )() ,( )( A n n AxA r Ar A Axr Ar 当 为方阵时 表示法唯一 线性无关只有零解0克莱姆法则 不可由线性表示无解) ( ) 1() A r Ar A 注： Ax Ax 有无穷多解其导出组有非零解 有唯一解其导出组只有零解 线性方程组的矩阵式 Ax 向量式 1122nn xxx 1112111 2122222 12 , n n mmmnnm aaaxb aaaxb Ax aaaxb 1 2 ,2, j j j mj jn 1 1 2 12 (,) n n

16、x x x 11 矩 阵 转 置的 性质： () TT AA ()T TT ABB A ()T T kAkA T AA ()T TT ABAB 11 ()() TT AA ()() TT AA 矩 阵 可 逆的 性质： 11 ()AA 111 ()ABB A 111 ()kAk A 1 1 AA 111 ()ABAB 11 ()() kkk AAA 伴 随 矩 阵的 性质： 2 () n AAA ()ABB A 1 () n kAkA 1n AA * ()ABAB 11 ()() A A AA ()() kk AA ( ) ()1 ( )1 0 ( )1 nr An r Ar An r An

17、若 若 若 ABA B n kAkA k k AA ABAB AAA AA E （无条件恒成立） 12 线性方程组解的性质： 1212 12 121122 1212 (1),0, (2)0, (3),0, , (4),0, (5),0 (6 k kkk Ax Axk k Axk AxAxAx AxAx 是的解也是它的解 是的解 对任意也是它的解 齐次方程组 是的解 对任意 个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解 2112 12 112212 112212 ),0 (7), 1 00 k kkk kkk AxAx Ax Ax Ax 是的解 则也是它的解是其导出组

18、的解 是的解 则 也是的解 是的解 设A为m n矩阵,若( )r Am,( )()r Ar AAx一定有解， 当mn时,一定不是唯一解 方程个数未知数的个数 向量维数向量个数 ,则该向量组线性相关. m是( )()r Ar A和的上限. 标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1. 与 正交 ( ,)0 . 是单位向量 ( , )1 . 内积的性质： 正定性：( , )0,( , )0 且 对称性：( ,)( ,) 双线性： 1212 ( ,)( ,)( ,) 13 1212 (,)(,)(,) (,)( ,)( ,)ccc A的特征矩阵 EA. A的特征多项式 ( )E

19、Af. ( )f是矩阵A的特征多项式( )f AO A的特征方程 EA0. AxxAxx 与 线性相关 12n A 1 n i A tr，Atr称为矩阵A的迹. 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素. 若0A ,则0为A的特征值,且0Ax 的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量. ( )1r A A一定可分解为A= 1 2 12 , n n a a bbb a 、 2 1 122 () nn Aaba ba b A,从而A的特征值为： 11 12 2n n Aaba ba btr, 23n 0 p指南358. 若A的全部特征值 12 , n ，( )f A是多项式,则:

20、 ( )f A的全部特征值为 12 (),(),() n fff； 12 ( )( ) ()() n f Afff 若A满足( )0f A ,则A的任何一个特征值必满足( ) i f0. 14 设 1 110 ( ) mm mm f xa xaxa xa ，对n阶矩阵A规定： 1 110 ( ) mm mm f Aa AaAa Aa E 为A的一个多项式. 1 23 1 1 22 , T A mm kkA abaAbE A A A A A A 是 的特征值 则:分别有特征值 . 1 23 11 2 2 , A m m k kA ab aAbE A xAx A A A 是 关于 的特征向量 则

21、也是关于的特征向量. 2,m AA的特征向量不一定是A的特征向量. A与 T A有相同的特征值，但特征向量不一定相同. A与B相似 1 BP AP （P为可逆矩阵） 记为：AB A与B正交相似 1 BP AP （P为正交矩阵） A可以相似对角化 A与对角阵相似. 记为：A （称是A的相似标准形） A可相似对角化() ii nrEAk i k为 i 的重数A恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P为A的特征向量拼成的矩阵， 1 P AP 为对角阵,主对角线上 的元素为A的特征值.设 i 为对应于 i 的线性无关的特征向量,则有： 15 1 2 1212112212 (,)(,)(,)(,) nnn

22、nn n PP AAAA . 注：当 i 0为A的特征值时，A可相似对角化 i 的重数( )nr A 0Ax 基础解系的个数. 若A可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）( )r A. 若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A可相似对角化. 若A k A= 1k PP， 1 211 () () ( )( ) () n APPPP 相似矩阵的性质： ABtrtr AB 从而,A B同时可逆或不可逆 ( )( )r Ar B TT AB； 11 AB （若,A B均可逆） ； * AB kk AB （k为整数） ；( )( )f Af B，( )( )f Af B , AB AB CD C

23、D 16 EAEB,从而,A B有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 注:x是A关于 0 的特征向量, 1 P x 是B关于 0 的特征向量. 数量矩阵只与自己相似. 对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交； 注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值,该特征值 i 的重数=() i nrEA）. 正交矩阵 T AAE A为正交矩阵A的n个行（列）向量构成

24、n 的一组标准正交基. 正交矩阵的性质： 1T AA； TT AAA AE； 正交阵的行列式等于 1 或-1； A是正交阵,则 T A， 1 A也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A的行（列）向量都是单位正交向量组. 二次型 12 11 ( ,) nn T nijij ij f x xxx Axa x x ijji aa，即A为对称矩阵， 12 ( ,)T n xx xx 17 A与B合同 T BC AC. 记作：AB （,A BC为对称阵 为可逆阵） 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p；负惯性指数二次型的规范形中负项项数rp； 符号差 2pr. (r为二次型的秩) 两个矩阵合同的充

25、分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是：AB 两个矩阵合同的必要条件是：( )( )r Ar B 12 ( ,) T n f x xxx Ax经过 正交变换 合同变换 可逆线性变换 xCy化为 2 1 n ii fd y标准形. 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由( )r A 正惯性指数 负惯性指数 唯一确定的. 当标准形中的系数 i d为-1 或 0 或 1 时,为规范形 . 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. 惯性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵 1 1 1 1 0 0 合同. 18 用正交变换法化二次

26、型为标准形: 求出A的特征值、特征向量； 对n个特征向量正交化、单位化； 构造C（正交矩阵）,作变换xCy,则 111 2221 ()() T TTTT nnn ydy ydy CyA Cyy C ACYy C ACY ydy 新的二次型为 2 1 n ii fd y,的主对角 上的元素 i d即为A的特征值. 施密特正交规范化 123 , 线性无关, 11 21 221 11 3132 3312 1122 () () ()() ()() T T TT TT 正交化 单位化： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。例如： 123 xxx0取 1 1 2

27、1 ， 2 1 0 1 . 正定二次型 12 , n x xx不全为零， 12 ( ,) n f x xx0. 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. 19 ( ) T f xx Ax为正定二次型（之一成立） ： 0x ， T x Ax 0； f的正惯性指数为n； A的特征值全大于0； A的所有顺序主子式全大于0； A与E合同，即存在可逆矩阵C使得 T C ACE； 存在正交矩阵C，使得 1 21T n C ACC AC （ i 大于0）. 存在可逆矩阵P，使得 T AP P； 合同变换不改变二次型的正定性. A为正定矩阵的必要条件： ii a 0 ； 0A . 若A为正定矩阵 1 , T AAA 也是正定矩阵. 若,A B为正定矩阵AB为正定矩阵，但,AB BA不一定为正定矩阵. 【完】