高考数学知识点总结及例题解析.pdf
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1、高中数学专题一高中数学专题一集合集合 一、集合有关概念一、集合有关概念 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性互异性无序性 (1)集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R 二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意:BA 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2 “相等”关系:A=B(55,且 55,则 5=5) 即: 任何一个集
2、合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子 集,记作 AB(或 BA) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真 子集。 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 高考试题高考试题 3不等式0|)|1)(1 (xx的解集是 () A10| xxB0|xx且1x C11|xxD1|xx且1x 5设集合, 4 1 2 |Zk k xxM,, 2 1 4 |Zk k xxN,则 () ANM BNM CNM D
3、 NM 6设 A、B、I 均为非空集合,且满足 ABI,则下列各式中错误 的是() A( I CA)B=IB( I CA)( I CB)=I CA( I CB)=D( I CA)( I CB)= I CB (2)设I为全集, 321 SSS、是I的三个非空子集,且ISSS 321 ,则下面论断正 确的是() (A)( 321 SSSCI(B) 123II SC SC S() (C) 123III C SC SC S (D) 123II SC SC S() 、设集合 2 0Mx xx, 2Nx x,则() AMN BMNM CMNMDMNR 5设, a bR,集合1, 0, b ab ab a
4、,则ba () A1B1C2D2 1函数(1)yx xx的定义域为() A |0x xB|1x x C |10x xD|01xx (1)已知集合1,2,3,4,5A ,( , )|,Bx yxA yA xyA,则B中所含元素 的个数为 () (A)3(B)6(C) 8(D)10 2.已知全信 U(1,2,3, 4,5) ,集合 A23Zxx,则集合 CuA 等于() (A)4 , 3 , 2 , 1(B)4 , 3 , 2(C) 5 , 1(D) 5 2已知全集12 3 4 5U , , , ,集合 2 |320Ax xx, |2Bx xaaA,则 集合() U AB中元素的个数为() A1B
5、2C3D4 1设不等式 2 0xx的解集为 M,函数( )ln(1 |)f xx的定义域为 N,则MN为 () (A)0,1)(B) (0,1)(C)0,1(D) (-1,0、 1.集合 A= x12x ,B = 1x x ,则() R AB =(D) (A)1x x (B)1x x (C)x12x(D) x12x 1. 集合,则() (A)(B)(C)(D) 1、设全集为 R,函数 2 1)(xxf 的定义域为 M,则MCR为() A、 1 , 1 B、 1 , 1 C、 ), 1 1, D、 ), 1()1, 答案答案 DBCBC D 答案答案 BBADC- 高中数学专题二高中数学专题二复
6、复数数 一基本知识一基本知识 【1 1】复数的基本概念】复数的基本概念 (1 1)形如a+bi 的数叫做复数(其中Rba,) ;复数的单位为 i,它的平方 等于1,即1i2.其中 a叫做复数的实部,b叫做虚部 实数:当 b = 0 时复数a+bi 为实数 虚数:当0b时的复数a+bi 为虚数; 纯虚数:当a= 0 且0b时的复数a+bi 为纯虚数 (2 2)两个复数相等的定义: 00babiaRdcbadbcadicbia)特别地,(其中,且 (3 3)共轭复数)共轭复数:zabi的共轭记作zabi; (4 4)复平面复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;zabi,对应点 坐标为,p
7、 a b; (象限的复习) (5 5)复数的模)复数的模:对于复数zabi,把 22 zab叫做复数 z 的模; 【2 2】复数的基本运算】复数的基本运算 设 111 zabi, 222 zab i (1 1) 加法: 121212 zzaabbi; (2 2) 减法: 121212 zzaabbi; (3 3) 乘法: 12121 22 11 2 z za abba ba bi特别 22 z zab。 (4)幂运算: 1 ii 2 1i 3 ii 4 1i 5 ii 6 1i 【3 3】复数的化简】复数的化简 cdi z abi (, a b是均不为 0 的实数) ;的化简就是通过分母实数化
8、的方法将分母 化为实数: 22 acbdadbc i cdicdi abi z abiabi abiab 对于0 cdi za b abi ,当 cd ab 时 z 为实数;当 z 为纯虚数是 z 可设为 cdi zxi abi 进一步建立方程求解 二二例题分析例题分析 【变式【变式 2 2】 (20102010 年全国卷新课标)年全国卷新课标)已知复数 2 3 (13 ) i z i ,则zz= A. 1 4 B. 1 2 C.1D.2 【例【例 4 4】已知 1 2zi, 2 32zi (1 1) 求 12 zz的值; (2 2) 求 12 zz的值; (3 3) 求 12 zz. 【变式
9、【变式 1 1】已知复数 z 满足21zii ,求 z 的模. 【变式【变式 2 2】若复数 2 1ai是纯虚数,求复数1 ai的模. 【例【例 5 5】 (20122012 年全国卷年全国卷 新课标)新课标)下面是关于复数 2 1 z i 的四个命题:其中 的真命题为() 1: 2pz 2 2: 2pzi 3: pz的共轭复数为1 i 4: pz的虚部为1 ( )A 23 ,pp( )B 12 ,p p( )C,pp ()D,pp 【例【例 6 6】若复数 3 12 ai zaR i (i 为虚数单位) , (1) 若 z 为实数,求a的值 (2) 当 z 为纯虚,求a的值. 【变式【变式
10、1 1】设a是实数,且 1 12 ai i 是实数,求a的值 【变式【变式 2 2】若 3 , 1 yi zx yR xi 是实数,则实数xy的值是. 【例【例 7 7】复数cos3sin3zi对应的点位于第象限 【变式【变式 1 1】i是虚数单位, 4 1 i () 1-i 等于 () AiB-iC1D-1 【变式【变式 2 2】已知 1i Z =2+i,则复数 z=() (A)-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i 【变式【变式 3 3】i 是虚数单位,若 1 7 ( ,) 2 i abi a bR i ,则乘积ab的值是 (A)15(B)3(C)3(D)15 【例【例 8 8】
11、 (20122012 年天津)年天津)复数 7 3 i z i =() (A)2i()2i()2i ()2i 【变式【变式 4 4】 (20072007 年天津)年天津)已知i是虚数单位, 3 2i 1 i () 1 i1 i 1 i1 i 【变式【变式 5 5】. .(20112011 年天津)年天津)已知i是虚数单位,复数 1 3 1 i i =() A2iB2iC1 2i D1 2i 【变式【变式 6 6】 (20112011 年天津)年天津) 已知 i 是虚数单位,复数 1 3 12 i i () (A)1i(B)55i(C)-5-5i(D)-1i 高中数学专题三高中数学专题三函数函数
12、 (定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、(定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、 奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、 幂函数幂函数、一次一次、二次函数二次函数、反比例函数反比例函数 、导数导数) 第一章、函数的有关概念第一章、函数的有关概念 1函数的概念: y=f(x),xA自变量 x;定义域 A;函数值 y,函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域 注意: 1定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:表达式相同表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无 关
13、) ;定义域一致定义域一致 (两点必须同时具备) 2值域 : 先考虑其定义域 4区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 5映射 A、B 集合,对应法则 f, A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中 都有唯一确定的元素 y 与之对应,就称对应 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象)B(象) ” 对于映射f:AB来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 补充:复合函数
14、 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA)称 为 f、g 的复合函数。 二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 定义域定义域 I I 内的某个区间内的某个区间 D D 内的内的任意两个自变量任意两个自变量 x x1 1,x x2 2,当,当 x x1 10)上, 另一个顶点 是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n,则() An0Bn1 Cn2Dn3 解析:如图所示 答案:C 3(2011全国)已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,直线 y2x 4 与 C 交于 A,B 两点,则 cosAFB() A.4 5 B.3 5 C3 5
15、D4 5 解析:由 y24x y2x4 得:y22y80, y14,y22. 则 A(4,4),B(1,2),F(1,0) |AF| 412425, |BF| 1122022 |AB| 4124223 5 cosAFB|AF| 2|BF|2|AB|2 2|AF|BF| 25445 252 4 5. 答案:D 4(2011浙江)已知椭圆 C1:x 2 a2 y2 b21(ab0)与双曲线 C 2:x2 y 2 4 1 有公共的焦点, C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相 交于 A,B 两点若 C1恰好将线段 AB 三等分,则() Aa213 2 Ba213 Cb21 2 Db22 解析:
16、依题意:a2b25, 令椭圆 x2 b25 y2 b21, 如图可知 MN1 3AB, x 2 N x2B 1 9, 由 y2x x2 b25 y2 b21, x2Nb 2b25 5b220 , 由 y2x x2y2a2 x2Ba 2 5 , x 2 N x2B b2b25 5b220 a2 5 1 9, 又 a2b25, 9b2b24,b21 2. 答案:C 5(2011福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线上 存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|4:3:2,则曲线的离心率等于 () A.1 2或 3 2 B.2 3或 2 C.1 2或 2 D.2 3或 3 2
17、 解析:|PF1|:|F1F2|:|PF2|4:3:2, |PF1|4 3|F 1F2|,|PF2|2 3|F 1F2| 则若|PF1|PF2|4 3|F 1F2|2 3|F 1F2|2|F1F2|F1F2|, 知 P 点在椭圆上,2a4c,a2c,e1 2. 若|PF1|PF2|4 3|F 1F2|2 3|F 1F2|2 3|F 1F2|0, b0)的左、 右两个焦点, 若双曲线右支上存在一点P, 使(OP OF2 )F2P 0(O 为坐标原点),且|PF1| 3|PF2|,则双曲线的离心率为() A. 21 2 B. 21 C. 31 2 D. 31 解析:(OP OF2 )F2P 0,
18、OBPF2且 B 为 PF2的中点, 又 O 是 F1F2的中点 OBPF1,PF1PF2. 则 |PF1|PF2|2a |PF1|2|PF2|24c2 |PF1| 3|PF2| 整理,可得( 31)c2a, ec a 31. 答案:D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上 7(2011江西)若椭圆x 2 a2 y2 b21 的焦点在 x 轴上,过点 1,1 2 作 圆 x2y21 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右 焦点和上顶点,则椭圆方程是_ 解析:可知其中一个切点(1,0)为椭圆的右焦点,c1. 两切点的连线 AB 被
19、 OP 垂直平分,所求直线 OP 斜率 kOP1 2. kAB2, 直线 AB:y02(x1) y2x2,上顶点坐标为(0,2) b2,a2b2c25 椭圆方程x 2 5 y 2 4 1. 答案:x 2 5 y 2 4 1 8 (2011课标)在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心在原点, 焦点 F1,F2在 x 轴上,离心率为 2 2 ,过 F1的直线 l 交 C 于 A,B 两 点,且ABF2的周长为 16,那么 C 的方程为_ 解析:由已知 4a16,a4,又 ec a 2 2 , c2 2, b2a2c28,椭圆方程为x 2 16 y2 8 1. 答案: x2 16 y2 8
20、 1 9(2011浙江)设 F1,F2分别为椭圆x 2 3 y21 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上,若F1A 5F2B ,则点 A 的坐标是_ 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), F1( 2,0),F2( 2,0), F1A (x1 2,y1),F2B (x2 2,y2), (x1 2,y1)5(x1 2,y2), x1 25x2 2 y15y2 x15x26 2 y15y2 , 又点 A,B 都在椭圆上, x 2 2 3 y221, x21 3 y211, 5x26 2 2 3 (5y2)21, 25x 2 260 2x272 3 25y221, 25 x22 3 y22 2
21、0 2x2241, 2520 2x2241, x26 5 2,x15x26 20, 把 x10 代入椭圆方程得 y211,y11, 点 A(0,1) 答案:(0,1) 10(2011全国)已知 F1、F2分别为双曲线 C:x 2 9 y2 271 的左、 右焦点,点 AC,点 M 的坐标为(2,0),AM 为F1AF2的角平分线, 则|AF2|_. 解析:如图所示, 由角平分线定理知:|AF1| |AF2| |F1M| |F2M|, 点 M 为(2,0), 点 A 在双曲线的右支上, F1(6,0),F2(6,0),a3, |F1M|8,|F2M|4, |AF1| |AF2| 8 42, 又由
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