人教版八年级上册数学等腰三角形知识点和对应练习.docx
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1、等腰三角形一、知识梳理:专题一:等腰三角形概念及性质;等腰三角形的判定.二、考点分类考点一:等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。【类型一】 利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】 如果等腰三角形两边长是6cm和3cm,那么它的周长是()A9cm B12cm C15cm或12cm D15cm解析:当腰为3cm时,336,不能构成三角形,因此这种情况不成立当腰为6cm时,63663,能构成三角形;此时等腰三角形的周长为66315(cm)故选D.方法总结:在解决等腰三角形边长的问题时,如果不明确底和腰时,要进行分类讨论,同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去考点
2、二:等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质: (1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) (2)等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”)2、解题方法:设辅助未知数法与拼凑法3、重要的数学思想方法:方程思想、整体思想和转化思想【类型一】 利用“等边对等角”求角度【例2】 等腰三角形的一个内角是50,则这个三角形的底角的大小是()A65或50 B80或40 C65或80 D50或80解析:当50的角是底角时,三角形的底角就是50;当50的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底角是65.故选A.方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知一
3、个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】 如图,在ABC中,ABAC,点D在AC上,且BDBCAD,求ABC各角的度数解析:设Ax,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数解:设Ax.ADBD,ABDAx.BDBC,BCDBDCABDA2x.ABAC,ABCBCD2x.在ABC中,AABCACB180,x2x2x180,x36,A36,ABCACB72.方法总结:利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系,当这种等量关系或和差关系较多时,可考虑列方程解答,设未知数时,一般设较小的角的度数为x
4、. 【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】 如图,已知ABC为等腰三角形,BD、CE为底角的平分线,且DBCF,求证:ECDF.解析:先由等腰三角形的性质得出ABCACB,根据角平分线定义得到DBCABC,ECBACB,那么DBCECB,再由DBCF,等量代换得到ECBF,于是根据平行线的判定得出ECDF.证明:ABC为等腰三角形,ABAC,ABCACB.又BD、CE为底角的平分线,DBCABC,ECBACB,DBCECB.DBCF,ECBF,ECDF.方法总结:证明线段的平行关系,主要是通过证明角相等或互补【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】 如图,点D
5、、E在ABC的边BC上,ABAC.(1)若ADAE,求证:BDCE;(2)若BDCE,F为DE的中点,如图,求证:AFBC.解析:(1)过A作AGBC于G,根据等腰三角形的性质得出BGCG,DGEG即可证明;(2)先证BFCF,再根据等腰三角形的性质证明证明:(1)如图,过A作AGBC于G.ABAC,ADAE,BGCG,DGEG,BGDGCGEG,BDCE;(2)BDCE,F为DE的中点,BDDFCEEF,BFCF.ABAC,AFBC.方法总结:在等腰三角形有关计算或证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究
6、性问题【例6】 如图,已知ABC是等腰直角三角形,BAC90,BE是ABC的平分线,DEBC,垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形;(2)请你判断AD与BE垂直吗?并说明理由(3)如果BC10,求ABAE的长解析:(1)由ABC是等腰直角三角形,BE为角平分线,可证得ABEDBE,即ABBD,AEDE,所以ABD和ADE均为等腰三角形;由C45,EDDC,可知EDC也符合题意;(2)BE是ABC的平分线,DEBC,根据角平分线定理可知ABE关于BE与DBE对称,可得出BEAD;(3)根据(2),可知ABE关于BE与DBE对称,且DEC为等腰直角三角形,可推出ABAEBDDCBC10.解
7、:(1)ABC,ABD,ADE,EDC.(2)AD与BE垂直证明:由BE为ABC的平分线,知ABEDBE,BAEBDE90,BEBE,ABEDBE,ABE沿BE折叠,一定与DBE重合,A、D是对称点,ADBE.(3)BE是ABC的平分线,DEBC,EAAB,AEDE.在RtABE和RtDBE中,RtABERtDBE(HL),ABBD.又ABC是等腰直角三角形,BAC90,C45.又EDBC,DCE为等腰直角三角形,DEDC,ABAEBDDCBC10. 考点三:等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定;(2)两个角相等的三角形是等腰三角形【类型一】 确定等腰三角形的个数【例7】 如图,在ABC中,
8、ABAC,A36,BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有()A5个 B4个 C3个 D2个解析:共有5个(1)ABAC,ABC是等腰三角形;(2)BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线,EBCABC,ECBBCD.ABC是等腰三角形,EBCECB,BCE是等腰三角形;(3)A36,ABAC,ABCACB(18036)72.又BD是ABC的角平分线,ABDABC36A,ABD是等腰三角形;同理可证CDE和BCD也是等腰三角形故选A.方法总结:确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角,然后确定等腰三角形,再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数【类型二】 在坐标系中确
9、定三角形的个数【例8】 已知平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,3),在y轴上确定点P,使AOP为等腰三角形,则符合条件的点P共有()A3个 B4个 C5个 D6解析:因为AOP为等腰三角形,所以可分三类讨论:(1)AOAP(有一个)此时只要以A为圆心AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于O点和另一个点,另一个点就是点P;(2)AOOP(有两个)此时只要以O为圆心AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于两个点,这两个点就是P的两种选择;(3)APOP(一个)作AO的中垂线与y轴有一个交点,该交点就是点P的最后一种选择综上所述,共有4个故选B. 方法总结:解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵
10、活运用以及分类讨论时做到不重不漏【类型三】 判定一个三角形是等腰三角形【例9】 如图,在ABC中,ACB90,CD是AB边上的高,AE是BAC的角平分线,AE与CD交于点F,求证:CEF是等腰三角形解析:根据直角三角形两锐角互余求得ABEACD,然后根据三角形外角的性质求得CEFCFE,根据等角对等边求得CECF,从而求得CEF是等腰三角形证明:在ABC中,ACB90,BBAC90.CD是AB边上的高,ACDBAC90,BACD.AE是BAC的角平分线,BAEEAC,BBAEACDEAC,即CEFCFE,CECF,CEF是等腰三角形方法总结:“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相
11、等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立【类型四】 等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】 如图,在ABC中,ABAC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BECF,BDCE.(1)求证:DEF是等腰三角形;(2)当A50时,求DEF的度数解析:(1)根据等边对等角可得BC,利用“边角边”证明BDE和CEF全等,根据全等三角形对应边相等可得DEEF,再根据等腰三角形的定义证明即可;(2)根据全等三角形对应角相等可得BDECEF,然后求出BEDCEFBEDBDE,再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出BDEF.(1)证明:ABAC,BC.在BDE和
12、CEF中,BDECEF(SAS),DEEF,DEF是等腰三角形;(2)解:BDECEF,BDECEF,BEDCEFBEDBDE.BBDEDEFCEF,BDEF.A50,ABAC,B(18050)65,DEF65.方法总结:等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段经典例题考点一:等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9,则这个三角形的周长为考点二:等腰三角形的性质【例3】已知等腰ABC中,AB=AC,D是BC边上一点,连接AD,若ACD和ABD都是等腰三角形,求C的度数。考点三:等腰三角形的判定1、如图所示的正方形网格中,网格
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