二元一次方程组知识点归纳.docx

1、二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。1.有一组解如方程组x+y=5 6

2、x+13y=89 x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6 2x+2y=12 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。3.无解如方程组x+y=4 2x+2y=10 ，因为方程化简后为x+y=5这与方程相矛盾，所以此类方程组无解。一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。消元的方法有两种：代入消元法： 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。例：解方程组x+y=5 6x+13

3、y=89 解：由得x=5-y 把带入，得6(5-y)+13y=89y=59/7把 y=59/7 带入，x=5-59/7即 x=-24/7x=-24/7y=59/7为方程组的解基本思路：未知数又多变少。消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y ）用含另一个未知数（例如 x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b 的形式，即“变”2、将 y=ax+b 代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x 的一元一次方程，即“代”。3、解出这个一元一次方程，求出x 的值，即“解”。4、把求

4、得的 x 值代入 y=ax+b 中求出 y 的值，即“回代”5、把 x、 y 的值用联立起来即“联”加减消元法：像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。例：解方程组x+y=9 x-y=5 解： +2x=14即x=7把 x=7 带入得 7+y=9解得 y=-2 x=7y=-2 为方程组的解用加减消元法解二元一次方程组的解6 、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。7 、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。8 、解这个一元一次方程，求

5、得一个未知数的值，即“解”。9 、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。10 、把求得的两个未知数的值用 联立起来，即“联”。注意： 用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。教科书中没有的几种解法(一 )加减 -代入混合使用的方法.例 1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解 :(2)-(1) 得x-y=-1x=y-1(3)把 (3) 代入 (1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把 y=2 代入 (3)得 x=1所以 :x=1, y=2特点 :

6、两方程相加减,单个x 或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二 )换元法例 2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令 x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6, n=2所以x+5=6,y-4=2所以 x=1, y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。（三）另类换元例 3，x:y=1:45x+6y=29令 x=t, y=4t方程2 可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4重点一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题） 内容提

7、要二、解方程的依据 等式性质1a=ba+c=b+c2 a=bac=bc(c 0)三、解法1一元一次方程的解法：去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化成1 解。2元一次方程组的解法：基本思想：“消元 ”方法：代入法加减法六、列方程（组）解应用题列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：审题。理解题意。 弄清问题中已知量是什么，未知量是什么， 问题给出和涉及的相等关系是什么。直接未知数间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。设元（未知数） 。用含未知数的代数式表示相关的量。寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），

8、列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。解方程及检验。答案。综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。二元一次方程组练习题一、选择题：1下列方程中，是二元一次方程的是（）A3x 2y=4zB 6xy+9=0C 1+4y=6D 4x= y 2x42下列方程组中，是二元一次方程组的是（）x y 4B.2a 3b 11C.x29x y 8A5b 4c 6y 2xD .2y 42 x 3 y 7x3二元一次方程 5a11b=21（

9、 ）A有且只有一解B有无数解C无解D有且只有两解4方程 y=1 x 与 3x+2y=5 的公共解是（）x3x3x 3x3A2B.C.y2D .2yy4y5若 x 2 +（3y+2 ）2 =0，则的值是（）A 1B 2C 3D 326方程组4x3 ykk 等于（）2x3y的解与 x 与 y 的值相等，则57下列各式，属于二元一次方程的个数有（）xy+2x y=7 ；4x+1=x y ； 1+y=5； x=y ；x2y 2=2x6x 2y x+y+z=1 y（y 1） =2y 2 y2+xA1B 2C3D48某年级学生共有 246 人，其中男生人数y 比女生人数 x 的 2倍少 2 人， ?则下面

10、所列的方程组中符合题意的有（）x y246x y 246xy 216xy 246AB.C .D .2 y x 22 y x 22x y 2y 2x 2二、填空题9已知方程 2x+3y 4=0 ，用含 x 的代数式表示y 为：y=；用含 y 的代数式表示x 为：x=110在二元一次方程x+3y=2 中，当 x=4 时， y=；当 y=1 时， x=211若 x3m 3 2yn 1=5 是二元一次方程，则 m=， n=12已知x2, 是方程 x ky=1 的解，那么 k=y313已知 x 1+（ 2y+1 ） 2 =0，且 2x ky=4 ，则 k=14二元一次方程 x+y=5 的正整数解有15以

11、x5 为解的一个二元一次方程是y716已知x2 是方程组mxy3的解，则 m=，n=y1xny6三、解答题17当 y= 3 时，二元一次方程3x+5y= 3 和 3y 2ax=a+2（关于 x， y 的方程） ?有相同的解，求 a的值18 如果（ a 2）x+ （ b+1 ） y=13 是关于 x， y 的二元一次方程，则a，b 满足什么条件？4x3y719 二元一次方程组(k的解 x， y 的值相等，求 k kx1) y 320 已知 x， y 是有理数，且（x 1 ）2+（ 2y+1 ） 2=0 ，则 xy 的值是多少？21 已知方程1 x+3y=5 ，请你写出一个二元一次方程， ?使它与

12、已知方程所组成的方程组的解为2x4y122 根据题意列出方程组：（ 1）明明到邮局买0.8 元与 2 元的邮票共13 枚，共花去 20 元钱， ?问明明两种邮票各买了多少枚？（ 2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放 4 只，则有一鸡无笼可放； ?若每个笼里放 5 只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？23 方程组xy25 的解是否满足 2x y=8 ？满足 2x y=8 的一对 x，y 的值是否是方程组2xy8xy25 的解？2 xy824 （开放题）是否存在整数 m ，使关于 x 的方程 2x+9=2 （ m 2）x 在整数范围内有解，你能找到几个 m 的值？你能求出相应的 x

13、的解吗？题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖 5 只，贤计划用 132 米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套题型二、列二元一次方程组解决行程问题2、甲、乙两地相距160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 小时，从乙地到甲地逆流航行需6

14、 小时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？题型三、列二元一次方程解决商品问题4、在 “五一”期间，某超市打折促销，已知 A 商品 7.5 折销售， B 商品 8 折销售，买 20 件 A 商品与 10 件 B 商品，打折前比打折后多花 460 元，打折后买 10 件 A 商品和 10 件 B 商品共用 1090 元。求 A、 B 商品打折前的价格。题型四、列二元一次方程组解决工程问题5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200 千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50 天，甲、乙两队合作了30 天后，乙队因另外有任务需要离开10 天，于是甲队加快速度，每天多修0.6 千米， 10 天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4 千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？题型五：列二元一次方程组解决增长问题6、某中学现有学生 4200 人，计划一年后初中在校学生增加8% ，高中在校学生增加在校生将增加10% ，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？11% ，这样全校