九年级上册数学《一元二次方程》单元测试题(含答案).doc

1、人教版数学九年级上学期一元二次方程单元测试（满分120分,考试用时120分钟）一、选择题(每小题4分,共32分)1. 已知关于x的方程:(1)ax2+bx+c=0;(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)(x+1)=0;(4)(k2+1)x2+kx+1=0中,一元二次方程的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 方程4x2=5x+2化为一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是（ ）A 4x2, 5x, 2B. -4x2, -5x, -2C 4x 2 , -5x, -2D. 4x2, -5x, 23. 若代数式x2+5x+6与x+1的值相等,则x的值为（ ）A. x1=1,x2

2、=5B. x1=6,x2=1C. x1=2,x2=3D. x=14. 某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是（）A 560（1x）2315B. 560（1x）2315C. 560（12x）2315D. 560（1x2）3155. 方程有两个实数根,则的取值范围（ ）A. B. 且C. D. 且6. 设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值( )A. 3B. -2C. -1D. 27. 已知a2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,mn,则(

3、m-1)2+(n-1)2的最小值是( )A. 6B. 3C. -3D. 08. 如图所示,长方形ABCD周长是20 cm,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68 cm2,那么长方形ABCD的面积是()A. 21 cm2B. 16 cm2C. 24 cm2D. 9 cm2二、填空题(每小题4分,共24分)9. 若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=_.10. 设一元二次方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,则+=_.11. 已知点A(m2-5,2m+3)在第三象限角平分线上,则m=_.12. 如图是一个三角形点

4、阵图,从上向下有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点第n行有n个点,容易看出,10是三角形点阵中前4行的点数和,则300个点是前_行的点数和.13. 对于实数a,b,定义运算“”：例如42,因为42,所以42=4242=8若x1,x2是一元二次方程x25x+6=0的两个根,则x1x2= 14. 在ABC中,B=90,AB=8,BC=6.点P从点B沿BA向A以1 cm/s向A移动,到A后停止;同时,点Q从B沿BCCA以1 cm/s移动到终点A,_秒后,PBQ的面积为16.三、解答题(共44分)15. 解下列方程:(1)x2+8x-20=0(用配方法);(2)x2-2x-3=0;(3)(x

5、-1)(x+2)=4(x-1);(4)3x2-6x=1(用公式法).16. 已知关于x方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)m为何值时,此方程为一元二次方程?(2)当m=2时,不解方程,请判断该方程是否有实数根?17. 已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).18. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0,其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x=1是方程的根,试判断ABC的形状,并说明理

6、由；（2）如果方程有两个相等的实数根,试判断ABC的形状,并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根19. 百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元？（2）要想平均每天销售这种童装盈利1800元,有可能吗？（3）要想平均每天销售这种童装获利达最大,则每件童装应降价多少元？每天的获利是多少元？参考答案一、选择题(每小题4分

7、,共32分)1. 已知关于x的方程:(1)ax2+bx+c=0;(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)(x+1)=0;(4)(k2+1)x2+kx+1=0中,一元二次方程的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.据此进行分析即可.【详解】(1)ax2+bx+c=0;(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)(x+1)=0;(4)(k2+1)x2+kx+1=0中,一元二次方程有：（3）和（4）故选B【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的定义. 解题关键点：理解一元二次方程的定义.2

8、. 方程4x2=5x+2化为一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是（ ）A. 4x2, 5x, 2B. -4x2, -5x, -2C. 4x 2 , -5x, -2D. 4x2, -5x, 2【答案】C【解析】4x=5x+2,4x5x2=0,化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是4x,5x,2,故选C.3. 若代数式x2+5x+6与x+1值相等,则x的值为（ ）A. x1=1,x2=5B. x1=6,x2=1C. x1=2,x2=3D. x=1【答案】A【解析】【分析】根据题意列出方程求解可得正确选项.【详解】解：根据题意得,x2+5x+6=-x+1x2+5x+6-（-x+1）=0x2+

9、5x+6+x-1=0x2+6x+5=0（x+5）（x+1）=0x1=-1,x2=-5故选A【点睛】本题考查了一元二次方程,掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键.4. 某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是（）A. 560（1x）2315B. 560（1x）2315C. 560（12x）2315D. 560（1x2）315【答案】B【解析】试题分析：根据题意,设设每次降价的百分率为x,可列方程为560（1-x）=315.故选B5. 方程有两个实数根,则的取值范围（ ）A. B.

10、且C. D. 且【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到,然后解不等式组即可【详解】解：根据题意得,解得m且m2故选B6. 设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值( )A. 3B. -2C. -1D. 2【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可设x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0,a,b,c为常数）的两个实数根,则x1+x2=【详解】依题意得a=1,b=-3,x1+x2=3故选A【点睛】本题考核知识点：一元二次方程根与系数的关系.解题关键点：熟记根与系数的关系.7.

11、已知a2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,mn,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是( )A 6B. 3C. -3D. 0【答案】A【解析】已知m22am+2=0,n22an+2=0,可得m,n是关于x的方程x22ax+2=0的两个根,根据根与系数的关系可得m+n=2a,mn=2,再由（m1）2+（n1）2=m22m+1+n22n+1=（m+n）22mn2（m+n）+2=4a244a+2=4（a ）23,因a2,所以当a=2时,（m1）2+（n1）2有最小值,即（m1）2+（n1）2的最小值=4（a）2-3=4（2）23=6,故选A8. 如图所示,长方形ABCD的周长是20 cm

12、,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68 cm2,那么长方形ABCD的面积是()A. 21 cm2B. 16 cm2C. 24 cm2D. 9 cm2【答案】B【解析】【详解】设AB=x,AD=y,根据题意,得x2+y2=68,2（x+y）=20,由得（x+y）2-2xy=68,2xy=100-68=32,xy=16长方形ABCD的面积是16cm2故选B二、填空题(每小题4分,共24分)9. 若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=_.【答案】3【解析】【详解】在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方,

13、得x2+6x+32=7+32,（x+3）2=16m=3.10. 设一元二次方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,则+=_.【答案】7【解析】【分析】一元二次方程且二次项系数为1的方程的根与系数的关系：x1+x2=-b（b是一次项数）,x1x2=c（c是常数项）,根据这一关系解答即可【详解】因为,一元二次方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=3,x1x2=1,所以,+=（x1+x2）2-2 x1x2=9-2=7故答案为：7【点睛】本题考核知识点：一元二次方程x2+bx+c=0根与系数的关系：x1+x2=-b（b是一次项数）,x1x2=c（c是常数项）11. 已知点A

14、(m2-5,2m+3)在第三象限角平分线上,则m=_.【答案】-2【解析】【分析】根据点在第三象限角平分线上,横坐标和纵坐标相等,且都是负数,可列出方程并求解.【详解】因为,已知点A(m2-5,2m+3)在第三象限角平分线上,所以,m2-5=2m+3,解得m1=4(不合题意舍去),m2=-2,故答案为：-2【点睛】本题考核知识点：点的坐标特点,一元二次方程. 解题关键点：列出一元二次方程.12. 如图是一个三角形点阵图,从上向下有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点第n行有n个点,容易看出,10是三角形点阵中前4行的点数和,则300个点是前_行的点数和.【答案】24【解析】试题分析：由

15、于第一行有1个点,第二行有2个点第n行有n个点,则前n行共有（1+2+3+4+5+n）个点,然后求它们的和,前n行共有个点,则=300,整理这个方程,得：n2+n600=0,解方程得：n1=24,n2=25 根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300 故答案为24 【考点】规律型：图形的变化类13. 对于实数a,b,定义运算“”：例如42,因为42,所以42=4242=8若x1,x2是一元二次方程x25x+6=0的两个根,则x1x2= 【答案】3或2【解析】【详解】试题分析：x1,x2是一元二次方程x25x+6=0的两个根,（x3）（x2）=0,解得：x=3或2

16、当x1=3,x2=2时,x1x2=3232=3；当x1=2,x2=3时,x1x2=3222=214. 在ABC中,B=90,AB=8,BC=6.点P从点B沿BA向A以1 cm/s向A移动,到A后停止;同时,点Q从B沿BCCA以1 cm/s移动到终点A,_秒后,PBQ的面积为16.【答案】4 【解析】【分析】设经过x秒钟,PBQ的面积等于16平方厘米,根据点P从B点开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动,点Q从B沿BCCA以1cm/s的速度移动,表示出BP和BQ的长可列方程求解【详解】由勾股定理得,设x秒后PBQ的面积等于16,依题意有当t6时,解得,(负值舍去);当6t8时,解得(不合题意舍

17、去);综上所述,后, PBQ的面积为16.故答案为4【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,应注意应先表示出直角三角形的面积所需要的边和高,然后分情况进行讨论三、解答题(共44分)15. 解下列方程:(1)x2+8x-20=0(用配方法);(2)x2-2x-3=0;(3)(x-1)(x+2)=4(x-1);(4)3x2-6x=1(用公式法).【答案】（1）x1=2,x2=-10.（2）x1=3,x2=-1.（3）x1=1,x2=2.（4）x1=,x2=.【解析】【分析】（1）按配方法步骤解方程；（2）用因式分解法解方程；（3）用因式分解法解方程；（4）按公式法步骤解方程.【详解】解:(1)x2+

18、8x+16=36,(x+4)2=36,x+4=6,所以x1=2,x2=-10.(2)(x-3)(x+1)=0,所以x1=3,x2=-1.(3)(x-1)(x+2)-4(x-1)=0,(x-1)(x+2-4)=0,所以x1=1,x2=2.(4)3x2-6x-1=0,=(-6)2-43(-1)=48,x=,所以x1=,x2=.【点睛】本题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：熟练掌握各种解方程的方法.16. 已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)m为何值时,此方程为一元二次方程?(2)当m=2时,不解方程,请判断该方程是否有实数根?【答案】（1）m1时,此方程为一元二次

19、方程.（2）方程没有实数根.【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的定义可得m2-10,即m1；(2)由根判别式进行判断即可.【详解】解:(1)根据题意,得m2-10,即m1,答:m1时,此方程一元二次方程.(2)当m=2时,方程为3x2-3x+2=0,因为=(-3)2-432=-150,所以方程没有实数根.【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的定义,根判别式.解题关键点：理解一元二次方程的定义和根判别式.17. 已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5

20、的值(要求先化简再求值).【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】试题分析:（1）找出a,b及c,表示出根判别式,变形后得到其值大于0,即可得证（2）把x=0代入方程即可求m的值,然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可试题解析：（1）关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=0=（2m+1）2-4m（m+1）=10,方程总有两个不相等的实数根；（2）x=0是此方程的一个根,把x=0代入方程中得到m（m+1）=0,m=0或m=-1,（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5,把m=0代入3m2+3m+5得：

21、3m2+3m+5=5；把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=31-3+5=5考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解18. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0,其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x=1是方程的根,试判断ABC的形状,并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根,试判断ABC的形状,并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程根【答案】(1) ABC是等腰三角形；(2)ABC是直角三角形；(3) x1=0,x2=1【解析】试题分析：（1）直接将x=1代入得出关于a,b的等式,进而得出a=b,即可判断ABC的形状

22、；（2）利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式,进而判断ABC的形状；（3）利用ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可试题解析：（1）ABC是等腰三角形；理由：x=1是方程的根,（a+c）（1）22b+（ac）=0,a+c2b+ac=0,ab=0,a=b,ABC是等腰三角形；（2）方程有两个相等的实数根,（2b）24（a+c）（ac）=0,4b24a2+4c2=0,a2=b2+c2,ABC是直角三角形；（3）当ABC是等边三角形,（a+c）x2+2bx+（ac）=0,可整理为：2ax2+2ax=0,x2+x=0,解得：x1=0,x2=1考点：一元二次方程的应用19. 百货商

23、店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元？（2）要想平均每天销售这种童装盈利1800元,有可能吗？（3）要想平均每天销售这种童装获利达最大,则每件童装应降价多少元？每天的获利是多少元？【答案】（1）每件童装降价20元；（2）要想平均每天销售这种童装盈利1800元没有可能；（3）当每件童装降价15元时,能获最大利润1250元【解析】试题分析：（1）设每

24、件童装应降价x元,根据题目中的等量关系“（原来每件的盈利-降低的价格）（原来的销售量+2降低的价格）=1200”,列出方程解方程即可；（2）利用（1）的方法了,列出方程,解方程即可判定；（3）设每天销售这种童装利润为y,根据（1）的方法列出y与x的函数关系式,利用二次函数的性质解决问题即可试题解析：（1）设每件童装应降价x元,根据题意得：（40x）（20+2x）=1200,解得x1=20,x2=10（不合题意,舍去）,答：每件童装降价20元；（2）设每件童装应降价n元,根据题意得：（40n）（20+2n）=1800,整理得：n230n+500=0,=b24ac=30241500=9002000=11000,原方程无解,则要想平均每天销售这种童装盈利1800元没有可能；（3）设每天销售这种童装利润为y,根据题意得：y=（40x）（20+x2）=2x2+60x+800=2（x15）2+1250,答：当每件童装降价15元时,能获最大利润1250元点睛：本题考查了一元二次方程及二次函数的应用,掌握平均每天售出的件数每件盈利=每天销售的利润的运用是解题的关键,读懂题题意,找出之间的数量关系列出方程（或函数解析式）即可