中考数学二次函数的综合题试题附答案.doc
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- 中考 数学 二次 函数 综合 试题 答案
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1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线y=x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=1(1)求抛物线的解析式;(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由(3)知F(x0,y0)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,求定点F的坐标【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2x+1(2)点P的坐标为(,1)(3)定点F的坐标为(2,1)【解析】分析:(1)由抛物线的顶点坐标为(2,0),可设抛物线的
2、解析式为y=a(x-2)2,由抛物线过点(4,1),利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组,通过解方程组可求出点A、B的坐标,作点B关于直线l的对称点B,连接AB交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值,根据点B的坐标可得出点B的坐标,根据点A、B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;(3)由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征,即可得出(1-y0)m2+(2-2x0+2y0)m+x02+y02-2y0-3=0,由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组,解之即
3、可求出顶点F的坐标详解:(1)抛物线的顶点坐标为(2,0),设抛物线的解析式为y=a(x-2)2该抛物线经过点(4,1),1=4a,解得:a=,抛物线的解析式为y=(x-2)2=x2-x+1(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组,得:,解得:,点A的坐标为(1,),点B的坐标为(4,1)作点B关于直线l的对称点B,连接AB交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值(如图1所示)点B(4,1),直线l为y=-1,点B的坐标为(4,-3)设直线AB的解析式为y=kx+b(k0),将A(1,)、B(4,-3)代入y=kx+b,得:,解得:,直线AB的解析式为y=-x+,当y=-1时,有-x+=-1,
4、解得:x=,点P的坐标为(,-1)(3)点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,(m-x0)2+(n-y0)2=(n+1)2,m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1M(m,n)为抛物线上一动点,n=m2-m+1,m2-2x0m+x02-2y0(m2-m+1)+y02=2(m2-m+1)+1,整理得:(1-y0)m2+(2-2x0+2y0)m+x02+y02-2y0-3=0m为任意值,定点F的坐标为(2,1)点睛:本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法
5、求出二次函数解析式;(2)利用两点之间线段最短找出点P的位置;(3)根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征,找出关于x0、y0的方程组2如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;(2)在x轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不在,请说明理由;(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得PAB的面积最大,并求出这个最大值【答案】(1),顶点D(2,);(2)C(,0)或(,0)或(,0);(3)【解析】【分析】(1)抛物线的顶点D
6、的横坐标是2,则x2,抛物线过A(0,3),则:函数的表达式为:y=ax2+bx3,把B点坐标代入函数表达式,即可求解;(2)分AB=AC、AB=BC、AC=BC,三种情况求解即可;(3)由SPABPHxB,即可求解【详解】(1)抛物线的顶点D的横坐标是2,则x2,抛物线过A(0,3),则:函数的表达式为:y=ax2+bx3,把B点坐标代入上式得:9=25a+5b3,联立、解得:a,b,c=3,抛物线的解析式为:yx2x3当x=2时,y,即顶点D的坐标为(2,);(2)A(0,3),B(5,9),则AB=13,设点C坐标(m,0),分三种情况讨论:当AB=AC时,则:(m)2+(3)2=132
7、,解得:m=4,即点C坐标为:(4,0)或(4,0);当AB=BC时,则:(5m)2+92=132,解得:m=5,即:点C坐标为(5,0)或(52,0);当AC=BC时,则:5m)2+92=(m)2+(3)2,解得:m=,则点C坐标为(,0)综上所述:存在,点C的坐标为:(4,0)或(5,0)或(,0);(3)过点P作y轴的平行线交AB于点H设直线AB的表达式为y=kx3,把点B坐标代入上式,9=5k3,则k,故函数的表达式为:yx3,设点P坐标为(m,m2m3),则点H坐标为(m,m3),SPABPHxB(m2+12m)=6m2+30m=,当m=时,SPAB取得最大值为:答:PAB的面积最大
8、值为【点睛】本题是二次函数综合题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系3某市实施产业精准扶贫,帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚已知该蜜柚的成本价为6元/千克,到了收获季节投入市场销售时,调查市场行情后,发现该蜜柚不会亏本,且每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?(3)某村农户今年共采摘蜜柚12000千克,若该品种蜜柚的保质期
9、为50天,按照(2)的销售方式,能否在保质期内全部销售完这批蜜柚?若能,请说明理由;若不能,应定销售价为多少元时,既能销售完又能获得最大利润?【答案】(1)y20x+500,(x6);(2)当x15.5时,w的最大值为1805元;(3)当x13时,w1680,此时,既能销售完又能获得最大利润【解析】【分析】(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式:ykx+b即可求解;(2)由题意得:wy(x6)20(x25)(x6),200,故w有最大值,即可求解;(3)当x15.5时,y190,5019012000,故:按照(2)的销售方式,不能在保质期内全部销售完;由50(50020
10、x)12000,解得:x13,当x13时,既能销售完又能获得最大利润【详解】解:(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式:ykx+b得:,解得:,即:函数的表达式为:y20x+500,(x6);(2)设:该品种蜜柚定价为x元时,每天销售获得的利润w最大,则:wy(x6)20(x25)(x6),200,故w有最大值,当x15.5时,w的最大值为1805元;(3)当x15.5时,y190,5019012000,故:按照(2)的销售方式,不能在保质期内全部销售完;设:应定销售价为x元时,既能销售完又能获得最大利润w,由题意得:50(50020x)12000,解得:x13,w20
11、(x25)(x6),当x13时,w1680,此时,既能销售完又能获得最大利润【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值).4综合与探究如图,抛物线经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为.连接AC,BC,DB,DC(1)求抛物线的函数表达式;(2)BCD的面积等于AOC的面积的时,求的值;(3)在(2)的条件下,若点M是轴上的一个动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这
12、样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)3;(3).【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可;(2)作直线DE轴于点E,交BC于点G,作CFDE,垂足为F,先求出SOAC=6,再根据SBCD=SAOC,得到SBCD =,然后求出BC的解析式为,则可得点G的坐标为,由此可得,再根据SBCD=SCDG+SBDG=,可得关于m的方程,解方程即可求得答案;(3)存在,如下图所示,以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图,以BD为边时,有3种情况,由点D的坐标可得点N点纵坐标为,然后分点N的纵坐
13、标为和点N的纵坐标为两种情况分别求解;以BD为对角线时,有1种情况,此时N1点与N2点重合,根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4,继而求得OM1= 8,由此即可求得答案.【详解】(1)抛物线经过点A(-2,0),B(4,0),解得,抛物线的函数表达式为;(2)作直线DE轴于点E,交BC于点G,作CFDE,垂足为F,点A的坐标为(-2,0),OA=2,由,得,点C的坐标为(0,6),OC=6,SOAC=,SBCD=SAOC,SBCD =,设直线BC的函数表达式为,由B,C两点的坐标得,解得,直线BC的函数表达式为,点G的坐标为,点B的坐标为(4,0),OB=4,SBCD=SCD
14、G+SBDG=,SBCD =,解得(舍),的值为3;(3)存在,如下图所示,以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图,以BD为边时,有3种情况,D点坐标为,点N点纵坐标为,当点N的纵坐标为时,如点N2,此时,解得:(舍),;当点N的纵坐标为时,如点N3,N4,此时,解得:,;以BD为对角线时,有1种情况,此时N1点与N2点重合,D(3,),N1D=4,BM1=N1D=4,OM1=OB+BM1=8,M1(8,0),综上,点M的坐标为:.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识,运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想,
15、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.5如图,(图1,图2),四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在线段BC上,AEF=90,且EF交正方形外角平分线CP于点F,交BC的延长线于点N, FNBC(1)若点E是BC的中点(如图1),AE与EF相等吗?(2)点E在BC间运动时(如图2),设BE=x,ECF的面积为y求y与x的函数关系式;当x取何值时,y有最大值,并求出这个最大值.【答案】(1)AE=EF;(2)y=-x2+2x(0x4),当x=2,y最大值=2.【解析】【分析】(1)在AB上取一点G,使AG=EC,连接GE,利用ASA,易证得:AGEECF,则可证得:AE=EF;(2)同(1)
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