专题三反比例函数试题的解题思路.doc

1、专题三 反比例函数试题的解题思路一、方法简述初中学生首先学习的曲线就是反比例函数的图象，中考的反比例函数试题一般是与一次函数相结合，由于解析式的特征，不但能以函数图象为载体考查几何，而且能够以解析式为载体考查代数，如分式的变形运算等，是中考的热门题型，解决此类问题的关键是数形结合思想、函数与方程思想以及代入法，代定系数法的灵活应用。二、常用方法1.求反比例函数解析式的方法：求反比例函数图象经过一点的坐标，利用代入法；利用几何图形的数量关系来确定；利用实际问题中的数量关系来确定；2.从反比例函数的图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为；3.反比例函数图象上的两个点（，）、（

2、，），则。三、典例分析例1：如图，直线与双曲线相交于两点（1）当为何值时？ ；（2）把直线平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为2，求平移后得到的直线解析式.解：（1）根据图象，当或时，（2） (1，-2)根据题意得：解得： 直线与坐标轴的交点分别为（0，-1）、（-1，0)方法一：设把直线向上平移个单位长度，所得到的直线为该直线与轴相交于，于轴相交于,则（0，） =解得：， 所以平移后所得到的直线为或方法二：设把直线向右平移个单位长度，所得到的直线为 即 该直线与轴相交于，于轴相交于,则（0，） =解得：， 所以平移后所得到的直线为或评析：第（1）小题，实际上是求直线在双曲线上方部分

3、的自变量的取值范围，所以要先求出点的坐标，然后根据图象就可以直接写出自变量的取值范围；第（2）小题只要求出平移后的直线与坐标轴的交点坐标问题就迎刃而解，要注意平移方向与平移距离之间的关系。例2：探索发现：如图，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫的“水平宽（）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高（）”，我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）图4图3图2图1ODCBAxyyxCOBAyxOCBADCBAha 应用求值：（1）如图，、是直线上的两个动点，横坐标分别为、，且，点（，）.求：的面积；（2

4、）如图，直线与双曲线（）相交于、两点，与轴相交于点，的面积为6，求：的值；（3）如图，、是双曲线（）在第一象限上的两点，轴于交于点，求：的值及的面积.解：（1）过作轴交直线于如图：当时， （2），当时， 记点的横坐标为，点的横坐标为. 设点的横坐标为，则点的横坐标为(，)， 解方程得：(，) （3），, (，) 直线为， 设点（，），则， 或（不合题意舍去） 所以的水平宽为3. 评析：“探索发现-应用求值”与“阅读理解-创新应用”类似，解题时，要认真阅读“阅读理解”部分的内容，确实理解所用的知识、方法，并作为应用中的借鉴；把新的三角形面积计算方法应用在直角坐标系中，、两点横坐标之差，就是水平宽

5、，、（或、）两点纵坐标之差便为铅垂高。四、强化训练1.如图，一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形（阴影部分）的面积是，与反比例函数的图形相交于点（,）和（，），求的值.yxOABCED2.如图，已知直线与轴交于点，与双曲线交于（，）、（，）两点.轴于点，轴且与轴交于点.（1）求点的坐标及直线的解析式；（2）判断四边形的形状，并说明理由.3.已知反比例函数 (为常数)的图象经过点(，）（1）求的值；（2）如图，过点作直线与函数的图象交于点，与x轴交于点，且，求点的坐标4.已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的两点，与轴交于点，点的坐标为（,)，点的坐标

6、为（，），。（l）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在轴上有一点（点除外），使得与的面积相等，求出点的坐标5.如图，在矩形中，、两边分别在轴、轴的正半轴上，过边上的点，沿着翻折，点恰好落在边上的点处，反比例函数在第一象限上的图象经过点与相交于点.（1）求证：四边形是正方形；（2）点是否为正方形的中心？请说明理由.6.如图，在平面直角坐标系中，(，)、（，），四边形是矩形，、分别是、边上的点，沿着折叠矩形，点恰好落在轴上的点处，点落在点处（1）求、两点的坐标；（2）反比例函数在第一象限内的图象经过点，判断点是否在这个反比例函数的图象上？并说明理由；（3）点是（2）中反比例函数的图象与原矩形

7、的边的交点，点在平面直角坐标系中，以点、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。7.探索发现：如图1，过的三个顶点分别画出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫做的“水平宽（）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高（）”，我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）应用求值：（1）如图2，在直角坐标系中，(，)、（，）,点在第一象限，轴于点，交于点，.求：（2）如图3，、是反比例函数的图象在第一象限上的两点，过作轴于，交于，连接，点的横作标为，求点的坐标及的值.如图3，、是中反比例函数图象上两个动点，、的横作标分别为、（），

8、求：的值.8.如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过边的中点和的中点，已知等边的边长为(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边的边长9.如图，点是反比例函数在第一象限的图象上一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点（），分别过点、作轴的垂线，垂足为、，连接交反比例函数的图象于点.（1）求：矩形的面积（用含的代数式表示）；（2）若点恰好是矩形的中心.求：的值若，其它的条件不变，判断的形状，并说明理由.10.如图，将矩形放在直角坐际系中，为坐标原点点在轴正半轴上点是边上的个动点(不与点、重合)，过点的反比例函数的图象与边交于点。（1）若、的而积分别为且，求的值：（2）若问当点运动到什么

9、位置时 四边形的面积最大其最大值为多少?专题三、反比例函数1.解：直线与轴交点为（0，），与轴交点为（-1,0） 一次函数为： 、 又所以2解：（1）双曲线过A（3，），.把B（-5，）代入,得. 点B的坐标是（-5，-4）. 设直线AB的解析式为，将 A（3，）、B（-5，-4）代入得， 解得：.直线AB的解析式为：.（2）四边形CBED是菱形.理由如下: 点D的坐标是（3,0），点C的坐标是（-2,0）. BE轴， 点E的坐标是（0,-4）.而CD =5， BE=5， 且BECD. 四边形CBED是平行四边形. 在RtOED中，ED2OE2OD2， ED5，EDCD.CBED是菱形. 3.

10、解：（1），（2）分别过、作轴的垂线，垂足为、.则， 在中，当时， (-4,0)4.解：（1）过B点作BDx轴，垂足为D，B（n，2），BD=2，在RtOBD在，tanBOC=，即=，解得OD=5，又B点在第三象限，B（5，2），将B（5，2）代入y=中，得k=xy=10，反比例函数解析式为y=，将A（2，m）代入y=中，得m=5，A（2，5），将A（2，5），B（5，2）代入y=ax+b中，得，解得，则一次函数解析式为y=x+3；（2）由y=x+3得C（3，0），即OC=3，SBCE=SBCO，CE=OC=3，OE=6，即E（6，0）5.解：（1）四边形是矩形、 是由沿着翻折得到的 ， 四边

11、形是正方形 （2）点是正方形的中心理由：过作轴于，如图：四边形是正方形 ，(，) (，)、(，) 直线为 设（，），则，解得：， （不合题意舍去）（，），（，）， 点是正方形的中心. 6. 解：（1）OA=16，OC=8，设OD=m，则CD=DA=16-m， 在RtCOD中，COD=90 CD=OC+OD (16-m) =8+m ，m=6 D(6，0) 四边形OABC是矩形OACB，CED=EDA，又EDA=CDE，CED=CDE，CE=CD=10，E(10，8)（2）过B作BMBC于M如图1. BC=AB=OC=8，BE=BE=6，C BE=90，BM=CM= ， B（6.4，12.8）k=

12、108=80，y=， 图1 点B不在这个反比例函数的图象上。 （3）当x=16时，y=5 F(16，5)，有三种情况如图2：把线段DE先向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位长度，端点E落在G处，G（20，13）；把线段EF先向左平移4个单位长度，再向下平移8 个单位长度，端点F落在G处，G（12，-3）； 把线段DF先向左平移6个单位长度，再向上平移3 图2个单位长度，端点D落在G处，G（0，3）； 综上所述，在直角坐标系中存在：G（20，13）、G（12，-3）、G（0，3）使得以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形。7. 解：（1）过A作ADx轴于D.则AD=3，OD=2，DC=

13、4BFx轴，ADx轴 ADEFCEFCAD EF=1, S=(2) 过B作BEx轴于E。设A（，）、B(6， 则CE=()，BE=直线OB为： D(a， ) =1（）AD=， （）把（）代人（）解得 A(3，4)、B（6，2） （3）过M作MAx轴于A，过N作NBx轴于B,连接ON交MA于点C.直线ON为： 当x=m时，y=C() MC=- 又MC= -= 8.解：(1)过点C作CGOA于点G，点C是等边OAB的边OB的中点，OC2，AOB60，OG1，CG，点C的坐标是(1，)，由，得：k，该双曲线所表示的函数解析式为y； (2)过点D作DHAF于点H，设AHa，则DHa点D的坐标为(4a，

14、)，点D是双曲线y上的点，由xy，得(4a)，即：a24a10，解得：a12，a22(舍去)，AD2AH24，等边AEF的边长是2AD489. 解：设A()，则B（）、C(0，)（1）AB= AD=（2）过点F作FGBC于G.点F是矩形ABCD的中心点F坐标为 （ ） 把点F（ ）代入得： 化简得： AEF是直角三角形理由：由得，A() ，在中，当y=时， AE=ACB=30，ABC=90 tan30= AB=AF= 又EAF=CADEAFCAD EFA=CDA =90 所以AEF是直角三角形.10. 解：（1）点E、F在函数的图象上，设， ，。（2）四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，设，BE=，BF= ，=当时，AE=2.当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5.