三角函数知识点整理.doc

1、1. 角的有关概念(1)角的概念：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线的端点叫做角的顶点;旋转开始时的射线叫做角的始边;旋转终止时的射线叫做角的终边。(2)正角、负角和零角按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角.(3)象限角在平面直角坐标系下,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就把这个角称做第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不属于任何象限.(4)各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的、分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；(5)终边相同的角与角

2、终边相同的角所组成的集合:S=2. 角度制与弧度制设扇形的弧长为，圆心角为（rad）,半径为R，面积为S角的弧度数公式2(/360)角度与弧度的换算360=2 rad1=/180rad1rad=180/=571857.3弧长公式扇形的面积公式3. 任意角的三角函数三角函数（6个）表示：为任意角，角的终边上任意点P的坐标为，它与原点的距离为（r0,当点P在单位圆上时，r=1）那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是： ， ，.4. 同角三角函数关系式 倒数关系： 商数关系：， 平方关系：5. 三角函数符号规律6. 特殊锐角（0，30，45，60，90）的三角比的值 7. 诱导公式：（奇变

3、偶不变，符号看象限）k/2+所谓奇偶指的是整数k的奇偶性公式三角函数诱导公式一诱导公式二诱导公式三诱导公式四诱导公式五诱导公式六注：8. 两角和与差的三角函数：（1） 两角和与差公式：（2） 二倍角公式：（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：， ，（4）辅助角公式（5）三角函数的积化和差，可得：（6）三角函数的和差化积公式9.三角函数的图像和性质：（其中）三角函数图象定义域RR值域-1,1-1,1R最小正周期奇偶性奇偶奇单调性单调递增单调递减单调递增单调递减单调递增对称性（对称轴）（对称中心）（对称轴）（对称中心）（对称中心）零值点最值点 ,，；， 无10.函数的图像与性质：（本节知识考察一般

4、能化成形如图像及性质）（1） 函数和的周期都是（2） 函数和的周期都是（3） 五点法作的简图，设，取0、来求相应的值以及对应的y值再描点作图。t （4） 经过变换变为的步骤：方法1：先平移后伸缩方法2：先伸缩后平移（5） 函数的平移变换： 将图像沿轴向左（右）平移个单位（左加右减） 将图像沿轴向上（下）平移个单位（上加下减）函数的伸缩变换： 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长） 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短）函数的对称变换： ) 将图像绕轴翻折180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于轴对称） 将图像绕轴翻折180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于

5、轴对称） 将图像在轴右侧保留，并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶函数局部翻折） 保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动）11.正、余弦定理：正弦定理：在中有:（为外接圆半径） 面积公式：余弦定理：在三角形中有: 5.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式： 其中（3） 常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特

6、别是常数“1”。（4） 幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：常用升幂化为有理式。（5） 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。（6） 结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。（7） 消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法（8） 思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。（9） 利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子： ，已知其中一个式子的

7、值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。6.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：（或型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论型：引进辅助角化成再利用有界性型：配方后求二次函数的最值，应注意的约束型：反解出，化归为解决型：常用到换元法：，但须注意的取值范围：。（3）三角形中常用的关系：， ， ， 三角函数值域总结：注意：定义域的取值1、应用提斜公式，形如可直接用公式。 形如，逆用倍角公 式化成提斜的形式。 形如或的的函数（式中也可以是同名函数），先 、 用和差化积公式展开，化归为例1、例2的形式求最值. 形如的函数可将看作参数，利用提斜公式。2、利用倍角公式、半角公式、化同名三角函数，

8、然后配方3、“1”的妙用，形如sinxcosx sinxcosx 在关系式中时，可以应用换元处理，令t=sinxcosx，则 sinxcosx = 把三角问题化为代数为题来处理。4.形如的函数用分离变量法分离常数，利用sinx的有界性求解.5、形如的函数可将看作参数，化归为例1的形式求解6、求同时含有与（或）的函数的值域，一般令(或) 可以化归为求在区间上的值域，要注意的取值范围.例：函数的定义域为，值域为，求常数.解; 1、求的最小值，并求使取最小值时的集合.2、求的值域。3、求的值域.4、若函数的最大值为1，则= 5、函数的有最大值2，最小值-1，求实数的值。6、若函数的定义域为，值域为，

9、求常数的值。7、求函数的最大值和最小值.8、求函数的值域； 9、求函数的值域。10、函数的最小值是 11、求函数的最大值。12、函数的定义域为，值域为，求常数的值。13、函数的最大值为3，求的值。三角函数的单调性的基本方法：函数的单调区间的确定 1、首先要看A、是否为正，若为负，则先应用诱导 公式化为正 2、然后将x+看作一个整体，化为最简式，再结合A的正负，在和两个区间内分别确定函数的单调增减区间。例题：1、求函数在区间-2，2的单调增区间。解：利用诱导公式把函数转化为标准函数（）的形式：把标准函数转化为最简函数（）的形式：令，原函数变为讨论最简函数的单调性：从函数的图像可以看出，的单调增区

10、间为，。所以，即， ， 计算k=0,k=1时的单调增区间：当k=0时，当k=1时，当k=-1时，在要求的区间内-2，2确定函数的最终单调增区间：因为，所以该函数的单调增区间为和 （）（二） 解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。可以利用正弦定理 和余弦定理等求解。三基定理：（正。余 。面积）A、 正弦定理：其中是三角形外接圆半径.B、余弦定理： 由此可得：.（做题出现余弦，角换边）C、三角形面积公式：（1）（此为常用公式） （2） 其中，为内切圆半径，为外接圆半径.D、在三角形中大边对大角，反之亦然.（用来判定三角形是否成立，去根） 1）在ABC中，A+B+C=180 2

11、）大边对大角，即 ab ABE、射影定理（了解）： F、有关三角形内角的几个常用公式 （当常用A+B+C=PAI）G、解三角形常见的四种类型 应用余弦定理：1、已知两边与其夹角，由，求出，再由余弦定理， 求出角。 2、已知三边，由余弦定理可求出。 应用正弦定理： 3、已知两角与一边：由及正弦定理， 可求出，再求。 4、已知两边及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的 对角，由，求出，再由求出，而通过 求时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：909090一解一解一解无解无解一解两解无解无解一解无解 H、对于三角形的分类或三角形形状判断，主要从边或角两方面入手。1、大题第一问，求边，或者边之间的关系，求角或者角或之间的关系。利用正余弦定理，正弦定理和余弦定理是相通的，用正弦定理可解的题，用余弦定理也可解，主要是看怎样解题更简单.如果求边，首先余弦定理。如果求关于角，首选正弦定理。2、第二问求函数的最值，单调区间，或者三角形的面积等问题。 1.注意利用第一步得到的结合。 2、求最值注意定义域。