2020学年天津市南开区新高考高一数学下学期期末检测试题.doc

1、2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知正方体的个顶点中，有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）ABCD2如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A4B5C8D93的值等于( )ABCD4若直线l：ax+by1（a0，b0）平分圆x2+y2x2y0，则的最小值为（）AB2CD5若向量，则点B的坐标为（ ）ABCD6已知，则，的大小顺序

2、为（ ）ABCD7若直线：与直线：平行 ，则的值为（ ）A1B1或2C-2D1或-28采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后某组抽到的号码为1抽到的人中，编号落入区间 的人数为（ ）A10BC12D139设，,则的值可表示为（ ）ABCD10在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，若，则其外接球的表面积为（）ABCD11若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A3B1C9D1012甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）人数据甲乙丙丁平均数8.68.98.98.2方差3.

3、53.52.15.6A甲B乙C丙D丁二、填空题：本题共4小题13已知，则的值为_14已知，若，则的取值范围是_15设数列的前项和为满足：，则_.16已知，则在方向上的投影为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在中，角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.18已知数列的前项和，且；（1）求它的通项.（2）若，求数列的前项和.19（6分）已知数列是递增的等比数列，且（）求数列的通项公式；（）设为数列的前n项和，求数列的前n项和20（6分）已知向量，不是共线向量，（1）判断，是否共线；（2）若，求的值21（6分）已知向量，满足：，（）求与的夹角；（）

4、求22（8分）中，角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】所求的全面积之比为： ，故选A.2B【解析】【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，故选B【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方

5、程求解.3C【解析】【分析】利用诱导公式把化简成.【详解】【点睛】本题考查诱导公式的应用，即把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，考查基本运算求解能力.4C【解析】【分析】求得圆心，代入直线的方程，然后利用基本不等式求得的最小值.【详解】圆的圆心为，由于直线平分圆，故圆心在直线上，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：C【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值.5B【解析】【分析】根据向量的坐标运算得到，得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，意在考查学生的计算能力.6B【解析】【分析】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的

6、和角公式求得.【详解】故选B.【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.7A【解析】试题分析：因为直线：与直线：平行 ，所以或-2，又时两直线重合，所以考点：两条直线平行的条件点评：此题是易错题，容易选C，其原因是忽略了两条直线重合的验证8C【解析】【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an30n19，由40130n21755，求得正整数n的个数，即可得出结论【详解】9603230，每组30人，由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为1，可知第一组

7、抽到的号码为11，由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，等差数列的通项公式为an11+（n1）3030n19，由40130n19755，n为正整数可得14n25，做问卷C的人数为2514+112，故选C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础9A【解析】【分析】由，可得到，然后根据反余弦函数的图象与性质即可得到答案.【详解】因为，所以，则.故选：A【点睛】本题主要考查反余弦函数的运用，熟练掌握反余弦函数的概念及性质是解决本题的关键.10A【解析】【分析】根据题意，将直三棱柱扩充为长方体，其体

8、对角线为其外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的表面积【详解】，ABC=90，将直三棱柱扩充为长、宽、高为2、2、3的长方体,其体对角线为其外接球的直径,长度为，其外接球的半径为,表面积为=17.故选：A.【点睛】本题考查几何体外接球，通常将几何体进行割补成长方体，几何体外接球等同于长方体外接球，利用长方体外接球直径等于体对角线长求出半径，再求出球的体积和表面积即可，属于简单题.11C【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线到的位置，此时目标函数取得最大值为.故选C.【点睛】本小题主要考

9、查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.12C【解析】【分析】甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选【详解】甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定，丙是最佳人选，故选：C【点睛】本题考查平均数和方差的实际应用，考查数据处理能力，求解时注意方差越小数据越稳定.二、填空题：本题共4小题13【解析】【分析】利用和差化积公式将两式化简，然后两式相除得到的值，再利用二倍角公式

10、即可求出【详解】由得，两式相除得，则【点睛】本题主要考查和差化积公式以及二倍角公式的应用14【解析】数形结合法，注意y，y0等价于x2y29(y0)，它表示的图形是圆x2y29在x轴之上的部分(如图所示)结合图形不难求得，当3b3时，直线yxb与半圆x2y29(y0)有公共点15【解析】【分析】利用，求得关于的递推关系式，利用配凑法证得是等比数列，由此求得数列的通项公式，进而求得的表达式，从而求得的值.【详解】当时，.由于，而，故，故答案为：.【点睛】本小题主要考查配凑法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16【解析】【分析】根据数量积的几何意义计算【详解】在方向上的投

11、影为故答案为：1【点睛】本题考查向量的投影，掌握投影的概念是解题基础三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）先用二倍角公式化简，再根据正弦定理即可解出；（2）用正弦定理分别表示，再用三角形内角和及和差公式化简，转化为三角函数求最值.【详解】（1）由及二倍角公式得，又即，所以；（2）由正弦定理得，周长：，又因为，所以.因此周长的取值范围是.【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，三角形求边长取值范围常用的方法：1、转化为三角函数求最值；2、基本不等式.18（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用与的关系式，即可求得数列的通项公式；（2）由（

12、1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.【详解】（1）由，当时，；当时，当也成立，所以则通项；（2）由（1）可得，-，两式相减得 所以数列的前项和为.【点睛】本题主要考查了数列和的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.19（）（）【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为q，根据已知由等比数列的性质可得，联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得（2）根据等比数列的求和公式，有所以，裂项求和即可试题解析：（1）

13、设等比数列的公比为q，所以有联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q1，所以数列的通项公式为（2）根据等比数列的求和公式，有所以所以考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和20（1）与不共线.（2）【解析】【分析】（1）假设与共线，由此列方程组，解方程组判断出与不共线.（2）根据两个向量平行列方程组，解方程组求得的值.【详解】解：（1）若与共线，由题知为非零向量，则有，即，得到且，不存在，即与不平行.（2），则，即，即，解得.【点睛】本小题主要考查判断两个向量是否共线，考查根据两个向量平行求参数，属于基础题.21（）（）【解析】【分析】（I）利用向量数量积的运算，化简，得到，由此求得的大小

14、.（II）先利用向量的数量积运算，求得的值，由此求得的值.【详解】解：（）因为，所以所以因为，所以（）因为，由已知，所以所以【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角的计算，考查向量模的求法，属于基础题.22（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由同角间的三角函数关系化简可求得；（2）利用余弦定理得出的等式，由基本不等式求得的最大值，可得面积最大值【详解】（1），又，即，；（2）由（1），当且仅当时等号成立，最大值为【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查同角间的三角函数关系，考查基本不等式求最值本题主要是考查的公式较多，掌握所有公式才能正确解题本题属于中档题一、选

15、择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数 的最小正周期是( )ABCD2某校高二理（1）班学习兴趣小组为了调查学生喜欢数学课的人数比例，设计了如下调查方法： （1）在本校中随机抽取100名学生，并编号1，2，3，100；（2）在箱内放置了两个黄球和三个红球，让抽取到的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生站出来，一是摸到黄球且编号数为奇数的学生，二是摸到红球且不喜欢数学课的学生。若共有32名学生站出来，那么请用统计的知识估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（ ）A80%B85%C90%D92%3在中，若，则角的大小

16、为（ ）ABCD4若，则与向量同向的单位向量是（ ）ABCD5在中，则 （ ）ABCD6若函数，则的值为（ ）ABCD7已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）ABCD48如图，正方体中，异面直线与所成角的正弦值等于ABCD19已知函数，点A、B分别为图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若OAB为锐角三角形，则的取值范围为（ ）ABCD10已知函数，下列结论不正确的是（ ）A函数的最小正周期为B函数在区间内单调递减C函数的图象关于轴对称D把函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象11若是第四象限角，则是（ ）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角12已知

17、某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A17B34C51D68二、填空题：本题共4小题13已知，若，则实数_.14已知两个正实数x，y满足2，且恒有x+2ym0，则实数m的取值范围是_15已知等比数列的前项和为，则的值是_.16已知，若对任意，均有，则的最小值为_；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数.（1）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）求，解关于的不等式.18已知.（1）设，求满足的实数的值；（2）若为上的奇函数，试求函数的反函数.19（6分）已知数列前项和为， ，且满足（）（）求数列的通项公式；（）若，设

18、数列前项和为，求证： 20（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过点的直线与圆交于不同的两点（不在y轴上)（1）若直线的斜率为3，求的长度；（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值；（3）设的中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由21（6分）设向量、满足，.（1）求的值；（2）若，求实数的值.22（8分）已知数列的前项和，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】【分析】作出函数的图象可得出该函数的最小正周期。【详解】作出

19、函数的图象如下图所示，由图象可知，函数的最小正周期为，故选：A。【点睛】本题考查三角函数周期的求解，一般而言，三角函数最小正周期的求解方法有如下几种：（1）定义法：即；（2）公式法：当时，函数或的最小正周期为，函数最小正周期为；（3）图象法。2A【解析】【分析】先分别计算号数为奇数的概率、摸到黄球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到黄球且号数为奇数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得估计该校学生中喜欢数学课的人数比例【详解】解：由题意，号数为奇数的概率为0.5，摸到黄球的概率为，摸到红球的概率为那么按概率计算摸到黄球且号数为奇数的学生有个共有32名学生站出来，则有12个摸

20、到红球且不喜欢数学课的学生，不喜欢数学课的学生有：，喜欢数学课的有80个，估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是：故选：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3D【解析】【分析】由平面向量数量积的定义得出、与的等量关系，再由并代入、与的等量关系式求出的值，从而得出的大小.【详解】，由正弦定理边角互化思想得，同理得，则，解得，中至少有两个锐角，且，所以，因此，故选D.【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.4A【解析】【分析】先求出的坐标

21、，然后即可算出【详解】因为，所以所以与向量同向的单位向量是故选：A【点睛】本题考查的是向量的坐标运算，属于基础题5A【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值，然后根据正弦定理以及即可计算出的值，最后得出结果。【详解】因为，所以.由正弦定理可知，即，解得，故选A。【点睛】本题考查根据解三角形的相关公式计算的值，考查同角三角函数的相关公式，考查正弦定理的使用，是简单题。6D【解析】【分析】根据分段函数的定义域与函数解析式的关系，代值进行计算即可【详解】解：由已知，又，又，所以：故选：D【点睛】本题考查了分段函数的函数值计算问题，抓住定义域的范围，属于基础题7A【解析】本题主要考查的是向量的求模公式

22、由条件可知=，所以应选A8D【解析】【分析】由线面垂直的判定定理得：，又，所以面，由线面垂直的性质定理得：，即可求解【详解】解：连接，因为四边形为正方形，所以，又，所以面，所以，所以异面直线与所成角的正弦值等于1，故选D【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理，属中档题9B【解析】【分析】OAB为锐角三角形等价于, 再运算即可得解.【详解】解：由题意可得, ,由OAB为锐角三角形，则,即，解得：，即的取值范围为，故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质，重点考查了向量数量积的运算，属中档题.10D【解析】【分析】利用余弦函数的性质对A、B、C三个选项逐一判断，再利用平移“左加右减

23、”及诱导公式得出，进而得出答案【详解】由题意，函数其最小正周期为，故选项A正确；函数在上为减函数，故选项B正确；函数为偶函数，关于轴对称，故选项C正确把函数的图象向左平移个单位长度可得，所以选项D不正确故答案为D【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，以及诱导公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题11C【解析】【分析】利用象限角的表示即可求解.【详解】由是第四象限角，则，所以，所以是第三象限角.故选：C【点睛】本题考查了象限角的表示，属于基础题.12B【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，得几何体的结构（特别是垂直关系），从而确定其外接球球心位置，得球半径【详解】由三视图知原几何体是

24、三棱锥，如图，平面，平面由这两个线面垂直，得，因此的中点到四顶点的距离相等，即为外接球球心由三视图得，故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，考查三视图解题关键是由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构，找到外接球球心二、填空题：本题共4小题132或【解析】【分析】根据向量平行的充要条件代入即可得解.【详解】由有：，解得或.故答案为：2或.【点睛】本题考查了向量平行的应用，属于基础题.14 (-,1)【解析】【分析】由x+2y（x+2y）（）（1），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得mx+2y的最小值【详解】两个正实数x，y满足2，则x+2y（x+2y）（）（1）（1+2）1

25、，当且仅当x2y2时，上式取得等号，x+2ym0，即为mx+2y，由题意可得m1故答案为：（，1）【点睛】本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题151【解析】【分析】根据等比数列前项和公式，由可得，通过化简可得，代入的值即可得结果.【详解】，显然，故答案为1【点睛】本题主要考查等比数列的前项和公式，本题解题的关键是看出数列的公比的值，属于基础题16【解析】【分析】根据对任意，均有，分析得到，再根据正弦型函数的最值公式求解出的最小值.【详解】因为对任意，均有，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的应用，难度一般

26、.正弦型函数的最值一定是在对称轴的位置取到，因此正弦型函数取最大值与最小值时对应的自变量的差的绝对值最小为，此时最大值与最小值对应的对称轴相邻.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1） （2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，若，则函数关于对称，根据二次函数对称性，可求，代入化简得在上恒成立，由，知当为最小值，根据恒成立思想，令最小值，即可求解；（2）根据题意，由，化简一元二次不等式为，讨论参数范围，写出解集即可.【详解】解：（1）若，所以函数对称轴，.，即在恒成立，即在上恒成立所以，又，故（2），所以；原不等式变为，因为，所以.所以当，即时，解为；当时，解集为；当，即

27、时，解为综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为必；当时，不等式的解隼为【点睛】本题考查（1）函数恒成立问题；（2）含参一元二次不等式的解法；考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中等题型.18（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，代入方程即可求解.（2）由函数奇偶性得，然后求得的解析式，分段求解反函数即可.【详解】（1）当时，由，得，即，解得.（2） 为上的奇函数，则. ,由，得，;由，得，. 函数的反函数为.【点睛】本题主要考查了函数的解析式及求法，考查了反函数的求法，属于中档题.19（）（）详见解析【解析】【试题分析】（1）借助递推关系式，运用等比数列的定义分析求

28、解；（2）依据题设条件运用列项相消求和法进行求解：（），由（），得（），两式相减得由，得,又，所以是以为首项，3为公比的等比数列，故（）， 20（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）求出圆心O到直线的距离，已知半径通过勾股定理即可算出弦长的一半，即可算出弦长。（2）设，直线的方程为，联立圆的方程通过韦达定理化简即可。（3）设点，根据，得，表示出，的关系，再联立直线和圆的方程得到，与k的关系，代入可解出k，最后再通过有两个交点判断即可求出k值。【详解】（1）由直线的斜率为3，可得直线的方程为所以圆心到直线的距离为所以（2）直线的方程为，代入圆可得方程设，则所以为定值，定值为0（

29、3）设点，由，可得：，即，化得：由（*）及直线的方程可得：，代入上式可得：，可化为：求得：又由（*）解得：所以不符合题意，所以不存在符合条件的直线.【点睛】此题考查圆锥曲线，一般采用设而不求通过韦达定理表示，将需要求解的量用斜率k表示，起到消元的作用，计算相对复杂，属于较难题目。21（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可计算出的值；（2）由转化为，然后利用平面向量数量积的运算律可求出实数的值.【详解】（1）在等式两边平方得，即，即，解得；（2），即，解得.【点睛】本题考查利用平面向量的模求数量积，同时也考查了利用平面向量数量积来处理平面向量垂直的问题，考查化归与转化数学思想，属于基础题.22（1）；（2）【解析】试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由当时，有，得：化简得：，是以2为首项，2为公比的等比数列，.（2）由（1）得：，