2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案.doc

1、2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案讲明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题此题总分值42分，每题7分此题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个不论是否写在括号内，一律得0分.1设，且，那么代数式的值为 5. 7. 9. 11.【答】.解 由题设条件可知，且，因此

2、是一元二次方程的两根，故，因此. 应选.2如图，设，为三角形的三条高，假设，那么线段的长为 . 4. . .【答】.解 因为，为三角形的三条高，易知四点共圆，因此，故，即，因此.在Rt中，. 应选.3从分不写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，那么所组成的数是3的倍数的概率是 . . . .【答】.解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，4

3、5，51，54，共8个.2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页共9页因此所组成的数是3的倍数的概率是. 应选.4在中，和分不是这两个角的外角平分线，且点分不在直线和直线上，那么 . . . 和的大小关系不确定.【答】.解 ，为的外角平分线，.又，.又， . 因此，.应选.5现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分不降价10或20，假设干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，那么的最小值为 . . . .【答】 .解 容易明白，4天之后就能够显现5种商品的价格互不相同的情形.设5种商品降价前的价格为，过了天. 天后每种商品的价格一定能够表示为，其

4、中为自然数，且.要使的值最小，五种商品的价格应该分不为：，其中为不超过的自然数.因此的最小值为. 应选.6 实数满足，那么的值为 . 2018. . 1.2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页共9页【答】.解 ，由以上两式可得. 因此，解得，因此. 应选.二、填空题此题总分值28分，每题7分1设，那么.解 ，.2如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，那么四边形的面积为解 设正方形的中心为，连，那么，, .又，2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页共9页，因此，故，从而.依照对称性可知，四边形的面积.3二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分不

5、为，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分不为，那么解 依照题意，是一元二次方程的两根，因此，. ，.方程的判不式，.，故，等号当且仅当时取得；，故，等号当且仅当时取得.因此，因此.4依次将正整数1，2，3，的平方数排成一串：149162536496481100121144，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2018个位置的数字是 1 .解 到，结果都只各占1个数位，共占个数位；到，结果都只各占2个数位，共占个数位；到，结果都只各占3个数位，共占个数位；到，结果都只各占4个数位，共占个数位；到，结果都只各占5个数位，共占个数位；现在还差个数位

6、.到，结果都只各占6个数位，共占个数位.2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页共9页因此，排在第2018个位置的数字恰好应该是的个位数字，即为1.第二试 A一此题总分值20分 ，关于满足条件的一切实数，不等式 1恒成立.当乘积取最小值时，求的值.解 整理不等式1并将代入，得 2在不等式2中，令，得；令，得. 易知，故二次函数的图象抛物线的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式2关于满足条件的一切实数恒成立，因此它的判不式，即. 由方程组 3消去，得，因此或.又因为，因此或， 因此方程组3的解为或因此的最小值为，现在的值有两组，分不为和. 2018年全国初中

7、数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页共9页二此题总分值25分 如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.1证明：点在圆的圆周上.2设的面积为，求圆的的半径的最小值. 解 1连，因为为圆心，因此，从而. 因为，因此，因此，因此点在圆的圆周上. 2设圆的半径为，的延长线交于点，易知.设，那么，. 因为,，因此，因此，即，故. 因此，即，其中等号当时成立，这时是圆的直径.因此圆的的半径的最小值为. 三此题总分值25分设为质数，为正整数，且 1 求，的值.解 1式即，设，那么 2故，又，因此 32018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页共9页由1式可知，能被509整除，

8、而509是质数，因此能被509整除，故为整数，即关于的一元二次方程3有整数根，因此它的判不式为完全平方数. 不妨设为自然数，那么.由于和的奇偶性相同，且，因此只可能有以下几种情形：两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，解得.两式相加，得，解得，而不是质数，故舍去.综合可知. 现在方程3的解为或舍去.把，代入2式，得. 第二试 B一此题总分值20分，关于满足条件的一切实数对，不等式 1恒成立.当乘积取最小值时，求的值.解 由可知.在1式中，令，得；令，得.2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第7页共

9、9页将代入1式，得，即 2易知，故二次函数的图象抛物线的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式2关于满足条件的一切实数恒成立，因此它的判不式，即. 由方程组 3消去，得，因此或，又因为，因此或. 因此方程组3的解为或因此满足条件的的值有两组，分不为和. 二此题总分值25分题目和解答与A卷第二题相同.三此题总分值25分题目和解答与A卷第三题相同. 第二试 C一此题总分值20分题目和解答与B卷第一题相同. 二此题总分值25分题目和解答与A卷第二题相同. 三此题总分值25分设为质数，为正整数，且满足 2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第8页共9页求的值.解 1式即，设，那么 3故，又，因此 4由1式可知，能被509整除，而509是质数，因此能被509整除，故为整数，即关于的一元二次方程4有整数根，因此它的判不式为完全平方数. 不妨设为自然数，那么.由于和的奇偶性相同，且，因此只可能有以下几种情形：两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，解得.两式相加，得，解得，而不是质数，故舍去.综合可知，现在方程4的解为或舍去. 把，代入3式，得，即.代入2式得，因此，因此.2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第9页共9页