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类型《数值计算方法》试题集及答案要点.doc

  • 上传人(卖家):2023DOC
  • 文档编号:5511216
  • 上传时间:2023-04-23
  • 格式:DOC
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    关 键  词:
    数值计算方法 数值 计算方法 试题 答案 要点
    资源描述:

    1、数值计算方法复习试题一、填空题:1、,则A的LU分解为 。答案:2、已知,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得 。答案:2.367,0.253、,则过这三点的二次插值多项式中的系数为 ,拉格朗日插值多项式为 。答案:-1, 4、近似值关于真值有( 2 )位有效数字;5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是( );答案6、对,差商( 1 ),( 0 );7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差;8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为( );9、求解一阶常微分方程初值问题= f (x,y),y(x0)=y0的改进的欧拉公式为( );1

    2、0、已知f(1)2,f(2)3,f(4)5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 );11、 两点式高斯型求积公式( ),代数精度为( 5 );12、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。13、 为了使计算 的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为 ,为了减少舍入误差,应将表达式改写为 。14、 用二分法求方程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5,1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5,0.75 。 15、 计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ,用辛卜生公式计算求得的近似值为

    3、0.4309 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。16、 求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为 ,该迭代格式的迭代矩阵的谱半径= 。17、 设,则 ,的二次牛顿插值多项式为 。18、 求积公式的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具有( )次代数精度。19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求( 12 )。20、 设f (1)=1, f(2)=2,f (3)=0,用三点式求( 2.5 )。21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分( 10 )次。22、已知是三次样条函数,则=( 3 ),=( 3 ),=( 1 )。2

    4、3、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则( 1 ),( ),当时( )。24、解初值问题的改进欧拉法是 2阶方法。25、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_2_阶的连续导数。26、改变函数 ()的形式,使计算结果较精确 。27、若用二分法求方程在区间1,2内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分 10 次。28、设是3次样条函数,则a= 3 , b= -3 , c= 1 。29、若用复化梯形公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计,至少用 477个求积节点。30、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式 ,迭代矩阵为 ,此迭代法是否收敛 收敛 。31、设,则 9 。32

    5、、设矩阵的,则 。33、若,则差商 3 。34、数值积分公式的代数精度为 2 。35、 线性方程组的最小二乘解为 。36、设矩阵分解为,则 。二、单项选择题:1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是( C )。 AA的各阶顺序主子式不为零 B C D 2、设,则为( C ) A 2 B 5 C 7 D 33、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。 A 2 B5 C 3 D 44、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中,A须满足的条件是( B )。A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。A. 只取有限位数 B模型准确值与用数值方

    6、法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580是的有( B )位有效数字的近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。A控制舍入误差 B 减小方法误差C防止计算时溢出 D 简化计算 9、用1+近似表示所产生的误差是( D )误差。 A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断 10、-3247500是舍入得到的近似值,它有( C )位有效数字。 A 5 B 6 C 7 D 811、设f (-1)=1,f (0)=3,f

    7、 (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。 A 05 B 05 C 2 D -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A 3 B 4 C 5 D 213、( D )的3位有效数字是0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.5410114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=j(x),则f(x)=0的根是( B )。(A) y=j(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=j(x)

    8、的交点15、用列主元消去法解线性方程组,第1次消元,选择主元为( A ) 。(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D)916、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(D) 17、等距二点求导公式f(x1) ( A )。18、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足( A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。19、为求方程x3x21=0在

    9、区间1.3,1.6内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A )。(A) (B)(C)(D)20、求解初值问题欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格库塔法的局部截断误差是( A )(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是( )。(1), (2) , (3) , (4) 22、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1), (2), (3), (4),23、有下列数表x00.

    10、511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是( )。(1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次24、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为( )。(1), (2), (3), (4)25、取计算,下列方法中哪种最好?()(A); (B); (C) ; (D) 。26、已知是三次样条函数,则的值为( )(A)6,6; (B)6,8; (C)8,6; (D)8,8。27、由下列数表进行Newton插值,所确定的插值多项式的最高次数是()1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A); (B); (

    11、C) ; (D) 。28、形如的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为()(A); (B); (C) ; (D) 。29、计算的Newton迭代格式为( )(A) ;(B);(C) ;(D) 。 30、用二分法求方程在区间内的实根,要求误差限为,则对分次数至少为( ) (A)10; (B)12; (C)8; (D)9。31、经典的四阶龙格库塔公式的局部截断误差为 ( )(A); (B); (C) ; (D) 。32、设是以为节点的Lagrange插值基函数,则( )(A); (B); (C); (D)。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,至少具有( )次代数精度(A)5; (B)4; (

    12、C)6; (D)3。34、已知是三次样条函数,则的值为( )(A)6,6; (B)6,8; (C)8,6; (D)8,8。35、已知方程在附近有根,下列迭代格式中在不收敛的是( )(A); (B); (C); (D)。36、由下列数据012341243-5确定的唯一插值多项式的次数为( )(A) 4; (B)2; (C)1; (D)3。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为( )(A)8; (B)9; (C)10; (D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打,否则打)1、 已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时,的次数n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx

    13、产生舍入误差。 ( )3、 表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( ) 5、矩阵A=具有严格对角占优。 ( )四、计算题:1、 用高斯-塞德尔方法解方程组 ,取,迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案:迭代格式 k000012.75003.8125 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、 求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度;利用此公式求(保留四位小数)。答案:是精确成立,即 得求积公

    14、式为当时,公式显然精确成立;当时,左=,右=。所以代数精度为3。 3、 已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式,并求的近似值(保留四位小数)。答案: 差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10 4、取步长,用预估-校正法解常微分方程初值问题 答案:解: 即 n01234500.20.40.60.81.011.825.879610.713719.422435.0279 5、已知-2-101242135求的二次拟合曲线,并求的近似值。答案:解:0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020

    15、01510034341正规方程组为 6、已知区间0.4,0.8的函数表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值,如何选择节点才能使误差最小?并求该近似值。答案:解: 应选三个节点,使误差 尽量小,即应使尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好,实际计算结果, 且 7、构造求解方程的根的迭代格式,讨论其收敛性,并将根求出来,。答案:解:令 .且,故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为 则当时,故迭代格式 收敛。取,计算结果列表如下:n01230.50.035 127 8720.09

    16、6 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且满足 .所以. 8利用矩阵的LU分解法解方程组 。答案:解: 令得,得. 9对方程组 (1) 试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由;(2) 取初值,利用(1)中建立的迭代公式求解,要求。解:调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得:. 10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据

    17、。解: 11、用列主元素消元法求解方程组 。解: 回代得 。 12、取节点,求函数在区间0,1上的二次插值多项式,并估计误差。解: 又 故截断误差 。13、用欧拉方法求在点处的近似值。解:等价于 ()记,取,.则由欧拉公式, 可得 ,14、给定方程1) 分析该方程存在几个根;2) 用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字;3) 说明所用的迭代格式是收敛的。解:1)将方程 (1)改写为 (2) 作函数,的图形(略)知(2)有唯一根。2) 将方程(2)改写为 构造迭代格式 计算结果列表如下:k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561

    18、.278441.278471.278463) ,当时,且所以迭代格式 对任意均收敛。15、用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次,保留五位小数。解:是的正根,牛顿迭代公式为, 即 取x0=1.7, 列表如下:1231.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2,f (1)=3,f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式及f (1,5)的近似值,取五位小数。解:17、n=3,用复合梯形公式求的近似值(取四位小数),并求误差估计。解:,时,至少有两位有效数字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 =,取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次,保留

    19、三位小数。解:Gauss-Seidel迭代格式为:系数矩阵严格对角占优,故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T,列表计算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526 19、用预估校正法求解(0x1),h=0。2,取两位小数。解:预估校正公式为 其中,h=0.2,代入上式得:123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.4220、(8分)用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:1925303819.032.349.073.3解: 解方程组 其中 解得: 所以 , 21、(15

    20、分)用的复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算时,试用余项估计其误差。用的复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分的近似值。解:22、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。解:(1),故收敛;(2),故收敛;(3),故发散。选择(1):, ,23、(8分)已知方程组,其中,(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。解:Jacobi迭代法:Gauss-S

    21、eidel迭代法:, 24、1、(15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格库塔法求的值。解:改进的欧拉法:所以;经典的四阶龙格库塔法:,所以。25、数值积分公式形如 试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。解:将分布代入公式得:构造Hermite插值多项式满足其中则有:, 26、用二步法 求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的解:所以 主项: 该方法是二阶的。27、(10分)已知数值积分公式为: ,试确定积分公式中的参数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。解:显然精

    22、确成立; 时,;时,;时,;时,;所以,其代数精确度为3。28、(8分)已知求的迭代公式为: 证明:对一切,且序列是单调递减的,从而迭代过程收敛。证明: 故对一切。又 所以,即序列是单调递减有下界,从而迭代过程收敛。29、(9分)数值求积公式是否为插值型求积公式?为什么?其代数精度是多少?解:是。因为在基点1、2处的插值多项式为 。其代数精度为1。30、(6分)写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。(6分),n=0,1,2, 对任意的初值,迭代公式都收敛。31、(12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算的近似值,并利用余项估计误差。用Newton插值方法:

    23、差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值,要求误差限为。 或利用余项: ,33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组: 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000

    24、0.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.687534、(8分)求方程组 的最小二乘解。, 若用Householder变换,则:最小二乘解: (-1.33333,2.00000)T.35、(8分)已知常微分方程的初值问题: 用改进的Euler方法计算的近似值,取步长。,36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度:取f(x)=1,x,令公式准确成立,得:, ,f(x)=x2时,公式左右=1/4; f(x)=x3时,公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代数精度=237、(15分)已知方程组,其中,(1)写出该方程组的

    25、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;(2)判断(1)中两种方法的收敛性,如果均收敛,说明哪一种方法收敛更快;解:(1)Jacobi迭代法的分量形式 Gauss-Seidel迭代法的分量形式 (2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为, ,Jacobi迭代法收敛 Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为, ,Gauss-Seidel迭代法发散 38、(10分)对于一阶微分方程初值问题,取步长,分别用Euler预报校正法和经典的四阶龙格库塔法求的近似值。解:Euler预报校正法 经典的四阶龙格库塔法 ()39、(10分)用二步法求解一阶常微分方程初值问题,问:如何选择参数的值

    26、,才使该方法的阶数尽可能地高?写出此时的局部截断误差主项,并说明该方法是几阶的。解:局部截断误差为 因此有 局部截断误差主项为,该方法是2阶的。 40、(10分)已知下列函数表:012313927(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式;(2)作均差表,写出相应的三次Newton插值多项式,并计算的近似值。解:(1) (2)均差表: 41、(10分)取步长,求解初值问题,分别用欧拉预报校正法和经典四阶龙格库塔法求的近似值。解:(1)欧拉预报-校正法: (2)经典四阶龙格-库塔法: 42、(10分)取5个等距节点 ,分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值(保留4位小数)。解:5

    27、个点对应的函数值xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111-(2分)(1)复化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5): (2) 复化梯形公式(n=2,h=2/2=1): 43、(10分)已知方程组,其中,(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解:(1)Jacobi迭代法: Jacobi迭代矩阵: 收敛性不能确定 (2)Gauss-Seidel迭代法: Gauss-Seidel迭代矩阵: 该迭代法收敛 44、(10分) 求参数,使得计算初值问题的二步数值方法的阶数尽量高,并给出局部截断误差的主项。解: 所以当,即时, 局部截断误差为局部截断误差的主项为,该方法为二阶方法。

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