《数值计算方法》试题集及答案要点.doc

1、数值计算方法复习试题一、填空题：1、，则A的LU分解为 。答案：2、已知，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得,用三点式求得 。答案：2.367，0.253、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。答案：-1， 4、近似值关于真值有( 2 )位有效数字；5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是( )；答案6、对,差商( 1 ),( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( )；9、求解一阶常微分方程初值问题= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为( )；1

2、0、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式( )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。13、 为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ，为了减少舍入误差，应将表达式改写为 。14、 用二分法求方程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为

3、0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。16、 求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为 ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径= 。17、 设,则 ，的二次牛顿插值多项式为 。18、 求积公式的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( )次代数精度。19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求( 12 )。20、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求( 2.5 )。21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。22、已知是三次样条函数，则=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）。2

4、3、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则( 1 )，( )，当时( )。24、解初值问题的改进欧拉法是 2阶方法。25、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_2_阶的连续导数。26、改变函数 ()的形式，使计算结果较精确 。27、若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。28、设是3次样条函数，则a= 3 , b= -3 , c= 1 。29、若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用 477个求积节点。30、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩阵为 ，此迭代法是否收敛 收敛 。31、设,则 9 。32

5、、设矩阵的，则 。33、若，则差商 3 。34、数值积分公式的代数精度为 2 。35、 线性方程组的最小二乘解为 。36、设矩阵分解为，则 。二、单项选择题：1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（ C ）。 AA的各阶顺序主子式不为零 B C D 2、设，则为( C ) A 2 B 5 C 7 D 33、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。 A 2 B5 C 3 D 44、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是( B )。A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。A. 只取有限位数 B模型准确值与用数值方

6、法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580是的有( B )位有效数字的近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。A控制舍入误差 B 减小方法误差C防止计算时溢出 D 简化计算 9、用1+近似表示所产生的误差是( D )误差。 A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断 10、-3247500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A 5 B 6 C 7 D 811、设f (-1)=1,f (0)=3,f

7、 (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。 A 05 B 05 C 2 D -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A 3 B 4 C 5 D 213、( D )的3位有效数字是0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.5410114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，则f(x)=0的根是( B )。(A) y=j(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=j(x)

8、的交点15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( A ) 。(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D)916、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D) 17、等距二点求导公式f(x1) ( A )。18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。19、为求方程x3x21=0在

9、区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。(A) (B)(C)(D)20、求解初值问题欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格库塔法的局部截断误差是( A )(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ ）。（1）, (2) , (3) , (4) 22、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），23、有下列数表x00.

10、511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次24、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（ ）。(1), (2), (3), (4)25、取计算，下列方法中哪种最好？（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。26、已知是三次样条函数，则的值为( )(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)； (B)； (

11、C) ； (D) 。28、形如的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。29、计算的Newton迭代格式为( )(A) ；(B)；(C) ；(D) 。 30、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为( ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。31、经典的四阶龙格库塔公式的局部截断误差为 ( )(A)； (B)； (C) ； (D) 。32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则( )(A)； （B）； （C）； （D）。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度(A)5； (B)4； (

12、C)6； (D)3。34、已知是三次样条函数，则的值为( )(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是( )(A)； (B)； (C)； (D)。36、由下列数据012341243-5确定的唯一插值多项式的次数为( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为( )(A)8； (B)9； (C)10； (D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、 已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx

13、产生舍入误差。 ( )3、 表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( ) 5、矩阵A=具有严格对角占优。 ( )四、计算题：1、 用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式 k000012.75003.8125 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、 求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。答案：是精确成立，即 得求积公

14、式为当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。 3、 已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。答案： 差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10 4、取步长，用预估-校正法解常微分方程初值问题 答案：解： 即 n01234500.20.40.60.81.011.825.879610.713719.422435.0279 5、已知-2-101242135求的二次拟合曲线，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020

15、01510034341正规方程组为 6、已知区间0.4，0.8的函数表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差 尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好，实际计算结果， 且 7、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。答案：解：令 .且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为 则当时，故迭代格式 收敛。取，计算结果列表如下：n01230.50.035 127 8720.09

16、6 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且满足 .所以. 8利用矩阵的LU分解法解方程组 。答案：解： 令得，得. 9对方程组 （1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：. 10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据

17、。解： 11、用列主元素消元法求解方程组 。解： 回代得 。 12、取节点,求函数在区间0,1上的二次插值多项式,并估计误差。解： 又 故截断误差 。13、用欧拉方法求在点处的近似值。解：等价于 ()记,取,.则由欧拉公式, 可得 ,14、给定方程1) 分析该方程存在几个根；2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3) 说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程 （1）改写为 （2） 作函数，的图形（略）知（2）有唯一根。2) 将方程（2）改写为 构造迭代格式 计算结果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561

18、.278441.278471.278463) ，当时，且所以迭代格式 对任意均收敛。15、用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。解：是的正根，牛顿迭代公式为， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f (1，5)的近似值，取五位小数。解：17、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解：，时，至少有两位有效数字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 =，取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留

19、三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526 19、用预估校正法求解(0x1)，h=0。2，取两位小数。解：预估校正公式为 其中，h=0.2，代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.4220、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.3解： 解方程组 其中 解得： 所以 ， 21、（15

20、分）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，试用余项估计其误差。用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1），故收敛；（2），故收敛；（3），故发散。选择（1）：， ，23、（8分）已知方程组，其中，（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi迭代法：Gauss-S

21、eidel迭代法：， 24、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格库塔法求的值。解：改进的欧拉法：所以；经典的四阶龙格库塔法：，所以。25、数值积分公式形如 试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。解：将分布代入公式得：构造Hermite插值多项式满足其中则有：， 26、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的解：所以 主项： 该方法是二阶的。27、（10分）已知数值积分公式为： ，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：显然精

22、确成立； 时，；时，；时，；时，；所以，其代数精确度为3。28、（8分）已知求的迭代公式为： 证明：对一切，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛。证明： 故对一切。又 所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为 。其代数精度为1。30、(6分)写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6分)，n=0,1,2, 对任意的初值,迭代公式都收敛。31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：

23、差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。 或利用余项： ，33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组： 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000

24、0.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.687534、(8分)求方程组 的最小二乘解。， 若用Householder变换，则：最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.35、(8分)已知常微分方程的初值问题： 用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。，36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：， ，f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代数精度=237、（15分）已知方程组，其中，（1）写出该方程组的

25、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式 Gauss-Seidel迭代法的分量形式 （2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为， ，Jacobi迭代法收敛 Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为， ，Gauss-Seidel迭代法发散 38、（10分）对于一阶微分方程初值问题，取步长，分别用Euler预报校正法和经典的四阶龙格库塔法求的近似值。解：Euler预报校正法 经典的四阶龙格库塔法 ()39、（10分）用二步法求解一阶常微分方程初值问题，问：如何选择参数的值

26、，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。解：局部截断误差为 因此有 局部截断误差主项为，该方法是2阶的。 40、(10分)已知下列函数表：012313927(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：（1） （2）均差表： 41、(10分)取步长，求解初值问题，分别用欧拉预报校正法和经典四阶龙格库塔法求的近似值。解：（1）欧拉预报-校正法： （2）经典四阶龙格-库塔法： 42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。解：5

27、个点对应的函数值xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111-（2分）(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）： (2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）： 43、(10分)已知方程组，其中，(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解：（1）Jacobi迭代法： Jacobi迭代矩阵： 收敛性不能确定 （2）Gauss-Seidel迭代法： Gauss-Seidel迭代矩阵： 该迭代法收敛 44、(10分) 求参数，使得计算初值问题的二步数值方法的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。解： 所以当，即时， 局部截断误差为局部截断误差的主项为，该方法为二阶方法。