2021年和2020年全部高校强基计划数学试题.docx

1、2021年和2020年全部高校强基计划数学试题（北大，清华，复旦，交大，中科大等）2021年北京大学强基计划数学试题本试卷共20题，部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考.1. 已知为的外心，、与的外接圆交于、若，则_2方程的正整数解的组数为_3若实数，满足，则的最小值为_4（微信公众号：乐思数学研究）已知，则的个位数字是_5 若平面上有100条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则连通区域数量最大值为_6已知实数数列满足：若，则，若，则现知，则可能的的个数为_7设若，则的最小值为_8已知、是三个不全相等的实数且满足、则_9如图，为中的平分线过作的垂线，过作交于点若与交于点，且

2、，则_10如果一个十位数的各位数字之和为81，则称是一个“小猿数”则小猿数的个数为_11 设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数记的前项和为的前项和为则的值为_12设正整数，且是完全平方数则可能的的个数为_13方程的整数解的组数为_14现有7把钥匙和7把锁用这些钥匙随机开锁，则，这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是_15设正整数，均不大于2021，且则这样的数组个数为_16（微信公众号：乐思数学研究）有三个给定的经过原点的平面过原点作第四个平面，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等则这样的的个数是_17若，为非负实数，且，则的最小值为_18已知数列满足，数列满足，若正整数

3、满足，则的最小值为_19若为非负整数，则方程的解有_组20已知，且，求的最小值2021年清华大学强基计划数学试题部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考.1甲乙丙丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为4、3、2、1分比赛结束甲获得14分第一名，乙获得13分第二名，则（ ）A第三名不超过9分B第三名可能获得其中一场比赛的第一名C最后一名不超过6分D第四名可能一项比赛拿到3分2定义，则（ ）3已知，则（ ）ABCD4恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD5已知为高斯函数，解的组数为（ ）A30B40C50D606已知，最大公约数为，最小公倍数为，数对的组数为

4、（ ）ABCD7设为常数，则（ ）AB恒成立CD满足条件的不止一个8已知四面体中，则体积的最大值为（ ）ABCD9在中，为的中点，则的最大值为（ ）ABCD10已知非负实数，满足，则的最大值为（ ）11已知十等分圆周，则在其中取四点构成凸四边形为梯形个数为（ ）A60B45C40D5012已知，设的最大值为，最小值为，则（ ）ABCD13已知集合，且中任意两项相加不是5的倍数，求的元素个数最大值14将函数的图象逆时针方向旋转，得到曲线若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为（ ）ABCD15（微信公众号：乐思数学研究）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的

5、区域的面积是（ ）ABCD16已知，过做拋物线两条切线，交轴于，两点，则外接圆方程为（ ）ABCD17椭圆，过作直线交椭圆于、，、交于、，下面正确的有（ ）A定值 B为定值C可能为2 D可能为218如图，四边形为圆外接四边形，为直径：若，则_19.，为互不相等的正实数，为其一个排列，则的概率是_20.（微信公众号：乐思数学研究）有个质点，每个质点的质量为，则质心位置；对于一杆，长，放于间，且线密度满足，则质心位于（ ）ABCD21.有限项等差数列公差为4，第二项起各项的和加首项的平方小于，则该数列最多可有_项2021复旦大学强基计划数学试题1（微信公众号：乐思数学研究）命题：“的内心与外心重合

6、”是命题：“是正三角形”的什么条件？2已知周期为1，则命题：“”是命题：“恒为1”的什么条件？3是的角平分线，求的长4求的常数项5已知，则_6已知，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，延长到点，满足的中点为，则下列两个结论是否正确：结论1：；结论2：为椭圆的切线7若，解不等式8方程的正整数解有多少组？9确定曲线的类型10求由曲线，围成的面积11（微信公众号：乐思数学研究）求极坐标的曲线轨迹12若数列满足，求13求展开式中的常数项2021上海交大强基计划数学试题1 已知中，求最大值2 求边长为1的正五边形的对角线长3实数，满足，求的值42个抛物线最多分平面为7份，3个最多分16份，求4个抛物线最

7、多分平面为几份?5（微信公众号：乐思数学研究）求方程的实根个数2021年中科大强基计划数学试题1已知正实数，二次函数，若任意长度为1的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于1，则的最小值为_2已知正实数满足，则的最小值为_3（微信公众号：乐思数学研究）已知正实数，满足，则的取值范围为_4抛物线上有，两点，则中点的轨迹方程为_5抛掷一个均匀的骰子次，记该过程中出现的最大数字为，则_6有边长为1的正，在边上，在边上，沿折起，求四棱锥体积的最大值7已知的整数部分，证明：8已知，求的范围9.，为实系数多项式，且两两互素，证明：或22021年中国科学技术大学强基计划数学试题（广东）一、填空题1求_2设

8、抛物线与相切，则_3写出一个函数_，使得对于任意的恒成立4（微信公众号：乐思数学研究）设空间区域中存在四个点两两距离都是，则的是大值为_5设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，若初始时球彺甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为_二、解答题6求函数的取值范围7设，是正整数，是素数，且整除，证明：整除8设数列满足，且对任意正整数，均有求的通项公式9.设是次实系数多项式，其中，证明：若的个根都是实数，则的个根也都是实数2021年南京大学强基计划数学试题及其解析1 求2已知，求的最值2020年北京大学强基计划数学试题共20道选择题，在每题的四个选项中，只有一个

9、选项符合题目要求，选对得5分，选错或不选得0分1.（微信公众号：乐思数学研究）已知均为正实数，且满足和，则的最小值等于（ ）A. B. C. D.前三个答案都不对2在的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数的个数为（ ）A16 B31 C32 D前三个答案都不对3已知整数列（）满足，且对任意有，则的个位数字是（ ）A8 B4 C2 D前三个答案都不对4.设，是方程的4个复根，则的值为（ ）A B C D前三个答案都不对5设等边的边长为1，过点作以为直径的圆的切线，交的延长线于点，则的面积为（ ）ABCD前三个答案都不对6设，均不为，其中为整数，已知，成等差数

10、列，则依然成等差数列的是（ ）A， B，C， D前三个答案都不对7（微信公众号：乐思数学研究）方程的整数解个数为（ ）A4 B8 C16 D前三个答案都不对8从圆上的点向椭圆：引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）ABCD前三个答案都不对9使得对所有正实数，都成立的实数的最小值为（ ）A8 B9 C10 D前三个答案都不对10（微信公众号：乐思数学研究）设P为单位立方体的面对角线上的一点，则的最小值为（ ）A B CD前三个答案都不对11设数列满足，且对任意有，其前项和为，则的最大值等于（ ）A28 B35 C47 D前三个答案都不对12设直线与椭圆交

11、于，两点，坐标原点，则面积的最大值为（ ）A8 B10 C12 D前三个答案都不对13正整数称为理想的，若存在正整数使得，构成等差数列，其中为组合数，则不超过2020的理想数个数为（ ）A40 B41 C42 D前三个答案都不对14在中，依次为边上的点，且设，则的值为（ ）A B C D前三个答案都不对15函数的最大值为（ ）ABCD前三个答案都不对16（微信公众号：乐思数学研究）方程的实根个数为（ ）A1 B2 C3 D前三个答案都不对17凸五边形的对角线分别与对角线和交于点和，已知，和分别为和的面积，则等于（ ）A8：15 B2：3 C11：23 D前三个答案都不对18设，均为不超过100

12、的正整数，则有有理根的多项式的个数为（ ）A99 B133 C150 D前三个答案都不对19满足对任意有且严格递增的数列的个数为（ ）A0 B1 C无穷个 D前三个答案都不对20设函数，其中，均为正实数，则有（ ）A既有最大值也有最小值B有最大值但无最小值C有最小值但无最大值 D前三个答案都不对2020 年清华大学强基计划数学试题共 35 道选择题，为不定项选择题1若，则的取值范围是（ ）ABCD2设，为正实数，若一元二次方程有实根，则（ ）ABCD3. 在非等边中，若和分别为的外心和内心，在线段上，且满足，则下列选项正确的是（ ）A，四点共圆BCD4已知集合，且，则有序集合组的个数是（ ）A

13、BCD5已知数列满足，则的值可能是（ ）A0B2C10D126（微信公众号：乐思数学研究）已知点在椭圆上，则的最大值是（ ）A4BCD67已知为双曲线上一点（非顶点），令，下列表达式为定值的是（ ）ABC D8甲、乙、丙三位同学讨论同一道数学竞赛题，甲说：“我做错了”乙说：“甲做对了”丙说：“我做错了”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们仅有一人做对且仅有一人说谎了”，则根据以上信息可以推断（ ）A甲做对了 B乙做对了 C丙做对了 D无法确定谁做对了9在中，则下列说法正确的是（ ）ABCD10求值：（ ）ABCD11从0到9这十个数中任取五个数组成一个五位数（可以等于0），则的概

14、率为（ ）ABCD12 随机变量，满足，且，则（ ）ABCD13已知向量，满足，则下列说法正确的是（ ）A的最大值为 B最大值为C的最小值为0D的最小值为214若存在，使得与均为完全平方数，则正整数可能取值为（ ）A2B4C5D615（ ）A0BCD116已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为，侧棱与底面夹角为，则（ ）A BC D17已知函数，则的最大值与最小值的和是（ ）A2BC3D4（微信公众号：乐思数学研究）18 已知函数的图像如图所示，的图像与直线，轴围成图形的面积为，则下列说法正确的是（ ）A B CD19我们称数列为“好数列”，若对任意存在，使得，其中，则下列说法正确的是（ ）

15、A若，则数列为“好数列”B若（为常数），则数列为“好数列”C若，均为“好数列”，则为等差数列D对任意等差数列，存在“好数列”，使20（微信公众号：乐思数学研究）（ ）ABCD21.在中，设为中点，现将沿折起，使得四面体的体积为，则折起后的长度可能为（ ）A1BCD222设复数，在复平面内对应的点分别为，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A1BC2D23使得成立的最小正整数等于（ ）A3B4C5D624已知实数，满足，则（ ）A有1组 B有4组C，均为有理数D，均为无理数25设实数满足，则的最大值为（ ）A110B120C220D24026（微信公众号：乐思数学研究）在平面直角坐标系中，横坐标与纵

16、坐标都是整数的点称为格点，且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形若一个格点多边形的内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（ ）A10B11C12D1327设复数满足，则的（ ）A最大值为B最大值为C最小值为D最小值为28设，为锐角，且，则的最大值为（ ）ABC1D29已知函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）ABCD30设，分别是轴，轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）ABCD31（微信公众号：乐思数学研究）已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（ ）A为单元素集B为有限集，但不是单元素集C为无限集，且有下界D为无限集，且无下界32已

17、知数列的前项和，且实数满足，则的取值范围是（ ）ABCD33（微信公众号：乐思数学研究）红楼梦，三国演义，水浒传和西游记四部书分列在四层架子的书柜的不同层上小赵，小钱，小孙，小李分别借阅了四部书中的一部现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是红楼梦，三国演义在第四层则（ ）A水浒传一定陈列在第二层B西游记一定陈列在第一层C小孙借阅的一定是第三层的书籍D小李借阅的一定是第四层的书籍34 设多项式的各项系数都是非负实数，且，则的常数项的最小值为（ ）ABCD35已知，则（ ）A存在实数解 B共有20个不同的复数解C复数解的模长均为1 D存在模长大于1的复数解2020年复

18、旦大学强基计划数学试题1设抛物线，过焦点作直线，交抛物线于，两点，满足过点作抛物线准线的垂线，垂足记为点，准线交轴于点，若，则 _2（微信公众号：乐思数学研究）已知实数，满足，求的最小值3 已知，若，则在，中能确定的参数是_4 若三次方程有一个根是纯虚数，则_5 在的展开式中，常数项为_6 _7 点绕点按顺时针方向旋转60度，所得的点的坐标为_8 方程所表示的曲线形状是_9 设，若则 _10 实数，满足，若的值与，无关，则的取值范围是_11 在中，若为的内心，且满足，则的最大值为_12已知直线：和：，则有（ ）A与可能重合B与不可能垂直C直线上存在一点，使得直线以为中心旋转后与重合D以上都不对

19、cta3213. 如图15-2所示，抛物线的焦点为，在抛物线上，点处的切线与夹角为30度，则点横坐标为_14已知为直线上一点，且到和的距离相同，则点坐标为_15 已知，且，连接原点和，两点，则的概率为_16 _17已知三棱锥的体积为10.5，且，则的长度为_18在中，则边上中线的长_19若，则的图象大致为_（微信公众号：乐思数学研究）20 定义令，已知，则_21方程的非负整数解的组数为_22已知，且，若满足，则_23若四边形是凸四边形，则是的_条件24设函数的反函数为，则在上的最大值和最小值的和为_25若，（微信公众号：乐思数学研究）直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是_26已知，四点共

20、圆，且，为，的交点，则的长度为_27给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数，又有偶函数的概率为_28下列不等式恒成立的是（ ）AB C D.29向量数列满足，且满足，令，则当取最大值时，的值为_30 某公司安排甲、乙、丙等7人完成7天的值班任务，每人负责天已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有_种31直线，交于点，为平面上任意一点，（微信公众号：乐思数学研究）若，分别为点到直线，的距离，则称为点的距离坐标已知非负常数，下列三个命题正确的个数是_（1）若，则距离坐标为的点有且仅有1个（2）若，且，则距离坐标为的点有

21、且仅有1个（3）若，则距离坐标为的点有且仅有4个32 Given two sets and , then the intersection set of A and B is （ ）A B C D.33Which number of that number 5 is the cubic root of? （ ）A3 B 5 C25 D.1252020年上海交通大学强基计划数学试题1 已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为_2 已知方程，则下列判断：（1） 方程没有正数解；（2） 方程有数多个解；（3） 方程有一个正数解；（4） 方程的实根小于1其中错误的判断有_3（微信公众号：乐思数学研究）

22、在小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有_个4已知边长为的正三角形，分别在边，上，满足，连接，则与的夹角为_5已知的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为_6 从2个红球，3个黑球，5个白球（同色球完全相同）中任意取6个，有_种不同的取法（微信公众号：乐思数学研究）7 已知曲线过点，则_8过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，横坐标之和为5，则直线的条数为_9用同样大小的正边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则的值为_10若三条直线：，：，：将平面划分成6个部分，则可能的取值情况是（ ）A只有唯一值 B有两个不同的值 C有三个不同的值 D无数个值11

23、已知非零实数，若，成等差数列，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD12（微信公众号：乐思数学研究）函数的定义域为，若对于任意的，都存在唯的，使得，则称在上的和为4，给出下列函数：（1），；（2），；（3），； （4）其中和为4的有_个13若集合中任意两个元素的和、差、积、商（除数不为0）的运算结果都在中，则称是封闭集合，下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）其中封闭集合的序号为_14方程的正整数解有_15若，且满足，则_16（微信公众号：乐思数学研究）若四面体的各个顶点到平面的距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为_17设是函数在区间上的最大值，则的最小值为_

24、18在正方体8个顶点任意2个顶点所在的直线中，异面直线共有_对19若空间三条直线，两两异面，则与三条直线都相交的直线有_条20用平面截一个单位正方体，若截面是六边形则此六边形周长的最小值为_21（微信公众号：乐思数学研究）已知矩形的边，过，作直线的垂线，垂足分别为，且，分别为的三等分点，沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则的长度为_22（微信公众号：乐思数学研究）平面上给定五个点，任意三个点不共线，过任意两个点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过五个点中任意一个点向另外四个点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的五点）个数至多有_个23若实数，满足，则_24甲、乙、丙三人的职

25、业分别是，乙的年龄比大，丙的年龄和不同，比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ）25函数，的最小值是_2020年中国科学技术大学创新班初试数学试题1 若，则的取值范围是_2 若，则其围成图形的面积_3 的离心率是_4 若，则_5 若，为正整数，为素数，则_6 若，则，的大小顺序是_7 若，且，为三角形的三边，则的取值范围是_8 已知为的排列，若且，则为顺序对，设为的顺序对的个数，则_9已知，求的取值范围10（微信公众号：乐思数学研究）已知，求所有，使得对，恒成立11已知，证明：当时，不等式成立，且当时，该不等式不成立2020年武汉大学强基计划数学试题不定项选择题：共15小题，每题答案完全正

26、确得满分；选对但不全得部分分；选错得0分.1. 设圆半径为3，其一条弦，为圆上任意一点，则的最大值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 42. 设实数满足，则的最小值为（ ）A. 0B. 2C. D. 3. （微信公众号：乐思数学研究）过椭圆的中心作两条互相垂直的弦和，顺次连接得一四边形，则该四边形的面积可能为（ ）A. 10B. 12C. 14D. 164. 设的内角的对边分别为.若，则（ ）A. B. C. 的面积最大值为 D. 的周长最大值为5. 设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（ ）A. B. C. D. ，成等差数列 6. （微信公众号：乐思数学研究）两个半径为实心球体，它

27、们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（ ）A. B. C. D. 7. 空间图形的体积为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，延长圆的一条弦至，过点作圆的切线，切点分别为，为上一点，满足，则下列结论正确的是（ ）A B. B D. 9. 设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）A. 32B. 56C. 72D. 8410. 已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（ ）A. B. C. D. 作者微信：lesimath.11. 设函数则（ ）A. 当有极小值时，B. 当有极大值时，C. 当连续时，的可能值有3个D.

28、 当有2极值点时，或作者微信：lesimath.12. 圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（ ）A. 10B. 20C. 40D. 6013. 设复数的实部和虚部都是整数，则（ ）A. 的实部都能被2 整除B. 的实部都能被3 整除C. 的实部都能被4 整除D. 实部都能被5 整除14. （微信公众号：乐思数学研究）设是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则（ ）A. 最小值为 B. 没有最小值C. 最大值为2 D. 没有最大值15. 作者微信：lesimath.设函数，则下列错误的是（ ）A. 方程有解B. 方程 在 内解的个数为偶数C. 的图像有对称轴D. 的图像有对称中心