2021年1月(八省联考)数学试题.docx
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- 2021 联考 数学试题
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1、2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(八省联考)数学试题学校:_姓名:_班级:_考号:_一、单选题1已知均为的子集,且,则( )ABCD2在3张卡片上分别写上3位同学的学号后,再把卡片随机分给这3位同学,每人1张,则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为( )ABCD3关于的方程,有下列四个命题:甲:是该方程的根;乙:是该方程的根;丙:该方程两根之和为;丁:该方程两根异号如果只有一个假命题,则该命题是( )A甲B乙C丙D丁4椭圆的焦点为、,上顶点为,若,则( )ABCD5已知单位向量满足,若向量,则( )ABCD6的展开式中的系数是( )A60B80C84D1207已知抛物线
2、上三点,直线是圆的两条切线,则直线的方程为( )ABCD8已知且且且,则( )ABCD二、多选题9已知函数,则( )A在单调递增B有两个零点C曲线在点处切线的斜率为D是偶函数10设为复数,下列命题中正确的是( )A若,则B若,则C若,则D若,则11下图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中( )ABCD12设函数,则( )AB的最大值为C在单调递增D在单调递减三、填空题13圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为_14写出一个最小正周期为2的奇函数_15对一个物理量做次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差,为
3、使误差在的概率不小于0.9545,至少要测量_次(若,则)四、双空题16若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_,_五、解答题17已知各项都为正数的数列满足(1)证明:数列为等比数列;(2)若,求的通项公式18在四边形中,(1)若,求;(2)若,求19一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立(1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率;(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为,求的分布列及数学期望20北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运
4、用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如:正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是,所以正四面体在各顶点的曲率为,故其总曲率为(1)求四棱锥的总曲率;(2)若多面体满足:顶点数-棱数+面数,证明:这类多面体的总曲率是常数21双曲线的左顶点为,右焦点为,动点在上当时,(1)求的离心率;(2)若在第一象限,证明:22已知函数(1)证明:当时,;(2)若,求参考答案1B【分析】由题意利用集合的包含关系
5、或者画出Venn图,结合Venn图即可确定集合的运算结果.【详解】解法一:,,据此可得.故选:B.解法二:如图所示,设矩形ABCD表示全集R,矩形区域ABHE表示集合M,则矩形区域CDEH表示集合,矩形区域CDFG表示集合N,满足,结合图形可得:.故选:B.2C【分析】由题意列出所有可能的结果,然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为,他们的学号分别为,用有序实数列表示三人拿到的卡片种类,如表示同学拿到号,同学拿到号,同学拿到号.三人可能拿到的卡片结果为:,共6种,其中满足题意的结果有,共3种,结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为:.故选:C.【点睛】方
6、法点睛:有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.3A【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论,分析各种情况下方程的两根,进而可得出结论.【详解】若甲是假命题,则乙丙丁是真命题,则关于的方程的一根为,由于两根之和为,则该方程的另一根为,两根异号,合乎题意;若乙是假命题,则甲丙丁是真命题,则是方程的一根,由于两根之和为,则另一根也为,两根同号,不合乎题意;若丙是假命题,则甲乙丁是真命题,则关于的方程的两根为和,两根同号,不合乎
7、题意;若丁是假命题,则甲乙丙是真命题,则关于的方程的两根为和,两根之和为,不合乎题意.综上所述,甲命题为假命题.故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查命题真假的判断,解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论,结合已知条件求出方程的两根,再结合各命题的真假进行判断.4C【分析】分析出为等边三角形,可得出,进而可得出关于的等式,即可解得的值.【详解】在椭圆中,如下图所示:因为椭圆的上顶点为点,焦点为、,所以,为等边三角形,则,即,因此,.故选:C.5B【分析】本题借助将代入化简即可.【详解】因为是单位向量,所以.因为,所以.所以所以.故选:B.6D【分析】的展开式中的系数是,借助组合
8、公式:,逐一计算即可.【详解】的展开式中的系数是因为且,所以,所以,以此类推,.故选:D.【点睛】本题关键点在于使用组合公式:,以达到简化运算的作用.7B【分析】先利用点求抛物线方程,利用相切关系求切线AB,AC,再分别联立直线和抛物线求出点,即求出直线方程.【详解】在抛物线上,故,即,抛物线方程为,设过点与圆相切的直线的方程为:,即,则圆心到切线的距离,解得,如图,直线,直线.联立 ,得,故,由得,故,联立 ,得,故,由得,故,故,又由在抛物线上可知,直线的斜率为 ,故直线的方程为,即.故选:B.【点睛】方法点睛:求圆的切线的方程的求法:(1)几何法:设直线的方程,利用圆心到直线的距离等于半
9、径构建关系求出参数,即得方程;(2)代数法:设直线的方程,联立直线与圆的方程,使判别式等于零解出参数,即可得方程.8D【分析】令,利用导数研究其单调性后可得的大小.【详解】因为,故,同理,令,则,当时,当时,故在为减函数,在为增函数,因为,故,即,而,故,同理,因为,故,所以.故选:D【点睛】思路点睛:导数背景下的大小比较问题,应根据代数式的特征合理构建函数,再利用导数讨论其单调性,此类问题,代数式变形很关键9AC【分析】根据函数的定义域可判断D,利用函数的导数的正负可判断A,利用导数的几何意义可判断C,根据函数值的情况及零点定义可判断B.【详解】由知函数的定义域为,当时,故在单调递增,A正确
10、;由,当时,当,所以只有0一个零点,B错误;令,故曲线在点处切线的斜率为,C正确;由函数的定义域为,不关于原点对称知,不是偶函数,D错误.故选:AC【点睛】关键点点睛:解决本题时,利用函数的导数判断函数的增减性,利用导数的几何意义求切线的斜率,属于中档题.10BC【分析】取特殊值法可判断AD错误,根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.【详解】由复数模的概念可知,不能得到,例如,A错误;由可得,因为,所以,即,B正确;因为,而,所以,所以,C正确;取,显然满足,但,D错误.故选:BC11BCD【分析】由平面展开图还原为正方体,根据正方体性质即可求解.【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图,
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