宜宾市普通高中2017级高三第三次诊断（理工类）数学试题.docx

1、 高三理科数学 第 1 页 共 9 页 宜宾市高宜宾市高 20172017 级高三第三次诊断测试级高三第三次诊断测试 理科数学理科数学 注意事项注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题 卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置 贴好条形码. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小

2、题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的一项是符合要求的. . 1.已知集合 2 40, 1,0,2,3,4Ax xB ，则BA A.2 , 0 , 1 B.3 , 2 , 0 , 1 C.3 , 2 , 0 D.4 , 3 , 2 , 0 , 1 2.) i2)(i1 (z,则z A.10 B.5 C.2 D.3 3.某商场推出消费抽现金活动，顾客消费满 1000 元可以参与一次抽奖，该活动设置了一等奖、 二等奖、三等奖以及参与奖，奖金分别为：一等奖 200 元、二等奖 100 元、三等奖 50

3、 元、 参与奖 20 元，具体获奖人数比例分配如图，则下列说法中错误 的是 A.获得参与奖的人数最多 B.各个奖项中一等奖的总金额最高 C.二等奖获奖人数是一等奖获奖人数的两倍 D.奖金平均数为46元 4.已知 n a是公差为 1 3 的等差数列， n S为 n a的前n项和.若 2517 ,a a a成等比数列，则 7 S A. 7 3 B. 9 2 C.9 D.7 5.设P是椭圆 22 1 259 yx 上一点，M,N分别是两圆： 2 2 41yx 和 2 2 41xy 上的点，则PMPN的最小值为 A.8 B. 14 C. 16 D.20 参与奖55% 三等奖30% 二等级10% 一等奖

4、5% 高三理科数学 第 2 页 共 9 页 6.已知函数( )f x是奇函数，当0x 时， ln(1)x f x x ，则 曲线 yf x在点 1,1f处切线的斜率为 A. 1 ln2 2 B. 1 ln2 2 C. 1 ln2 2 D. 1 ln2 2 7.在ABC中，点D为BC延长线上的一点，且 2 3 ABC ABD S S ，则 A. 41 33 ADABAC B. 31 22 ADABAC C. 13 22 ADABAC D. 14 33 ADABAC 8. 已知三棱锥BCDA-的三视图均为边长为 1 的正方形，如图所示，此三棱锥的所有顶点 都在一个球面上，则此球的表面积是 A. 3

5、 B. 2 3 C. 3 D. 4 9.在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地 理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学 科参加高考，则甲乙二人恰有一门学科相同的选法有 A.24 B.30 C.48 D.60 10.在区间01 ，内随机取两个数分别为, a b，则使得关于x的方程 22 2(1)(2 )=0xaxbb有实 数根的概率为 A.1 4 B. 4 C. 1 2 D. 1 8 11.已知抛物线C: 2 4yx的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于,A B两点， 若在以线段AB为直径的圆上存在两点,M N，

6、在直线l：2 30xym 上存在一点Q，使 得 90MQN，则实数m的取值范围 A. 3 23,3 23 B. 4 26,4 26 C. 134 ,134 D. 11,11 12.已知函数 2 e31 x f xxx ，则关于x的方程 2 5e0f xmf x （m R ）的实根 个数 A.3 B.3或4 C. 4或5 D. 3或5 高三理科数学 第 3 页 共 9 页 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.设 , x y满足约束条件 220 2 2 xy x y ，则2zxy的最小值是_. 14.已知

7、函数 axxxxf 2 cos2cossin32)( 0的最小正周期为，最大值为4， 则 ( )= 6 f _. 15.记 n S为数列 n a的前n项和.若 1 1a ， 2 2a ， 11 211 nnn nSnSnS (n2)， 则 n a的通项公式= n a_. 16.点D是Rt ABC斜边AB上异于, A B的一动点，1,2ACBC，连结CD，将BCD 沿着CD翻折到B DC，使B DC与ADC所在平面构成直二面角，则翻折后 AB 的最小值是_. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第

8、17172121 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 17.（本题满分 12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知 33coscos cos baAB cC . (1)求 a b 的值； (2)若D为线段AB的中点，2c ，2CD ，求b. 18.（本题满分 12 分）如图，在多面体ABCDEF中，正方形ABCD 与梯形ADEF所在平面互相垂直，已知/AF DE,ADAF, 1 1 2 AF

9、ADDE. (1)求证：EFCDF平面 ； (2)求平面CDF与平面BCE所成角的正弦值 19.（本题满分 12 分）设抛物线C： 2 2(0)xpy p的准线被圆O： 22 4xy所截得的弦 长为2 3 （1）求抛物线C的方程； （2）设点F是抛物线C的焦点，过F的直线l交C于,A B两点，已知ABO的面积为 2 3，求直线l的方程. E F C D B A 高三理科数学 第 4 页 共 9 页 20.（本题满分 12 分）某科研团队对1050例新冠肺炎确诊患者的临床特征进行了回顾性分 析。其中130名吸烟患者中，重症人数为30人，重症比例约为23.1%；920名非吸烟患 者中，重症人数为1

10、20人，重症比例为13.0%.根据以上数据绘制22列联表，如下： 吸烟人数 非吸烟人数 总计 重症人数 30 120 150 轻症人数 100 800 900 总计 130 920 1050 (1)根据列联表数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为新冠肺炎重症和吸 烟有关？ (2)已知每例重症患者平均治疗费用约为15万元,每例轻症患者平均治疗费用约为1.7万 元.现有吸烟确诊患者 20 人，记这20名患者的治疗费用总和为X,求EX. 附： 2 (P K )k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd 21

11、.（本题满分 12 分）已知函数 2 e2 x f xa x，0a ， fx 为 f x的导函数. （1）讨论 fx的单调性，设 fx的最小值为m，并求证： 2 em （2）若 f x有三个零点，求a的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中选一题作答题中选一题作答. .如果多做如果多做, ,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分. . 22.（本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线1 49 : 22 1 yx C，曲线 sin3 cos33 : 2 y x C（为参数），以坐 标

12、原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求 21,C C的极坐标方程； （2）射线l的极坐标方程为0，若l分别与 21,C C交于异于极点的BA,两点,求 OA OB 的最大值. 23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知, ,a b cR，且 222 1abc. （1）求2abc的最大值； 高三理科数学 第 5 页 共 9 页 （2）若21abc，证明： 2 1 3 c宜宾市普通普通高中 2017 级高三第三次诊断 理科数学 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B D A B C C D A B A

13、二、填空题 13.-614.315. 1,1 4 ,2 (1) n n a n n n 16.3 三、解答题 17. 解（1）由题得： sin3sin3coscos sincos BAAB CC ，化简整理得， sin()3sin()BCAC，sinA=3sinB,得3ab，即3 a b 6 分 （2）在ABC中， 222222 4912 cos 24 bcabbb A bcbb 在ACD中， 22 121 cos 22 bb A bb ，则 22 112 2 bb bb ，解得 15 5 b 12 分 18. （1）证明：ADCD， 又平面ABCD平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD，

14、CD 平面ABCD， CD 平面ADEF， EF 平面ADEF，CDEF， 取DE的中点M，连接MF，易得四边形ADMF为正方形， 1 1 2 MFDE ，则 2 DFE ， 即EFDF， 又CDDFD，则EF 平面CDF. 6 分 （2）AFDE且ADAF，DEAD，又CD 平面ADEF，易知,AD CD DE两两垂直， 高三理科数学 第 6 页 共 9 页 以D为原点以,DA DC DE射线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示， 易得(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,0,1)BCEF，由（1）得( 1,0,1)EF 为平面CDF的一个法向量， 令n

15、( , , )x y z为平面BCE的一个法向量，则nBC0，nBE 0，得 0 2 x xyz ，不妨令 1z ，则2y ，故n(0,2,1)，令所求二面角为， 10 cos 10 ，则 3 10 sin 10 . 12 分 19. （1）准线方程 2 p y ，圆的半径2r ，半弦长为3，则 2 22 23() 2 p ，2p ，所以 抛物线C的方程为 2 4xy . 4 分 （2）由题知，(0,1)F，当直线l垂直x轴时，不符合题意，则直线l一定不垂直x轴， 令直线l方程为1ykx，联立 2 1 4 ykx xy ，消y得 2 440xkx， 令 1122 (,), (,)A x yB

16、xy，则 12 4xxk， 1 2 4x x 8 分 则ABO的面积为 222 1212121 2 111 ()()4212 3 222 OF xxxxxxx xk，解得 2k ，故直线l方程为21yx 12 分 20. 解：（1）根据列联表中的数据，得到 2 1050(30 800120 100)2800 =9.3656.635 150 900 130 920299 k . 3 分 因此，在犯错的概率不超过0.01的前提下认为新冠肺炎重症和吸烟有关. . 4 分 （2）令Y表示 20 位吸烟确诊患者中的重症人数， 由题知(20,0.231)YB， 6 分 1.7(20)15XYY，即3413

17、.3XY， . 8 分 所以(3413.3 )3413.395.446EXEYEY 14 分 21.（1）( )2 (2) x fxea x 令( )( )2 (2) x g xfxea x 所以( )2 x g xea 高三理科数学 第 7 页 共 9 页 令( )0,ln2g xxa解得 所以：,ln2,( )0, ( )xag xg x 单调递减； ln2 ,( )0, ( )xag xg x 单调递增； 所以( )g x的最小值(ln2 )62 ln2mgaaaa . 2 分 令( )62 ln2h aaaa ( )42ln2h aa， 令 2 ( )0, 2 e h aa解得 所以

18、2 0,( )0, ( ) 2 e xh ah a 单调递增； 2 +,( )0, ( ) 2 e xh ah a ，单调递减， 所及 2 2 ( )() 2 e h ahe，命题得证。 . 4 分 （2）由（1）若( )fx的最小值(ln2 )62 ln20mgaaaa 即 3 0 2 e a时，( )0fx，此时( )f x在 R 上单调递增， ( )f x在 R 上单调递增，不可能有三个零点 . 6 分 所以 3 2 e a ，此时0m 又由(1)因为,ln2,( )xafx 单调递减； ln2 ,( )xafx 单调递增,其中ln23a 且 2 (2)0fe，(ln2 )0fam，所以

19、存在(2,ln2 )a，使得( )0f 存在ln2 , a，使得( )0f 所以( )f x在区间,上单调递增， 在区间, 上单调递减， 在区间,+上单调递增。 . 8 分 其中在,中2，有 2 (0)140, (2)0fafe ，存在 1 0,2 ,x 使得 1 0f x 高三理科数学 第 8 页 共 9 页 在区间 +， ，上要有两个零点，必须2( )20fea 其中,( )220fea 使得成立，即=22ea 代入式， 得22 (2)20,4aa解得 . 10 分 由得2 2 e a ，令( ) 2 e ， 2 (3) ( )0 2 e 所以( ) 2 e 在4单调递增， 4 2(4)

20、22 ee a 所以 4 4 e a 12 分 注：本题也可考虑分离参数结合洛必达法则求解。 22. 解：（1）因为cos ,sinxy 1 49 : 22 1 yx C可化为1 4 sin 9 cos : 2222 1 C， 整理得36sin54 22 ）（， sin3 cos33 : 2 y x C化为普通方程为06 22 xyx ， 极坐标方程cos6 1 C的极坐标方程是36sin54 22 ）（, 2 C的极坐标方程是cos6. 5 分 （2）由（1）知 由 36sin54 22 ）（ 得 2 2 sin54 36 OA ， 由 cos6 得 2 2 cos36OB ， 2 2 OB

21、 OA 20 81 ) 10 9 (cos5cos9cos5)sin54(cos 222422 ， 当 2 9 cos 10 时 2 2 OA OB 最大值为 20 81 ， OA OB 最大值为 10 59 . . 10 分 高三理科数学 第 9 页 共 9 页 23. 解 2 (2)abc 222 4424abcabacbc 2222222 (4)(4)()abcabac 22222 (4)6()6cbacb， 当且仅当22abc时，即 66 , 63 acb等号成立， 所以 2abc 的最大值为 6. 5 分 (用柯西不等式参照给分) （2）因 222 1abc,21abc,所以 222 1abc ,21abc , 2222 ()(1 2 )(2 )abab,当且仅当2ab时,等号成立. 有 22 5(1)(1)cc,即 2 320cc, 故 2 1 3 c. . 10 分