2019新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式知识点和题型总结.docx

1、第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式和不等式性质课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能 运用不等式的性质比较大小2能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实 际问题.教学重点：1.不等式的性质2用不等式的性质证明不等式.教学难点：用作差法比较代数式的大小.核心概念掌握【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果 a=b,那么 a+c=b+c.(2妆口果 a=b,那么 ac = be 或学=#(CH0).(3妆口果 a=b, b=c,那么 a=c.知识点二作差比较法(1)理论依据： 因 d_/2OOab： a-b = 0a = b; g-b0a 如凹-b0:(2)

2、 =bO-b 図=0：(3) 固 vZ?Ua bb,那么ba；如果b/?,即 国台Z?V.(2妆口果ab,且bc,那么歴輕，即 ab, bc=叵I c.(3) 如果ab,那么d+o画R+c.(4) 如果 ab, c0,那么 acbc ；如果 ab, cO,那么 UC b, OcL 那么 +c 画 /?+.(6) 如果 abO, cdO,那么 ac 回如果 bO, c(lbO,那么 0 凹R(nN, 2).(8)如果 回/x0,那么,c,yfb(nN,2).【新知拓展】1. 关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如/?, cd不能推出“一c/? d.2. 常用的结论(1 )a

3、b,(2) bvO*;(3) abO, o0=p.r,Ia a+m a amb b+m b bm(4) 右Qb0,加0,则沪书p丹百卩一心0)； 片；茗二需(方_心0).3. 比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为 “积”，后者将“差”化为一个完全平方式或儿个完全平方式的“和”，也可二 者并用.4. 利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具 有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避 免改变代数式的取值范围.题型一作差法比较大小例1比较

4、下列各组中两数的大小:(1) 已知S 为正数，且ab,比较/+，与局+“2；已知XV1,比较X3-I与2x2-2x:(3) 已知X, y均为正数，设加=出，“=古，比较加与的大小.解(1 )(3 b3)(a2b ab2)=a3+b3-a1b-ab2=a2a-b)-b2(ab)= (a-b)(a2-b2)= ab)2(a+b).VtO, b0 且 ab, (a-b)2Q9 a+bO9/. (ay /?3) (a2b ab2)O,即 cr+ba2b+ab2.(2) x3- 1 (2x2-2x)=x3-2x22x- 1= (-x2)-(x2-2x 1)=x2(:- I)-(X-1)2= (X-I)(

5、X2-+1) = (X- 1 (-)2+ Txvl, - l0,(XT)-(x+fl0,x3 10, y0, xy0, xy0, (X-y)20.n-20,即总舁(当x=y时，等号成立)金版点睛作差比较法的四个步骤结论(根据差的符号，判断两数(式)的大小题型二不等式的性质及应用例2下列命题正确的是b 且 cd=acbchabO 且 c0=解析戸 n知 当XO, b0时，满足已知条件，但推不出ab, IoO (错误.当a = 3, b=, C= 2, Cl=3时，命题显然不成立 错误-ah09o=p*0=一成立：正确显然c20t 两边同乘以$得ab.正确.答案金版点睛解决这类问题，主要是根据不等

6、式的性质判定，其实质是看是否满足性质所 需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结 论，也可举出一个反例予以否定题型三利用不等式的性质证明不等式例 3(1)已知ef9 c0,求证：f-acO.求证：一T W 证明(I)T?, cO, .*.achc./. -ac-hc.fe,:f acd0.乂 abO, C. cicbd0.(3) ： beadMO, :QdWbc, 乂 T bclO,金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1) 实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质 成立的条件.(2) 技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需

7、要证明的不等式的 结构.然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.题型四利用不等式的性质求取值范围例4 (1)已知2vW5,3WbVl0,求ab,彳的取值范围；(2)已知一cc,求笞迫，生亍的取值范圉.解(I)V310,一 10v-bW-3.乂 2t5 ： 82.T 彳WaV厂W号,-共鈴两式相加得一两式相加得一又 *0,三篡0, 变式探究将本例(1)中，条件不变，求a+b, “b的取值范围.解由 2t5,310 得2 + 3 V/+b5 10,2 3ab5 10,即 5ab 15,6ab50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不能直接用G的范围去减或除b的范围，

8、应严格利用不等式的性质去 求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的 范围”间的联系.如已知20x+yV30,15V-y-)(y),所以需分别求出(x+y), (-y)的 范围，两范围相加可得2r+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数 式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直 接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求.2.2基本不等式课程标准：1掌握基本不等式的内容2能熟练地运用基本不等式来比较两个 实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4 熟练掌握基本不等 式及变形的应用5.会用基本不等式解决简单的最

9、大(小)值问题.教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程2运用基本不等式来比较 两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小 值问题.教学难点：基本不等式条件的创设.核心概念掌握【知识导学】知识点一基本不等式如果。0,方0,则回価冬，当且仅当a = b时，等号成立.我们把这个不等式称为基本不等式.知识点二算术平均数与几何平均数及相关结论在基本不等式中，回号叫做正数G b的算术平均数，国畅叫做正数,方的儿何平均数.基本不等式表明：固两个正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数.知识点三基本不等式与最大(小)值当兀，y均为正数时，下面的命题均成立:(1) 若X-y=

10、S(S为定值)，则当且仅当回三(简记：和定积有最大值)若Xy=P(P为定值)，则当且仅当昼I三丄时，A-+y取得最匣小值国 2护.(简记：积定和有最小值)知识点四基本不等式的实际应用基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：(1) 先理解题意，设出变量，设变量时一般把里要求最大值或最小值的变量 定为因变量.(2) 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为里函数的最大值或最小值问题.(3) 在定义域内，求出固函数的最大值或最小值.(4) 根据实际意义写出正确的答案.【新知拓展】1. 由基本不等式变形得到的常见结论Cr+b2-2-(，R):(2) 匸尹“均为正实数)；夕+詩2(, b同

11、号)；(4) (“+b)G+)M4(d, b 同号)；(5) 0,所以彳+箸2因为 X, yR, -y0, b0,所以$0, p,符合基本不等式成立的条件，故的推导过程正确； 因为R, “H0不符合基本不等式成立的条件, 所以氐=4是错误的； 由xy0）的两个关注点（1）不等式成立的条件：4, /2都是正实数.（2）“当且仅当”的含义：当a=b时，乎亦的等号成立，即 a=b=a+b=yab;仅当c = b时,字M価的等号成立, + b I即=jaba=b 题型二利用基本不等式比较大小例2已知“1,则弓，也，启T三个数的大小顺序是（）a+A 2&2a+l厂 +1-,即ahf故上式不能取等号，应选

12、C.答案C4题型探究对一切正数2,不等式zo时，由基本不等式，得扌+2&2、y士2=4边，且当n=2时，等号成立，故八的取值范围为 V4l金版点睛利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地 拆项、配凑或变形.在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用 的条件，其次要明确基本不等式具有将和式”转化为积式”或者将“积式” 转化为“和式”的放缩功能题型三 利用基本不等式求函数的最值 例3 (1)求函数y=F+x(x3)的最小值;(2) 已知Ovvg,求y=(l 3x)的最大值;-J- 3 Y 4(3) 已知A-l,求的最小值.解(1) Ty=3

13、)+3,又 a3, x-30, y2 -y(-3)+3 = 5.当且仅当3,即x=4时，y有最小值5.(2) *.* 0x0 ,y=x(l-3x)=3x(l-3x)1 3x+(l-3x) O O2=k当且仅当3x=-3xf9时1-6-X 即取等号,.当X=*时，函数取得最大值.(3) .- 1, x+1 0,x2+3x+4y= -(x1)2+(x1)2x+1=x142x+T22+l,2当且仅当x+1=U时,BP x=2-1时，函数y的最小值为22+l.金版点睛利用基本不等式求函数的最值(1) 利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知 和欲求的式子运用适当的拆项、添项、配凑

14、、变形”等方法创设应用基本不等 式的条件.(2) 等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法.题型四 利用基本不等式证明不等式例4已知G b9。是不全相等的三个正数,求证:b+ca I a+cb I a-bc +b+C-3.b+ca a+cb+a+bchc)3：q, b, C都是正数,证明同理汁铮2, f2,(需)+(疋)+G+!6.s b. Q不全相等，上述三式不能同时取等号,b+caa+cb I a+bc -b+-C-3.金版点睛利用基本不等式证明不等式(1) 利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选 择基本不等式及其变形不等式来证，如a2 + b22ab(a, bR

15、),可变形为 (IbW ； -ab(aOt b0)可变形为I2等.同时要从整体上把 握基本不等式，j 4422, (TbIb2c22(ab)(bc),都是对 rt2b22Z?, “，bR的灵活应用.(2) 在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条 件题型五利用基本不等式求代数式的最值19例5 已知x0, vO且-=b求x+y的最小值；X y(2) 已知正实数, y满足2x+y+6=xy,求Xy的最小值；(3) 已知实数a, y满足2y2x)= 1,求x+y的最大值.19解(I)Go, o, -+-=1, y+y=G+氷+y)=f+竽+oM6+o=i6,当且仅当静,又埒

16、=1， 即x=4, y=2时，上式取等号.故1 x=4, y= 12 时，(x+y)min= 16.(2) T 2xy6=xy.2x+6X(ZV6) 2( + 3x) 2x2- 1 +3CV-I)+4-l5 =18.Z+2 9 X 1 , XV =7-X 1X- 1 2(xl32(x-w当且仅当x=3时，等号成立(3) 因为 l=+y2+Ay = +y)2一QN(I+y)2-(字)2,所以(A-+y)2即 x+)W当且仅当 x=yO 且 x2+y2+xy= 1,即X=)=習时，等号成立，x+y的最大值为羊.结论探究若本例(1)中的条件不变，如何求Q的最小值. 19+9尤2/7_6畅_ 6兀十)

17、厂 X Xy _ 巧 -y,又因为7=L 所以-1 yxy6, -36, A xy当且仅当y=9x,即x=2, y=18时，等号成立.所以 Cy)min=36.金版点睛利用基本不等式求代数式的最值(1) 利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使和” 或积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值.(2) 若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通 常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.题型六利用基本不等式解决实际问题例6某投资公司计划投资A, B两种金融产品，根据市场调查与预测，1 QA产品的利润N与投资金额X的函数关系为N

18、= I8一十=，B产品的利润力与投X资金额X的函数关系为W = M注：利润与投资金额单位：万元)(1)该公司已有IOO万元资金，并全部投入儿B两种产品中，其中兀万元资 金投入A产品，试把久B两种产品利润总和表示为X的函数，并写出X的取值 范围;(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大 利润？其最大利润为多少万元？解(1)其中X万元资金投入A产品，则剩余的(IOO-X)万元资金投入B产 口口口 9利润总和 y= 18咼+12F=38-? 一咼(Xe 0,100).x+10180(2)Vy=40-x 0,100,由基本不等式，得y40-236=28当且仅当x+10

19、1805 =V+10,即 X=20时，等号成立答：分别用20万元和80万元资金投资久B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元 金版点睛利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点(1) 解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域；(2) 般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件， 即“等号”成立的条件；(3) 在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到 等号，此时要利用其他方法求解.2.3二次函数与一元二次方程、不等式课程标准：1 理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念2理解一 元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的

20、关系3.熟练掌握一元二次不等式 的两种解法4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式 解决实际问题.教学重点：1一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系2 一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题.教学难点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系2 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.I核心概念掌瘪【知识导学】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有回_一个未知数,并且未知数的圆最高次数是2的 不等式，称为一元二次不等式，即形如x2Zj-+cO(O)或ax2 + bx + c0 = 00)的图象yPXiX2Xaa -b

21、jc+ c = 0(0)的根有两个不相等 的实数根叼， 工2( VH2)有两个相等 的实数根Q b没有实数根2 bx+ c0(QO)的解集Ex ,勺O OElRb2aaj：2+bjc+ c VO(QO)的解集H Xi VXO2 固0圆0知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1) 选取合适的回字母表示题中的回未知数:(2) 山题中给出的不等关系，列出画关于未知数的不等式(组)；(3) 回求解所列出的不等式(组)；(4) 结合题U的回实际意义确定答案.【新知拓展】1. 解一元二次不等式的方法与步骤(1)解一元二次不等式的常用方法 图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到

22、 解一元二次不等式的一般步骤：(i )化不等式为标准形式：ax+bx+cO(O)或 Cix2+bx+CVO(O)；(ii) 求方程W+b+c=(o)的根，并画出对应函数)=2+bx+c的图象 简图；(iii) 由图象得出不等式的解集. 代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解.当加Vn时,若(X7M)(X)0,则可得xn或xm；若(-n)(-n)0,则可得 mx0, X0,心0. 关于不等式对应的方程根的讨论：两根(J0), 一根(J=O),无根(JX2, Xl = V2, KV2.2. 利用不等式解决实际问题需注意以下四点(1) 阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且

23、不少应用题文字叙 述篇幅较长.阅读理解材料要达到的Ll的是将实际问题抽象成数学模型，这就要 求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样 的模型能够解决问题的思路，明确解题方向.(2) 建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语 言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以 便确立下一步的努力方向.(3) 讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题Ll要求，讨论与结论 有关的不等关系，得到有关理论参数的值.(4) 作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题Ll要求作出问题 的结论.题型一不含参数的一元二

24、次不等式的解法例1求下列不等式的解集：(1)2x2+7x+30: (2)-x28-30：CO81(3)x2-4x-50; (4)-4+18-y0;(5) +3-50: (6)2x2+3- 20:(2) ax1 (d + 1 )x+ 1 0.I解I (1)=2-16,下面分悄况讨论： 当J4或X4时，原不等式的解集为XlXV#(“一 16)或(_(/+ ya26);当=4时，原不等式的解集为xlxR,且A-l).(2)若=0,原不等式为一x+lv,解得xl；若i0,解得XV+或a1 ；若0,原不等式可化为(X-)(x1) 1时，山(*)式可得Ay 1 ； 当0al时，由(*)式可得ll);当Ov

25、/vl时，解集为lv时，解集为 龙昇1 . 金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1) 讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2) 判断方程根的个数：讨论判别式/与O的关系.(3) 写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论 两根的大小关系，从而确定解集形式.题型三“三个二次”之间的转化关系例3若不等式ax1+bx+c0的解集为xl 3 a4 ),求不等式bx2+2a- C 3h0的解集为x-3x4),所以XO且一3和4是方程 ax+bx+c=O的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得I b 一

26、3+4=, U-34 = L,a即1所以不等式bx2+2a-c3b09c=-2a.即为一or2+ 2x+ 15x0,即 x1-2- 150故所求的不等式的解集为a-3vO(39.5.移项整理，得x2+9x-71100.显然J0, x29x-7110=0有两个实数根，即 x-88.94, X279.94.然后，根据二次函数=v2+9a-7110的图象，得不等式的解集为xlx79.94.在这个实际问题中，x0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 knh.金版点睛一元二次不等式的应用题常以二次函数为模型，解题时要审清题意，准确找 出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量

27、具有的 “实际含义”.题型五利用一元二次不等式解决利润问题例5某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价 为12万元/辆，年销售量为IOoO辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档 次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为(0-1),则出厂价 相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润=(出厂 价一投入成本)X年销售量.(1) 写出本年度预计的年利润),与投入成本增加的比例兀的关系式；(2) 为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例X应在什么范围内？解 依题意，得 y= 1.2( 1 0.75x)-(1 +x) 1O

28、OO(1 + 0.6x) =I(XX)(-0.062+0.02x+0.2).所求关系式为 y= 1000( -0.06 0.02+0.2)(0x(1.2-l) 1000.化简，得3x2-XVO.解得OVX00）形式，并将各因式X的系数化“ + ”；（为了统一方便） 求根，并在数轴上表示出来： 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； 若不等式（X的系数化“ + ”后）是“0”，则找“线”在X轴上方的区间：若不等式是“0（Vo）（Go ）的解可以根据各区间的符号 确定.2. 分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为 0（或 S O O f（）gW 0；丄凹n O O g（x）g（x）3. 含绝对值不等式的解法（1）公式: ax+bc（cO）型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.(O)（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.