(完整版)直线与圆知识点及经典例题(含答案).doc
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1、圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、 圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(一)圆的标准方程 这个方程叫做圆的标准方程。说 明:1、若圆心在坐标原点上,这时,则圆的方程就是。2、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径;圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要三个量确定了且0,圆的方程就给定了。就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件确定,可以根据条件,利用待定系数法来解决。(二)圆的一般方程将圆的标准方程,展开可得。可见,任何一个圆的方程都可以写成 :问题:形如的方程的曲线是不是圆?将方程左边配方得: (1)当0时,方程(1)与标准方程比较,
2、方程表示以为圆心,以为半径的圆。,(3)当0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义:当0时,方程称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点:(1)和的系数相同,不等于零;(2)没有xy这样的二次项。(三)直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类(1)相离-求距离; (2)相切-求切线; (3)相交-求焦点弦长。2、直线与圆的位置关系判断方法:几何方法主要步骤:(1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径(2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离(3)作判断: 当dr时,直线与圆相离;当dr时,直线与圆相切;当dr时,直线与圆相交。代数方法主要步骤:(1)把直
3、线方程与圆的方程联立成方程组(2)利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程(3)求出其的值,比较与0的大小:(4)当0时,直线与圆相交。【典型例题】类型一:圆的方程例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系变式1:求过两点、且被直线平分的圆的标准方程.变式2:求过两点、且圆上所有的点均关于直线对称的圆的标准方程.分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点与圆的位置关系,只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内解法一:(待定系数法)设圆的标准方程为圆心在上,故圆的方程
4、为又该圆过、两点 解之得:,所以所求圆的方程为解法二:(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过、两点,所以圆心必在线段的垂直平分线上,又因为,故的斜率为1,又的中点为,故的垂直平分线的方程为:即又知圆心在直线上,故圆心坐标为半径故所求圆的方程为又点到圆心的距离为点在圆外例2:求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的圆心和半径。解:设圆的方程为:x2 y2 Dx Ey F 0,将三个点的坐标代入方程 F 0, D -8, E 6 圆方程为:x2 y2 -8x 6y 0配方:( x -4 )2 ( y 3 )2 25 圆心:( 4, -3 ), 半径r 5例3 求经过点
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