(完整版)椭圆知识点总结.doc
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1、椭圆知识点知识要点小结:知识点一:椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意:若,则动点的轨迹为线段;若,则动点的轨迹无图形.知识点二:椭圆的标准方程1当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中2当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;注意:1只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时, 才能得到椭圆的标准方程;2在椭圆的两种标准方程中,都有和;3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,知识点三:椭圆的简单几何性质椭圆:的简单几何性质(1
2、)对称性:对于椭圆标准方程:说明:把换成、或把换成、或把、同时换成、原方程都不变,所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。(3)顶点:椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 , 线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)离心率:椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作。因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近,从而越小,因此椭圆越扁;反之,越接
3、近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。注意:椭圆的图像中线段的几何特征(如下图):(1);(2);(3);知识点四:椭圆 与 的区别和联系标准方程 图形性质焦点,焦距 范围,对称性关于轴、轴和原点对称顶点,轴长长轴长=,短轴长= 离心率准线方程焦半径,注意:椭圆,的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有和,;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。规律方法: 1如何确定椭圆的标准方程? 任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭
4、圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2椭圆标准方程中的三个量的几何意义椭圆标准方程中,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,且。可借助右图理解记忆: 显然:恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看,的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。4方程是表示椭圆的条件方程可化为,即,所以
5、只有A、B、C同号,且AB时,方程表示椭圆。当时,椭圆的焦点在轴上;当时,椭圆的焦点在轴上。5求椭圆标准方程的常用方法: 待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点,则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为,此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据: 若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称; 若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称; 若把曲线方程中的
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