(完整版)数学分析知识点总结(定积分).doc

1、第一篇 分析基础1.1收敛序列（收敛序列的定义）定义：设是实数序列，是实数，如果对任意都存在自然数，使得只要，就有那么收敛，且以为极限，称为序列收敛收敛于，记为或者定理1：如果序列有极限，那么它的极限是唯一的。定理2（夹逼原理）：设，和都是实数序列，满足条件如果，那么也是收敛序列，且有定理3：设是实数序列，是实数，则以下三陈述等价（1） 序列以为极限；（2） 是无穷小序列；（3） 存在无穷小序列使得（收敛序列性质）定理4：收敛序列是有界的。定理5：（1） 设，则。（2） 设，则。（3） 设，则。（4） 设，则。（5） 设，则。（收敛序列与不等式）定理6：如果，那么存在，使得时有定理7：如果和都

2、是收敛序列，且满足那么1.2 收敛原理（单调序列定义）定义：（）若实数序列满足则称是递增的或者单调上升的，记为（）若实数序列满足则称是递减的或者单调下降的，记为（）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。定理：递增序列收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为。定理1推论：递减序列收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为。扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为及（自然对数的底）自然对数的底通过下面这个式子求得我们先来证明序列是收敛的。（1）序列是单调上升的。对比和的展开式，前

3、面项的每一项都比中相应项要大，即除此之外还比在最后多一个正项。因此我们得出是单调上升的，即（2）序列是有上界的。序列是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用表示。通过计算机模拟，我们可以得到的近似值，前几位是2.718281828459045 在数学中，以为底的对数称为自然对数，称为自然对数的底，正实数的自然对数通常记为，或者。（闭区间套原理）定理2（闭区间套原理）：如果实数序列和（或闭区间序列）满足条件（1）（或者）（2）那么（i）闭区间序列形成一个闭区间套。（ii）实数序列和收敛于相同的极限值。（iii）是满足以下条件的唯一实数值。证明：（ii）由条件（1）可得我们可以看到单调上升而

4、有上界，单调下降而有下界，因此和都是收敛序列。由条件（2）可得，因此实数序列和收敛于相同的极限值。（iii）因为所以显然有假如还有一个实数满足由于那么根据夹逼准则，有则证明了是唯一的。（Bolzano-Weierstrass定理）定义：设是实数序列，而是一串严格递增的自然数，则也形成一个实数序列。我们把序列叫做序列的子序列（或部分序列），要注意的是子序列的序号是 。定理3：设序列收敛于，则它的任何子序列也都收敛于同一极限。证明：对于任意，存在，使得只要，就有当时就有，因而此时有定理4（Bolzano-Weierstrass）：设是有界序列，则它具有收敛的子序列。（柯西收敛原理）柯西序列定义：如

5、果序列满足条件：对于任意，存在，使得当时，就有则此序列为柯西序列，又称基本序列。引理：柯西序列是有界的。证明：对于任意，存在，使得当时，就有于是对于，我们有若记则有定理5（收敛原理）：序列收敛的必要充分条件是：对任意，存在，使得当时，就有换句话说：序列收敛1.3 无穷大定义：（1）设是实数序列，如果对任意正实数，存在自然数，使得当时就有那我们就说实数序列发散于，记为（2）设是实数序列，如果对任意正实数，存在自然数，使得当时就有那我们就说实数序列发散于，记为（3）设是实数序列，如果序列发散于，即，那么我们就称为无穷大序列，记为注记：（1）若集合无上界，则记（2）若集合无下界，则记定理1：单调序列

6、必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是：（1）递增序列有极限，且（2）递减序列有极限，且定理2：设和是实数序列，满足条件则有：（1）如果，那么；（2）如果，那么。定理3：如果（或，或），那么对于的任意子序列也有（或，或）定理4：设，则是无穷大序列是无穷小序列扩充的实数系：定理5：实数序列至多只能有一个极限。扩充的实数系中的运算：（1）如果，那么（2）如果，那么如果，那么（3）如果，那么（4），（5）除此之外，其余都没有定义。1.4 函数的极限点的领域：点的去心领域：的去心领域：的去心领域：统一叙述：对于，我们用表示的某个去心邻域，当为有穷实数时，的形式为，当时，的形式为。函数极限的序列式定义

7、：设（和都可以是有穷实数或者），并设函数在的某个去心邻域上有定义。如果对于任何满足条件的序列，相应的函数值序列都以为极限，那么我们说当时，函数的极限为，记为简单例子如：；，因为；，因为；，因为。定理1：函数极限是唯一的。定理2（夹逼原理）：设，和在的某个去心邻域上有定义，并且满足不等式如果那么定理3：关于函数的极限，有以下的运算法则：定理4（复合函数求极限）：设函数在点的某个去心邻域上有定义，。又设函数在点的某个去心邻域上有定义，把中的点映射到之中（用记号表示就是：）并且，则有多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下：（1）设是任意多项式，则（2）设是任意多项式，是非零多项式，不都是0，则（

8、3）设，则因为1.5单侧极限定义（序列方式）：设，并设函数在有定义。如果对任意满足条件的序列，相应的函数值序列都以为极限，那么我们就说：时函数的极限为，记为定义（方式）：设，并设函数在有定义。如果对任意，存在，使得只要就有那么我们就说：时函数的极限为，记为定义（方式，特殊的）：设，并设函数在有定义。如果对任意，存在，使得只要就有那么我们就说：时函数的极限为，记为可用类似的方式来定义的极限。定理1：设，并设函数在点的去心邻域上有定义。则极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等：当这条件满足时，我们有单调函数定义：设函数在集合上有定义。（1） 如果对任意，都有那么我们就说函数在集合上是递增

9、的或者单调上升的。（2） 如果对任意，都有那么我们就说函数在集合上是递减的或者单调下降的。（3） 单调上升函数与单调下降函数统称为单调函数。1.6 连续与间断定义I：设函数在点的邻域上有定义。如果对任何满足条件的序列，都有那么我们就说函数在点连续，或者说点事函数的连续点。定义II：设函数在点的邻域上有定义。如果对任意，存在，使得只要，就有那么我们就说函数在点连续，或者说点事函数的连续点。定理1：设函数在点连续，则存在，使得函数在上有界。（证明过程参考函数极限）定理2：设函数和在点连续，则（1） 在点连续；（2） 在点连续；（3） 在使得的处连续；（4） 在点连续。定理3：设函数在点连续，则函数

10、也在点连续.证明：，余下易证。定理4：设函数和在点连续。如果，那么存在，使得对于有定理5（复合函数的连续性）：设函数在点连续，函数在点连续，那么复合函数在点连续.定义单侧连续：设函数在上有定义，如果那么我们就说函数在点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等（这个相等值为极限值，不一定是该点的函数值），可以写成但是如果在点左连续和右连续，则说明在点两个单侧极限存在并且相等，且这个相等的值一定是该点的函数值），可以写成在点左连续和右连续是在点连续的充分必要条件。简单的说就是：定理6：设函数在上有定义，则在点连续的充分必要条件是反过来说，如

11、果在上有定义，但在点不连续，则称为间断点。有情形I和情形II，这两种情形下点分别成为第一类间断点和第二类间断点。情形I（第一类间断点）：两个单侧极限都存在，但或者情形II（第二类间断点）：至少一个单侧极限不存在。注意：单侧极限存在并不代表单侧连续，如果在点单侧极限存在，并且此极限值等于在点的函数值，那么就说在点单侧连续。简单的例子，例如函数，0为第一类间断点。如果改成，则0是连续点。例如函数左右侧不连续，故0是第二类间断点。狄里克莱（Dirichlet）函数任何都是函数的第二类间断点。黎曼（Riemann）函数所有五里店都是黎曼函数的连续点；所有有利点都是第一类间断点。1.7 闭区间上连续函数

12、的重要性质函数在闭区间上连续的定义：如果函数在闭区间上有定义，在每一点连续，在点右侧连续，在点左侧连续，那么我们就说函数在闭区间上连续。引理：设，则。定理1：设函数在闭区间上连续。如果与异号，那么必定存在一点，使得定理2（介值定理）：设函数在闭区间上连续。如果闭区间的两端点的函数值与不相等，那么在这两点之间函数能够取得介于与之间的任意值。这就是说，如果，那么存在，使得定理3：设函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界。定理4（最大值与最小值定理）：设函数在闭区间上连续，分别是函数在闭区间上的最大值与最小值，记则存在，使得一致连续定义：设是的一个子集，函数在上有定义，如果对任意，存在，使得只要就有那

13、么j我们就说函数在上是一致连续的。定理5（一致连续性定理）：如果函数在闭区间连续，那么它在上是一致连续的。1.8 单调函数和反函数引理：集合是一个区间的充分必要条件为：对于任意两个实数，介于和之间的任何实数也一定属于。定理1：如果函数在区间上连续，那么也是一个区间。定理2：如果函数在区间上单调。则函数在区间上连续的充分必要条件为：也是一个区间。反函数定义：设函数在区间上连续，则也是一个区间。如果函数在区间上严格单调，那么是从到的一一对应。这时，对任意，恰好只有一个能使得。我们定义一个函数如下：对任意的，函数值规定为由关系所决定的唯一的。这样定义的函数称为是函数的反函数，记为我们看到，函数及其反

14、函数满足如下关系：定理3：设函数在区间上严格单调并且连续，则它的反函数在区间上严格单调并且连续。1.9 指数函数，对数函数和初等函数连续性小结定理1：设，则有（1）（2）定理2：初等函数在其有定义的范围内是连续的。1.10 无穷小量（无穷大量）的比较，几个重要的极限无穷小量定义：设函数在点的某个去心邻域上有定义，如果那么我们就说是时的无穷小量。无穷大量定义：设函数在点的某个去心邻域上有定义，如果那么我们就说是时的无穷大量。定义3：设函数和在点的某个去心邻域上有定义，并设在上。我们分别用记号，与表示比值在点邻近的几种状况：（1）表示是时的有界变量，即有界。（2）表示是时的无穷小量，即。我们可以说

15、是比更高阶的无穷小（或者更低阶的无穷大）。（3）表示注意：，与都是相对于一定的极限过程而言的，使用时一定要附加上记号例如：特别的：记号表示在点的某个去心邻域上有界；而记号表示。定理1：设函数和在点的某个去心邻域上有定义，。则有常见的极限：（1）（2）下面几个等价定理3：对于极限过程，我们有（1）（2）（3）（4）（5）上面的内容很有用，因为我们在求乘积或商的极限的时候，可以将任何一个因式用它的等价因式来替换。定理4：如果时，那么就有（1）（2）（2）证明（1）：一些简单的例子：（1）（2）（3）（4）第二篇 微积分的基本概念及应用2.1 导数导数的定义：设函数在点邻近有定义，如果存在有穷极限那

16、么我们就说函数在点可导，并且把上述极限值称之为函数在点的导数，记为，这是拉格朗日（Lagrange）记号。我们还习惯用表示自变量的增量，可正可负，用符号表示函数的相应增量，则导数的定义可以写成用莱布尼兹（Leibnitz）记号表示为（或）后一记号提示我们导数是差商（或）的极限，人们把导数也叫微商。通常人们习惯用增量方式来写导数，这样比较方便，如下面的常见函数的导数：（1）常值函数，。我们有（2）设，函数，。我们有（2）设，函数，。因而有（4）幂函数，。（5）函数，。（6）函数，（7）函数，已知，（8）函数，已知，（9）函数，已知, （10）函数，已知, 定理1：设函数和在点可导, , 则和在点

17、可导, 并且（单侧导数）单侧导数定义：设函数在有定义，如果存在左侧极限那么我们就说函数在左侧可导，并且称为左导数，记为同理可以得到右导数为定理2：设函数在点邻近有定义，则在点可导的充分必要条件是它在这点的两个单侧导数都存在并且相等，当这个条件满足时就有在一个点处可导的条件就是在则个点处从左边趋近和从右边趋近，斜率都是一样的。简单的例子：（1）函数在处不可导，因为，而，所以在该点导数不存在。其实也可以这样理解，从左边趋近0的时候斜率是-1，从右边趋近0的时候斜率是1，可导的（可微性，微分）定义：设函数在点邻近有定义，如果其中与无关，那么我们就说函数在点可微。定理3：函数在点可导的充分必要条件是它

18、在这点可微。注记：由于这个定理的缘故，人人们把“可导”和“可微”这两个术语当做同义词来使用。求导数的方法又称之为“微分法”。定理4：设函数在点可微（可导），那么它在这点连续。当我们用式子定义一个量的时候，采用记号“：=”是很方便的，例如表示用式子来定义。记号“：=”读作“定义为”。定义记号：设函数在点可微（可导），我们引入记号（定义为）并把叫做函数在点的微分。微分的意义：（1）从集合角度来看微分正好是切线函数的增量。（2）从代数的角度来看，微分是增量的线性主部，与仅仅相差一个高阶无穷小量因而当充分小的时候，可以用作为的近似值，实际应用中经常这样做。（3）之前我们引入作为导数的记号。有了微分的概

19、念，我们可以把记号解释为与之商：2.2求导法则，高阶导数定理1：设函数和在点可导，则以下各式在处成立（1）（2）（3）证明：（1）记，则有（2）记，则有（3）记，则有经常用到的式子如定理1等效的：设函数和在点可微，则有（1）（2）（3）简单的例子如（1），则（2）（3），则（4）双曲正弦函数（5）双曲余弦函数，有，（复合函数的求导和微分表示的不变性）定理2：设函数在点可导，函数在点可导，则复合函数也在点可导，并且证明：设辅助函数明显函数在点连续。又由于对于，直接有对于，有所以命题得证。复合函数求导法则的另一表示法：将复合函数对求导得：（，因为是用整个函数对求导，是用整个函数对求导）或者两边乘以

20、就得到不论是自变量，或者是另一变量的函数，函数的微分表示式都具有相同的形式这一结论叫做“微分表示的不变性”。链式法则求导： 定理2中的复合函数求导法则又称链式法则，对于函数与的符合，链式法则可以形式地写成或者书写的格式通常是简单的例子：（1）（2）（3）（4）（4），当时，。当时，。因此对于和着两种情况，我们都得到（5），两种方法方法1：方法2：，讨论，如果，则原式。如果，则原式。（6）（7）（8）（9）（反函数的求导法则）从一个简单的例子入手，在坐标系中，函数的图像与其反函数的图像应该是同一条曲线，设在处可导，在作此图像的切线，该切线与轴夹角为，与轴夹角为，则，于是有即定理3：设函数在包含点

21、的开区间上严格单调且连续。如果这函数在点可导并且导数，那么反函数在点可导，并且证明：在所给的条件下，函数也严格单调并且连续，于是当时，应有，因而上式可以形式地写成简单的例子：（1）和互为反函数，也可以由反函数求导法则得到，（2），常见函数的导数：，是常数，是自然数，是自然数，是实数， ， ，（参数式函数的求导）例如函数，可以用参数表示为，一般来说，设有参数表达式，其中函数在区间上严格单调并且连续，函数在区间上连续（因为函数为自变量，必须单调连续，函数为结果），我们可以把表示成的连续函数，于是表示成的连续函数，如果函数和都在区间上的点处可导，并且，那么复合函数在在处可导，并且有因此对于参数表示的

22、函数，求导法则为简单例子（1）曲线方程为，在，处的切线斜率为切线方程为（2）极坐标方程给出的曲线极坐标参数方程为于是设切线方向与轴夹角为，那么于是有因此极坐标上某一点的切线与极径的家教的正切应为（隐函数的求导）当变量对变量的函数关系通过一个方程来给出的时候，例如对于每一个，有唯一的与之对应，于是方程确定了从集合到集合的一个函数，对一般情形，设，按照方程 对每一个恰好有唯一的与之对应，那么我们就说：由条件，确定了一个隐函数，当然，有时候隐函数可以显示的表示出来，也有时候无法显示的表示。要注意的是：要由方程确定一个隐函数，仅仅指出的变化范围时不够的，还需要指出的变化范围，以确定是一一对应的才能说是

23、一个隐函数。 隐函数可以简化求导过程，而且表达的也更简洁一些。下面有一些例子（1）求以下条件确定的隐函数的倒数，对恒等式两边求导得到那么求得（2）求函数，的导数。对函数两边取对数得到按隐函数求导得得到（高阶导数）设函数在开区间上每一点可导，则一下对应关系定义了一个函数称为函数的导函数，记为。对于导函数，我们又可以讨论它的可到性和导数。导函数在点的导数称为函数在在点的二阶导数，记为，可以用同样的方式定义阶导数，记为，一些函数的高阶导数具有规律，下面是几个例子（1）（2）（3）（4）定理4（Leibnitz公式）：设函数和在点阶可导，则这两个函数的乘积也在点阶可导，并且在这点有其中，下面证明一下：

24、归纳法证明：，明显成立假设对于成立，考虑的情况（参数函数的二阶导数）已知，有那么二阶导数为实际上又可以用参数函数求导方式求导。2.3 无穷小增量公式和有限增量公式（无穷小增量公式）如果函数在点可导，那么就有这个式子也可以写成上面这些公式称为无穷小增量公式，他们反映了当时函数的变化情况。定义：设是一个区间，如果存在，使得，那么我们就说是区间的一个内点。区间出去断点以外的所有点都是内点，它的全体内点的集合是一个开区间，记为。定义：设函数在区间上有定义，。如果存在的一个邻域，使得对任何都有（）那么我们就说函数在点取得极大值（极小值），这时如果对任何都有（）那么我们就说函数在点取得严格的极大值（严格的

25、极小值）。点称为极值点。注意：极值是一个局部的概念，函数在点取得极大值（极小值），仅仅意味着：与邻近个点的函数值相比，这点的函数值是较大的（较小的）。函数在区间上的最大值（最小值）则是一个整体的概念。引理：设，。如果那么可以断定：对于充分小的，与同号。定理1（费马Fermat定理）（极值的必要条件）：设函数在区间上有定义，在这区间内的点取得极值。如果在点可导，那么必有证明：由条件有，为极值点。则有当时有当时有根据函数在可导，则有所以只能是。定义：我们把使得的点叫做函数的临界点。注意：函数在极值点出可以没有导数。例如。定理2：设函数在连续，在可导，如果方程在中只有有限个根，那么函数在区间上的最大

26、值和最小值分别为和（有限增量公式）定理3（Rolle罗尔定理）：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且满足则存在，使得证明：当，则是常值函数，对于，成立。当，那么至少有其中一个极值在点取得，根据费马定理，在这点就有。定理4（Lagrange拉格朗日定理、中值定理、均值定理）：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则至少存在一点，使得或写作证明：构造辅助函数容易知道根据罗尔定理，存在，使得即设是区间上一点，（）是区间上另一点，在拉格朗日公式在区间上成为其中，设，则有，上式成为有限增量公式，这个公式中不必限定为“无穷小量”，它可以使满足的任意有限量。定理5：设函数在区间上连续，在可导，则用文字

27、表达为：如果函数在某个区间上导数恒为0，那么在区间是一个常数。推论：函数在区间上连续，在可导，如果存在，那么存在常数，使得，定理6：设函数在区间上连续，在可导，则如果，那么在区间上递增；如果，那么在区间上递减；2.4泰勒展式阶泰勒展式为取，有常见的展式：2.5原函数与不定积分2.5.1原函数与不定积分概念定义：设函数在区间上有定义，如果函数在区间上连续，在可导，并且满足条件：或者那么我们就说是函数的一个原函数，或者说是微分形式的一个原函数。定理1：设函数在区间上有定义，如果是函数的一个原函数，那么对任意的，函数也是函数的一个原函数，并且的任何原函数都可以写成这种形式。定义：设函数在区间上有定义

28、，如果是函数的一个原函数，则函数簇，表示的一切原函数，我们把这函数簇叫做函数的不定积分，或者叫微分形式的不定积分，记为在这里，称为被积函数，称为被积表示式，而是表示不定积分的符号。根据定义有：和定理2：如果和分别是函数和的原函数，是一个实数，那么是函数的原函数，是函数的原函数。我们有以下运算法则：常见积分表：简单的例题：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2.5.2 换元积分法引理：如果那么把换成可微函数仍有这就是说，从可以得到在不定积分的表示式中可以做换元替换。第一换元法写成如下形式常见例子一般有公式：一般有公式：一般有公式：一般有公式：求情形1：有两个不等的实根和则情形2：有重实根则

29、情形3：有共轭复根则由于，则第二换元法 这种方法中，需要作适当的换元，这里函数在区间上严格单调并且连续，在这区间的内部可导，并且满足条件，那么有在作替换，那么得到简单例子：（1）令，那么由于，代入有（2）令，那么由于，那么，则（3），令，那么（3），令，则分情况讨论：，令，则，有，代入有那么因此，统一有，2.5.3. 分部积分法分部积分公式：根据公式得到由此得到简单的例子（1）（2）（3）（4）（5）上式中，（6）（7）（8），联立上两式方程即可解得。（9）因此有，我们已知有，由上面的递推公式我们可求得任意2.5.4有理函数的积分 少数初等函数的原函数不再是初等函数，例如，一个不定积分不能用初

30、等函数来表示，并不意味着这个不定积分不存在，相反的，任何连续函数都具有原函数，也就是说任何连续函数的不定积分总是存在的，只是这不定积分不一定能表示成初等函数。但是有一些类型的函数，他们的不定积分总能够表示成初等函数，对这种情形，我们就说这类函数能积分为有限形式。定理1：在实数范围内，一个多项式额不可约因式只可能是一次的或者二次的。有理式真分式，设的不可约因式分解如下：则真分式可唯一的表示成以下简单分式之和：简单例子：（1）分式分解由定理1可知2.6 定积分2.6.1定积分的定义与初等性质定积分概念的精确化，是黎曼（Riemann）的贡献。所以人们称定积分为“黎曼积分”。闭区间的分割：插入在和质

31、检的有限个分点这些分点把分割成个闭子区间其中第个子闭区间的长度为我们把叫做分割的模。在分割的每一个闭子区间上任意选取一点我们把这样个点叫做相应于分割的一组标志点，并约定用单独的一个字母来表示它们。设函数在闭区间上有定义，对于的任意一个分割和相应于这分割的任意一组标志点，可以作和数我们把这个和数称为函数在闭区间上的积分和（或者黎曼和）。如果闭区间的分割的序列满足条件那么我们就说是一个无穷细分割序列。定义I：设函数在闭区间上有定义，如果有存在实数使得对于任意无穷细分割序列，不论相应于每个分割的标志点组怎么选择，都有我们就说函数在闭区间上可积，并把称为函数在闭区间上的定积分，记为这里称为积分号，称为

32、被积分表示式，和称为积分限。常见例子（1）常值函数在任何区间上可积，并且事实上，对于的任意分割和相应于这分割的任意标志点组，都有定理1（积分的线性性质）：设函数和在上可积，则函数和函数也都在上可积，并且定理2（积分的可加性）：设，如果函数在和上都可积，那么它在上也可积，并且定理3（积分的单调性）：设 ，函数和在上可积并且满足，则有证明：构造辅助函数。定理4（积分的中值定理）：设，函数和在上可积，如果，那么特别的，如果在连续，那么存在，使得（用求面积来理解）即有性质1：，则；性质2：，则；（定积分定义的应用）（可以反过来用）2.6.2牛顿-莱布尼兹公式积分上限函数：设在连续，并且设为上的一点，现

33、在我们来考察在部分区间上的定积分这里既表示积分上限，又表示积分变量，因为定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以吧积分变量改用其他符号，这里可以用表示对于每一个取定制的，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，记作：，定理1：如果函数在上连续，则积分上限的函数在上可导，并且他的导数即使函数本身，即证明：若，设获得增量，使得，则在处的函数值为因此函数的增量在应用积分终止定理，即有等式，则得到当时，因此有因此有定理2：如果函数在上连续，则函数就是在上的一个原函数。定理3（牛顿-莱布尼兹公式）：如果是连续函数在上的一个原函数，则有证明：根据定理2，我们知道的积分上限函数是的一个原函数

34、由于也是函数的一个原函数，于是这两个原函数之间相差为一个常数，即，在上式中令，由于，因此有那么有令，则也就是说命题得证。简单例子：（1）（2）（3）（这里必须是）（4）（5）求极限这里相当于，相当于对求积分。（5） 求极限（6）求极限（6） 设函数在内连续且，证明函数在内为单调增加函数。证明：，那么由于且由于那么命题得证。（8）求容易知道这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算，分子式可写成它是以为积分上限，作为的函数可看成是以为中间变量的复合函数，2.6.3定积分的换元法和分部积分法（定积分的换元法）定理1：设函数在区间上连续，函数满足条件（1）,;（2）在具有连续导数，且值域为，则有几

35、点注意：（1）用把原来变量代换成新变量时，积分限也要变换成相应于新变量的积分限。（2）直接用新变量求最终的值就可以了。简单的例子：（1），由于，那么，（2）计算令，。当，；当，。定理2：（奇偶函数积分）（1）若在上连续且为偶函数，则（2）若在上连续且为奇函数，则证明：，作那么故有（1）如果在上连续且为偶函数，则，则（2）若在上连续且为奇函数，则，则（2）分部积分法依据不定积分的分部积分法可得这就是定积分的分部积分法简单例子：（1）先用换元法，令，；，；，；，原式变为2.6.4定积分的几何应用（微元法）微元法：（1）根据具体的情况，选取一个变量例如作为积分变量，并确定它的变化区间；（2）设想把区

36、间分成个小区间，选取其中任一小区间并记作，求出相应于这个小区间的部分量，将近似地表示成函数在处与的乘积，并记作（3）对上式作定积分，得所求量为（平面图形的面积）（1）椭圆的面积椭圆在四个象限的面积是一样的，设第一象限的面积为，则那么有令，则椭圆的面积为（2）求抛物线与直线所围图形的面积。微元的面积为值范围是，那么面积是（极坐标表示的曲线围成的面积）曲线和射线，围成一面积。则积分变量是，变化区间是。对于任意一小区间，扫过的窄曲边扇形面积可以用半径为，夹角为的圆扇形表示，即那么面积为：简单例子（1）计算简单心形线所围成图形的面积。积分变量的区间为，则微元为则所求面积为（体积）1旋转体的体积上述旋转

37、体可以看作是由连续曲线，直线和及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，取为积分变量，变化区间为，将此区间分割成很多分，没分区间对应于旋转体的一小片薄片，此薄片的体积近似于以为底半径，高为的圆柱体，则体积微元为所得旋转体的体积为上述方法可以推广至一般情况，如下图立体在处被垂直于轴的屏幕所截得的截面积为，将区间分割成很多分，在处取其中长度为的一段区间，得到一份体积微元则在区间上该立体体积为简单例子：求下图中立体体积取处的横截面积为取长度为的一段区间，得到一份体积微元那么所求体积为（曲线的弧长）1参数方程将弧线划分为很多个点，然后求每一段小弧线的长度，累加起来就是整个弧线的长度，只要分得够细，则

38、一小段弧线近似等于直线距离。 设弧线参数方程 其中和在上具有连续的导数。以作为积分变量，相应的取上任意一小段区间的小弧线，它的长度近似等于直线长度，即，由于则弧长微元为则所求弧长为（2）对于直角坐标方程，相当于参数方程代入有弧长公式为（3）对于极坐标形式直角坐标系与极坐标的转换关系为则弧长公式为由于那么故有弧长公式为（旋转曲面的面积）设曲线参数方程 曲线绕轴旋转一周，求所扫过的面积。相应的取上任意一小段区间的小弧线，它的长度近似等于直线长度，弧长微元为这一段弧长扫过的面积可近似等于则，曲面扫过的面积为对于直角坐标方程，扫过的面积为对于极坐标方程，直角坐标系与极坐标的转换关系为则扫过的面积为2.

39、6.5定积分的物理应用（微元法）（变力沿直线所做的功）以前学过，一个不变的力作用在物体上，物体沿力的方向移动了距离，则力对物体做的功为一般来说，一个沿方向的力，在这个力的方向上物体从点运动到点，则取处一小段距离，则力在这段距离内所作的功微元为则从点运动到点力所做的功为计算功的时候要考虑力的方向。（水压力）由高中物理知道，在水深处的压强为，如果有一个面积为的平板水平放在水深为处，则平板一侧所受的压力为对于一个平板各处压强不均的平板，则用下面的方法求压力。如图所示，左边有半桶水，水平放置，半径为，计算一端所受的压力。如右图分析，设深度为处，取一小段深度计算此小块面积的压力微元则总压力为（万有引力）由物理学知，质量为，相距为的两质点之间的引力的大小为其中为引力常数，引力方向沿着两质点的连线方向。例子：有一长度为，线密度为的均匀细直棒，在其中垂线上距离处有一质量为的质点，试计算该棒对质点的引力。建立如图的坐标系，取处一小段长度细棒作为研究对象。其对质点的引力分解为沿轴方向和沿轴方向。沿轴方向力大小为沿轴方向力大小为由于为偶函数，则整根棒沿轴方向力大小为令，则，；，。由于为奇函数，因此