2020届山西省太原市高三年级一模数学（理科）试卷及答案.pdf

1、关注公众号“品数学” 第 1页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 2020 年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）年山西省太原市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 3Mxx， 2 |6Nx yxx，则(MN ) A | 23xx B | 23xxC | 23xx D | 33xx 2 （5 分）设复数z满足(2)5zi，则| (zi) A2B2C2 2D

2、4 3 （5 分） 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具， 它由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一块平行四边形共七块板组成 （清)陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有 七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以 排闷破寂， 故世俗皆喜为之 如图是一个用七巧板拼成的正方形， 若在此正方形中任取一点， 则此点取自阴影部分的概率为() A 5 16 B 11 32 C 7 16 D 13 32 4 （5 分）在等比数列 n a中， 1 0a ，则“ 14 aa”是“ 35 aa”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件

3、 5 （5 分）函数 2 1 ( ) | x f x x 的图象大致为() A 关注公众号“品数学” 第 2页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 B C D 6 （5 分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 9 5 ，则() 关注公众号“品数学” 第 3页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 A6a B5a C4a D7a 7 （5 分） 37 1 (3)x x 展开式中的常数项是() A189B63C42D21 8 （5 分）刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳 马如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为() A

4、3B 3 2 C3D4 9 （5 分）已知变量x，y满足约束条件 6 32 1 xy xy x ，若目标函数(0,0)zaxby ab的 最小值为 2，则 13 ab 的最小值为() A23B52 6C815D2 3 10 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为F，过点F作圆 222 xyb的切 线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为() A 1 2 B 2 2 C 2 3 D 6 3 关注公众号“品数学” 第 4页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 11 （5 分）设| 10AB ，若平面上点P满足对任意的R，恒有|2|8APAB

5、，则一定 正确的是() A|5PA B| 10PAPB C9PA PB D90APB 12 （5 分）设函数( )fx是奇函数( )()f x xR的导函数，当0x 时，( )( )xlnx fxf x ， 则使得 2 (4) ( )0xf x成立的x的取值范围是() A( 2，0)(0，2)B(，2)(2，) C( 2，0)(2，)D(，2)(0，2) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为3yx，若其右顶点到 这条渐近线的距离为3，则双曲

6、线方程为 14 （5 分）已知函数( )sin()(0) 6 f xx 在 4 (0,) 3 单调增加，在 4 (,2 ) 3 单调减少， 则 15 （5 分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是 1，且平面ABCD与平面ABEF互相 垂直， 活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动， 则MN长度的最小值是 16 （5 分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依 次排在了数表的奇数行和偶数行如图，若用( , )a i j表示第i行从左数第j个数，如 (5,2)11a，则(41,18)a 关注公众号“品数学” 第 5页（共 24页） 高中数学资料共享群 2

7、84110736 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题； 共共 60 分分 17 （12 分）已知ABC外接圆的半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c， 若 22 2 (sinsin)()sinRBAacC （）求角B； （）若7b ，2c ，求sin A的值 18 （12 分）如图，ABCD是边长为 2 的正方形，AE 平面B

8、CE，且1AE （）求证：平面ABCD 平面ABE； （）线段AD上是否存在一点F，使二面角ABFE等于45？若存在，请找出点F的 位置；若不存在，请说明理由 19 （12 分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验 方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a份血液样本，有以下两种检验方式：一是 逐份检验，则需检验n次二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起，若检 验结果为阴性，那么这k份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为 了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的次数总 共为1k 次某定点医院现取

9、得 4 份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检 验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验假设在接受检验的血液 样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为 2 2 3 P （）求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率； （）若检验次数的期望值越小，则方案越“优” 方案一、二、三中哪个最“优”？请说 明理由 关注公众号“品数学” 第 6页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 20 （12 分）已知椭圆E的焦点为 1( 1,0) F 和 2(1,0) F，过 2 F的直线交E于A，B两点，过A 作与y轴垂直的直线交

10、直线3x 于点C设 22 AFF B ，已知当2时， 1 | |ABBF （）求椭圆E的方程； （）求证：无论如何变化，直线BC过定点 21 （12 分）已知函数( )sincosf xxxx， cos ( ) x g x x （）判断函数( )f x在区间 5 (0,) 2 上零点的个数； （）设函数( )g x在区间(0,)上的极值点从小到大分别为 1 x， 2 x， 3 x， 4 x， n x证 明： （1） 12 ()()0g xg x； （2）对一切 * nN， 123 ()()()()0 n g xg xg xg x成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请

11、考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分作答时请用作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系坐标系 与参数方程与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3cos ( 3sin x y 为参数） ，已知 点(6,0)Q，点P是曲线 1 C上任意一点，点M满足2PMMQ ，以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系 （）求点M的轨迹 2 C的极坐标方程； （）已知直线: l ykx与曲线 2 C交于A，B两

12、点，若4OAAB ，求k的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2|f xxa，( ) |1|g xx （）若( )2 ( )f xg x的最小值为 1，求实数a的值； （）若关于x的不等式( )( )1f xg x的解集包含 1 2 ，1，求实数a的取值范围 关注公众号“品数学” 第 7页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 2020 年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）年山西省太原市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在

13、每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 3Mxx， 2 |6Nx yxx，则(MN ) A | 23xx B | 23xxC | 23xx D | 33xx 【解答】解： | 33Mxx ， | 23Nxx ， | 23MNxx 故选：B 2 （5 分）设复数z满足(2)5zi，则| (zi) A2B2C2 2D4 【解答】解：由(2)5zi，得 55(2) 2 2(2)(2) i zi iii ， 22 | |2| |22 |2( 2)2 2ziiii 故选：C 3 （5 分） 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具， 它由

14、五块等腰直角三角形、 一块正方形和一块平行四边形共七块板组成 （清)陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有 七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以 排闷破寂， 故世俗皆喜为之 如图是一个用七巧板拼成的正方形， 若在此正方形中任取一点， 则此点取自阴影部分的概率为() A 5 16 B 11 32 C 7 16 D 13 32 【解答】解：设大正方形的边长为 4，则面积4416， 阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2 2，面积 1 2 22 24 2 ， 关注公众号“品数学” 第 8页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 另外一部分为梯形

15、，上底为2，下底为2 2，高2，面积 22 2 23 2 ， 故概率 7 16 P 故选：C 4 （5 分）在等比数列 n a中， 1 0a ，则“ 14 aa”是“ 35 aa”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：在等比数列中，若 14 aa，即 3 11 aa q， 1 0a ， 3 1q ， 即1q ，则 25 3 1 a q a ，即 35 aa成立， 若等比数列 1，2，4，8，16， 满足 35 aa，但 14 aa不成立， 故“ 14 aa”是“ 35 aa”的充分不必要条件， 故选：A 5 （5 分）函数 2 1 ( )

16、| x f x x 的图象大致为() A 关注公众号“品数学” 第 9页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 B C D 【解答】解： 22 ()11 ()( ) | xx fxf x xx ，则( )f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除 B，C， 当0x 时， 2 11 ( ) x f xx xx 为增函数，排除A， 故选：D 6 （5 分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 9 5 ，则() 关注公众号“品数学” 第 10页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 A6a B5a C4a D7a 【解答】解：执行程序框图，有 1S ，1k 不满足

17、条件ka，有 1 1 1 2 S ，2k ； 不满足条件ka，有 11 1 1 223 S ，3k ； 不满足条件ka，有 111 1 1 22334 S ，4k ； 不满足条件ka，有 11119 1 1 22334455 S ，5k ； 此时，应该满足条件ka，退出循环输出S的值为 9 5 故a的值应为 4 故选：C 7 （5 分） 37 1 (3)x x 展开式中的常数项是() A189B63C42D21 【解答】解： 37 1 (3)x x 展开式的通项公式为： 7 21 3 77 2 177 1 (3)()3 r rrrrr r TCxCx x ， 令 7 210 2 r ，解得6r

18、 ； 所以展开式中的常数项是 6 77 321TC 故选：D 8 （5 分）刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳 关注公众号“品数学” 第 11页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 马如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为() A3B 3 2 C3D4 【解答】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面， 四棱锥的高为长方体的一棱长， 且阳马的外接球也是长方体的外接球； 由三视图可知四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，四棱锥的高为 1， 长方体的一个顶点处的三条棱长分别为 1，1，1， 长方体的对角线为3， 外接球的半径为

19、 3 2 ， 外接球的体积为 3 433 () 322 V 故选：B 9 （5 分）已知变量x，y满足约束条件 6 32 1 xy xy x ，若目标函数(0,0)zaxby ab的 最小值为 2，则 13 ab 的最小值为() A23B52 6C815D2 3 关注公众号“品数学” 第 12页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 【解答】解：约束条件对应的 区域如图：目标函数(0,0)zaxby ab经过C时取最小 值为 2， 所以2ab， 则 131 1313 ()()(4) 22 ba ab ababab 3 223 ba a b ； 当且仅当3ab，并且2ab时等号成

20、立； 故选：A 10 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为F，过点F作圆 222 xyb的切 线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为() A 1 2 B 2 2 C 2 3 D 6 3 【解答】解：如图， 关注公众号“品数学” 第 13页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 由题意可得，2bc，则 22 2bc， 即 222 2()acc，则 22 23ac， 2 2 2 3 c a ，即 6 3 c e a 故选：D 11 （5 分）设| 10AB ，若平面上点P满足对任意的R，恒有|2|8APAB ，则一定 正确的是() A|5P

21、A B| 10PAPB C9PA PB D90APB 【解答】解：以线段AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴，以其中垂线为y轴，建 立直角坐标系， 则( 5,0)A 、(5,0)B、设点( , )P x y， 则(5, )APxy ，(10,0)AB ， 则2(21010 ,2 )APABxy ， 即有 22 (210 10 )464xy ， 整理为以为元的一元二次不等式， 即 222 100(20040 )440436 0xxxy ， 由于上述不等式对任意R恒成立，则0必然成立， 222 (20040 )4 100 (440436) 0xxxy ， 解得|4y ， 即4y 或者4y， 关

22、注公众号“品数学” 第 14页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 动点P位于直线4y 上或其上方部分，或者直线4y 上或者其下方的区域内， 用动态的观点看问题，我们让点P位于点( 5,4)处，则| 4PA ，故A错误； 让点P位于点(0,4)处，则| |2| 8PAPBPO ，故B错误； 此时| |41PAPB，| 10AB ， 用余弦定理计算 4141 100 cos0 2| APB PA PB ，90APB故D错误； 我们进一步确定C选项的正确性，( 5,)PAxy ，(5,)PBxy ， 则 22 25PA PBxy ， 其中xR， 2 16y ， 故 222 251

23、6259xyx ， 即9PA PB ，故C正确 故选：C 12 （5 分）设函数( )fx是奇函数( )()f x xR的导函数，当0x 时，( )( )xlnx fxf x ， 则使得 2 (4) ( )0xf x成立的x的取值范围是() A( 2，0)(0，2)B(，2)(2，) C( 2，0)(2，)D(，2)(0，2) 关注公众号“品数学” 第 15页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 【解答】解：根据题意，设( )( )g xlnx f x，(0)x ， 其导数 1 ( )()( )( )( )( )g xlnx f xlnxfxf xlnxfx x ， 又由当0

24、x 时，( )( )xlnx fxf x ，即 1 ( )( )lnx fxf x x ， 则有 1 ( )( )( )0g xf xlnxfx x ， 即函数( )g x在(0,)上为减函数，又由g（1）1( )0lnf x， 则在区间(0,1)上，( )( )0g xlnx f x，又由0lnx ，则( )0f x ， 在区间(1,)上，( )( )0g xlnx f x，又由0lnx ，则( )0f x ， 则( )f x在(0,1)和(1,)上，( )0f x ， 而1x 时，g（1）1( )0lnf x，故( )f x也可小于 0， 又由( )f x为奇函数，则在区间( 1,0)和(

25、, 1) 上，都有( )0f x ， 2 2 40 (4) ( )0 ( )0 x xf x f x 或 2 40 ( )0 x f x ， 解可得：2x 或02x， 则x的取值范围是(，2)(0，2)； 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为3yx，若其右顶点到 这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为 22 1 412 xy 【解答】解：根据题意，双曲线渐近线方程为3yx， 顶点坐标( ,0)a，顶点到渐近线的距离为： 3 3 2

26、a ， 解得2a ， 根据渐近线方程的斜率3 b a ，可得2 3b ， 所以双曲线的方程为： 22 1 412 xy ； 故答案为： 22 1 412 xy 14 （5 分）已知函数( )sin()(0) 6 f xx 在 4 (0,) 3 单调增加，在 4 (,2 ) 3 单调减少， 关注公众号“品数学” 第 16页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 则 1 2 【解答】解：由题意 44431 ()sin()12, 33636222 fkkkZ 又0，令0k 得 1 2 （由已知2T如0k ，则2 ，T与已知矛盾） 15 （5 分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是

27、 1，且平面ABCD与平面ABEF互相 垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是 3 3 【解答】解： 法一：如图， 以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 则(0A，0，0)，(0B，1，0)，(1F，0，0)，(0C，1，1)， 设(0, , )AMAC ，( ,0)BNBF ，01 ，01 (0MNABAMBN ，1，0)(0，)(，0) (，1，) 222222 |(1)()2()1MN 关注公众号“品数学” 第 17页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 2 22 ()3 ()2()1()2

28、()1 22 （当且仅当时等号成立） 令(02)tt ，则 2 3 |21 2 MNtt 当 2 3 t ，即 1 3 时， 13 | 33 min MN MN长度的最小值是 3 3 法二： (0AC ，1，1)，(1BF ，1，0)， 设与AC ，BF 都垂直的一个法向量为(nx ，y，) z， 0 0 n ACyz n BFxy ，取1y ，得(1n ，1，1)， 又(0AB ，1，0)， MN长度的最小值是 |13 |33 AB n n 故答案为： 3 3 16 （5 分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依 次排在了数表的奇数行和偶数行如图，若用( ,

29、)a i j表示第i行从左数第j个数，如 (5,2)11a，则(41,18)a835 【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第n行有n个 数， 因为(41,18)a对应的数字为奇数， 则前面奇数行共有： (139)20 13539400 2 个奇数， 故(41,18)a为第 418 个奇数， 关注公众号“品数学” 第 18页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 由24181835 ，可得(41,18)835a， 故答案为：835 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

30、第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题； 共共 60 分分 17 （12 分）已知ABC外接圆的半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c， 若 22 2 (sinsin)()sinRBAacC （）求角B； （）若7b ，2c ，求sin A的值 【解答】解： （1）因为 22 2 (sinsin)()sinRBAacC 所以 22 22 (sinsin)2 ()sinRRBAR acC 集 222 baacc， 由余弦定理可得， 222 1 co

31、s 22 acb B ac ， 0B， 2 3 B ； （2）7b ，2c ， 由正弦定理可得， sinsin bc BC ， 所以 21 sin 7 C ， 因为bc，故C为锐角， 2 7 cos 7 C ， 所以 32 712121 sinsin()sincossincos 272714 ABCBCCB 18 （12 分）如图，ABCD是边长为 2 的正方形，AE 平面BCE，且1AE （）求证：平面ABCD 平面ABE； （）线段AD上是否存在一点F，使二面角ABFE等于45？若存在，请找出点F的 位置；若不存在，请说明理由 关注公众号“品数学” 第 19页（共 24页） 高中数学资料共

32、享群 284110736 【解答】 解： （） 因为AE 平面BCE，BE 平面BCE，BC 平面BCE 所以AEBE， AEBC 又因为BCAB，AEABA ，所以BC 平面ABE 又BC 平面ABCD，所以平面ABCD 平面ABE （）如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，因为1AE ，2AB ，AEBE 所以3BE ，所以(0B，2，0)， 3 1 (,0) 22 E， 设线段AD上存在一点F满足题意，设(0F，0，)h，(0)h ， 易知平面ABF的一个法向量为(1,0,0)m ， 设平面BEF的一个法向量为( , , )nx y z ，易知 33 (,0) 22 BE ，(0, 2,

33、 )BFh 所以 0 0 n BE n BF ，即 33 0 22 20 xy yhz ，令1y ，可得 2 ( 3,1, )n h 由 23 cos, 2|4 4 m n m n mn h ，解得2h 所以存在点F，当2AF 时，二面角ABFE所成角为45 19 （12 分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验 关注公众号“品数学” 第 20页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a份血液样本，有以下两种检验方式：一是 逐份检验，则需检验n次二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起，若检 验

34、结果为阴性，那么这k份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为 了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的次数总 共为1k 次某定点医院现取得 4 份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检 验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验假设在接受检验的血液 样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为 2 2 3 P （）求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率； （）若检验次数的期望值越小，则方案越“优” 方案一、二、三中哪个最“优”？请说 明理由 【解答】解： （）该混合样本阴性的概率

35、是 2 2 28 () 39 ， 根据对立事件原理，阳性的概率为 81 1 99 （）方案一：逐个检验，检验次数为 4， 方案二：由（）知，每组 2 个样本检验时，若阴性则检测次数为 1，概率为 8 9 ， 若阳性，则检测次数为 3，概率为 1 9 ， 设方案二的检验次数记为，则的可能取值为 2，4，6， 其分布列为： 246 P 64 81 16 81 1 81 6416122 ( )246 8181819 E， 方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为，的可能取值为 1，5， 其分布列为： 15 P 64 81 17 81 6417149 ( )15 818181 E ， 关注公众号“

36、品数学” 第 21页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 ( )( )4EE，故选择方案三最“优” 20 （12 分）已知椭圆E的焦点为 1( 1,0) F 和 2(1,0) F，过 2 F的直线交E于A，B两点，过A 作与y轴垂直的直线交直线3x 于点C设 22 AFF B ，已知当2时， 1 | |ABBF （）求椭圆E的方程； （）求证：无论如何变化，直线BC过定点 【解答】解： （）设椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，连接 1 F A， 22 2AFF B ，不妨令 2 |F Bm，则 2 | 2AFm， 1 | | 3BFABm 由椭圆的定义知

37、， 12 | 2BFF Ba，32mma即 2 a m ， 21 |AFaAF，则点A为椭圆E的上顶点或下顶点 令 2 OAF，则 1 sin a ， 2 2 2 cos2121sin a ， 而在等腰 1 ABF中，由余弦定理得， 222 33 ()() 1 22 cos2 3 3 2 2 aaa aa ， 由解得， 2 3a 椭圆E的焦点为 1( 1,0) F 和 2(1,0) F，1c ， 2 2b， 椭圆E的方程为 22 1 32 xy （）证明：由题可知，直线AB的斜率一定存在，不妨设其方程为(1)yk x， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 1 (3,)

38、Cy， 22 AFF B ， 1 (1x， 12 )(1yx， 2) y，即 12 12 1xx yy ， 而直线BC的方程为 21 1 2 (3) 3 yy yyx x ， 21 2 2 () (1)(3) 3 k xx yk xx x ， 2 2 2 (1)(1) (1)(3) 3 kx yk xx x ， 2 22 22 3()(1)(3) (1)(1) 33 xxxx yk xk x xx ， 当 2 1xx时，无论如何变化，0y 恒成立，即直线BC过定点(1,0) 关注公众号“品数学” 第 22页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 故命题得证 21 （12 分）已

39、知函数( )sincosf xxxx， cos ( ) x g x x （）判断函数( )f x在区间 5 (0,) 2 上零点的个数； （）设函数( )g x在区间(0,)上的极值点从小到大分别为 1 x， 2 x， 3 x， 4 x， n x证 明： （1） 12 ()()0g xg x； （2）对一切 * nN， 123 ()()()()0 n g xg xg xg x成立 【解答】解： （1）( )sincossincosfxxxxxxx， 当(0,) 2 x 时，cos0x ，( )0fx ，( )(0)1f xf，( )f x无零点； 当( 2 x ， 3 ) 2 ，cos0x ，

40、( )0fx ，()0 22 f ， 33 ()0 22 f ，( )f x有唯 一零点； 当 3 (2x， 5 ) 2 ，cos0x ，( )0fx ，而 55 ()0 22 f，( )f x有唯一零点； 综上，( )f x在 5 (0,) 2 ，有两个零点 （2）证明： 22 sincos( ) ( ) xxxf x g x xx ，由（1）可知，( )g x在(0,) 2 无极值点； ( 2 x ， 3 ) 2 有极小值点，即为 1 x，在 3 (2x， 5 ) 2 有极大值点，即为 2 x， 而()0 22 f ，( )10f ， 33 ()0 22 f ，(2 )10f 可知 1 (

41、 2 x ，)， 2 3 (2x， 5 ) 2 ， 同理在 5 (2，3 )有极小值点，在 (21) ( 2 n ，)n有极值点 n x 由sincos0 nnn xxx，得 cos sin n n n x x x ， 1 tan n n x x ， 12 xx， 12 11 xx ， 112 tan()tantanxxx，则 1 3 (2x，2 )， 2 3 (,2 ) 2 x， 故有 12 xx 12 121212 12 coscos ()()sinsinsin()sin xx g xg xxxxx xx sinyx在 3 (,2 ) 2 是增函数， 12 sin()sin0xx 即 12

42、 ()()0g xg x； 关注公众号“品数学” 第 23页（共 24页） 高中数学资料共享群 284110736 ，同理， 21 43 (,(21) ) 2 k k xk ， 2 41 (,2) 2 k k xk ， 212 41 2 2 kk k xx ，由sinyx在 41 (,2 ) 2 k 递增得 当n为偶数时，不妨设2nk，从 1 ()g x开始相邻两项配对，每组均为负值， 即 1234212 ()() ()() ()()0 kk g xg xg xg xg xg x ，结论成立； 当n为奇数时，设21nk， 21 41 ( 2 k k x ，(21) )k， 2121 ()sin0 kk g xx 从 1 ()f x开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后