（终稿）2020届福州市高中毕业班第三次质量检查理科数学试卷含答案.docx

1、数学试题（第 1 页 共 19 页） 准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 秘密启用前 2020 届福州市高中毕业班第三次质量检查 数 学 （ 理 科 ） 试 题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页满分 150 分 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名” 与考生本人准考证号、 姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答

2、案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1. 已知纯虚数z满足(1 i)2iza，则实数a等于 A2 B1 C1 D2 2. 已知集合 2 2 20 ,log2Ax xxBx yx，则 AB R A B2,2 C1,2 D2,1 3. 执行右面的程序框图，则输出的m A1 B2 数学试题（第

3、2 页 共 19 页） C3 D4 数学试题（第 3 页 共 19 页） 4. 某种疾病的患病率为 0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 99%， 则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 A0.495% B0.940 5% C0.999 5% D0.99% 5. 函数 2 e2 x f xxx的图象大致为 A B C D 6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次四人测试成绩对应 的条形图如下： 以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确 的是 A平均数相同 B中位数相同 C众数不完全相同 D丁的方差最大 7. 已知角的终边在直线3yx 上，则 2 sin2

4、 1cos A 6 11 B 3 11 C 3 11 D 6 11 8. 数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏如图是数独的一个简化版，由 3 行 3 列 9 个单元格构成玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各 3 个） 全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每 一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有 A12 种 B24 种 C72 种 D216 种 Ox y 1 1 O x y 1 1 y 1 O1 xOx y 1 1 数学试题（第 4 页 共 19 页） 9. 已知函数 sin0 6 f xx 图象上相邻两条对称轴的距离为 2 ，把 f x图 象上各点的横坐标伸长到原来的

5、 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 3 个 单位长度，得到函数 g x的图象，则 A cos4g xx B cos4g xx C cosg xx D cosg xx 10. 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab ）的焦距为 2，右顶点为A过原点与x轴不重合 的直线交C于,M N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的 方程为 A 22 1 43 xy B 22 1 65 xy C 22 1 98 xy D 22 1 3632 xy 11. 已知函数 1 lnf xxx x ，给出下列四个结论： 曲线 yf x在1x 处的切线方程为10xy ； f x

6、恰有 2 个零点； f x既有最大值，又有最小值； 若 12 0x x 且 12 0f xf x，则 12 1x x 其中所有正确结论的序号是 A B C D 12. 三棱锥PABC中，顶点P在底面ABC的投影为ABC的内心，三个侧面的面积分 别为 12,16,20，且底面面积为 24，则三棱锥PABC的内切球的表面积为 A 4 3 B12 C16 3 D16 数学试题（第 5 页 共 19 页） 第第卷卷 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分把答案填在题

7、中的横线上分把答案填在题中的横线上 13. 已知向量1,2AB ，2,5CB ，,1tMN 若ACMN，则实数t 14. 正方体 1111 ABCDABC D中，P为 1 BC中点，Q为 1 A D中点，则异面直线DP与 1 C Q所 成角的余弦值为 15. 在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 2 2sincos1AB，则 c ba 的取值 范围为 16. 已知梯形ABCD满足,45ABCDBAD，以,A D为焦点的双曲线经过,B C两 点若7CDAB，则的离心率为 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明

8、过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题，考生根据要题为选考题，考生根据要 求作答求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a和 n b的前n项和分别为 n S, n T， 1 2a ， 1 1b ，且 11 2 nn aaT （1）若数列 n a为等差数列，求 n S； （2）若 11 2 nn bbS ，证明：数列 nn ab和 nn ab均为等比数列 18. （本小题满分 12 分） 如图， 在多面体PAB

9、CD中， 平面ABCD 平面PAD， ADBC，90BAD，120PAD，1BC ， 2ABADPA （1）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值； （2）若E是棱PB的中点，求证：对于棱CD上任意一 点F，EF与PD都不平行 19. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :4C yx，直线:2l xmy（0m）与C交于, A B两点，M为AB的 中点，O为坐标原点 A D CB P 数学试题（第 6 页 共 19 页） （1）求直线OM斜率的最大值； （2）若点P在直线2x 上，且PAB为等边三角形，求点P的坐标 20. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2lnf xxa

10、xx （1）求函数 f x的单调区间； （2）设函数 f x有两个极值点 12 ,x x（ 12 xx） ，若 12 f xmx 恒成立，求实数m的 取值范围 21. （本小题满分 12 分） 某省2021年开始将全面实施新高考方案在6门选择性考试科目中，物理、历史这两 门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目采用等级转换赋分，将 每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级， 各等级人数所占比例分别为 15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分 该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目的 原始分进行

11、了等级转换赋分 （1）某校生物学科获得A等级的共有 10 名学生，其原始分及转换分如下表： 原始分 91 90 89 88 87 85 83 82 转换分 100 99 97 95 94 91 88 86 人数 1 1 2 1 2 1 1 1 现从这 10 名学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中生物转换分不低于95分的人数为X， 求X的分布列和数学期望； （2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布(75.836)N，若 2 ( ,)YN ，令 Y ，则(0,1)N，请解决下列问题： 若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估 计该划线分大约为多少分？

12、（结果保留为整数） 现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分 相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()Pk取得最大值 时k的值 附附：若(0,1)N，则(0.8)0.788P,(1.04)0.85P. 数学试题（第 7 页 共 19 页） 数学试题（第 8 页 共 19 页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答如果多做，则按所做如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题

13、号后的方框涂黑 22. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 33 ,xkt yt （t为参数） ，直线 2 l的参数 方程为 33 ,xm ykm （m为参数） 设 1 l与 2 l的交点为P， 当k变化时，P的轨迹为曲线 1 C （1）求 1 C的普通方程； （2）设Q为圆 2 2 2: 43Cxy上任意一点，求PQ的最大值 23. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知0,0ab， 222 4abc （1）当1c 时，求证： 33 9abab； （2）求 222 441 1abc 的最小值 数学试题（第 9 页

14、 共 19 页） 2020 年福州市高中毕业班质量检测 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分

15、 60 分 1A 2D 3C 4A 5B 6D 7A 8A 9D 10C 11B 12C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分 13 1 3 14 2 3 152,3 16 3 2 4 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17 【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识；考查运算求解能力、 推理论证能力； 考查化归转化思想； 考查数学运算、 逻辑推理等学科素养； 体现基础性 满 分 12 分 【解答】 （1）由 11 2 nn aaT ，得 211 2aab， 又 1 2a ， 1

16、1b ，解得 2 4a . 1 分 因为数列 n a为等差数列，所以该数列的公差为 21 aa2， 2 分 所以 2 1 22 2 n n n Snnn 4 分 （2）当2n时， 11 2 nn aaT ， 数学试题（第 10 页 共 19 页） 因为 1nnn TTb ，所以 1 2 nnn aab ，即 1 2 nnn aab ， 5 分 同理可得： 1 2 nnn bba 6 分 则 11 3() nnnn abab ，所以 11 3 nn nn ab ab （2n） ， 7 分 又 211211 24,25aabbba， 所以 22 11 45 3 3 ab ab ， 所以 11 3

17、nn nn ab ab （ * nN） ， 8 分 所以数列 nn ab是以 3 为首项，3 为公比的等比数列. 9 分 因为 11 () nnnn abab ，所以 11 1 nn nn ab ab （2n） ， 10 分 又 22 11 45 1 21 ab ab ，所以 11 1 nn nn ab ab （ * nN） ， 11 分 所以数列 nn ab是以1为首项，1为公比的等比数列 12 分 18 【命题意图】本小题考查直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行、平面 与平面平行的判定与性质，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算 求解能力； 考查化归与转化思想、 函

18、数与方程思想； 考查直观想象、 逻辑推理等核心素养， 体现基础性、综合性满分 12 分 【解析】解法一： （1）因为ABAD，平面ABCD 平面PAD， 平面ABCD平面PADAD，AB平面ABCD， 所以AB 平面PAD. 1 分 作AHAD交PD于H，则,AB AD AH三条直线两两垂 直 以A为坐标原点O， 分别以AHADAB，所在直线为, ,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 2 分 因为120PAD，1BC ，2ABADPA 所以 0,0,0 ,0,0,2 ,0,1,2 ,0,2,0 ,3, 1,0ABCDP， 3 分 设平面PBC的法向量为, ,x y zn，因为 0,1

19、,0 ,3, 1, 2BCBP ， ( )A O BC P x Dy z H 数学试题（第 11 页 共 19 页） 所以 0, 0, BC BP n n 所以 0, 320, y xyz 令2x ，所以 2,0, 3n， 4 分 由z轴平面PAD知0,0,1m为平面PAD的一个法向量, 5 分 所以 33 cos, 717 n m n m nm ， 6 分 所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为 2 7 7 7 分 （2）因为E是棱PB的中点，由（1）可得 31 ,1 22 E . 假设棱CD上存在点F，使得EFPD， 8 分 设DFDC，01 ， 所以 3 53 5 , 10, 1,2

20、, 12 2222 EFEDDF ， 9 分 因为EFPD，所以 3,3,0EFtPDt， 10 分 所以 3 3 , 2 5 3 , 2 120, t t 这个方程组无解， 11 分 所以假设不成立，所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行. 12 分 解法二： （1）如图，在平面PAD内，过点P作DA的垂线，垂足为M；在平面ABCD 内，过M作AD的垂线，交CB的延长线于点N连接PN 因为MNPMM，所以AD 平面PMN 1 分 因为ADBC，BC 平面PBC，AD 平面PBC， 所以AD平面PBC， 2 分 设平面PBC平面PADl，则ADl，故l 平面PMN 3 分 所以NPM为

21、平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角 4 分 因为120PAD，2ABADPA，所以60MAP， ( )A O BC P x Dy z H E F A BC D P N M 数学试题（第 12 页 共 19 页） 在RtPAM中，2sin603PM 5 分 又2MNAB，所以在RtPMN 中， 22 7PNPMMN 6 分 所以 22 7 sin 77 MN MPN PN ， 所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为 2 7 7 7 分 （2）假设棱CD上存在点F，使得EFPD，显然F与点D 不同， 8 分 所以, , ,P E F D四点共面， 记该平面为， 所以P，PE， FD， 9

22、 分 又BPE，CFD，所以B，C， 所以就是点, ,B C D确定的平面， 10 分 这与PABCD为四棱锥相矛盾，所以假设不成立， 所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行. 12 分 解法三： （1）同解法一 7 分 （2）假设棱CD上存在点F，使得EFPD 8 分 连接BD，取BD的中点M， 在BPD中，因为,E M分别为,BP BD的中点， 所以EMPD. 9 分 因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以 EM与EF重合. 10 分 又点F在线段CD上，所以FBDCD，又BDCDD， 所以F是BD与CD的交点D，即EF就是ED， 11 分 而ED与PD相交，所以与E

23、FPD相矛盾，所以假设不成立， 所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行 12 分 19 【命题意图】本题考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查 运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、数学运算等核心素 养，体现基础性、综合性满分 12 分 【解析】解法一： （1）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， A BC P C E F A BC P C E F M 数学试题（第 13 页 共 19 页） 由 2 2, 4 xmy yx ，消去x得， 2 480ymy ， 1 分 2 16320,m 且 1212 4 ,8yym y y . 2

24、 分 所以 2 1212 ()444.xxm yym 因为M为AB的中点， 所以M的坐标为 1212 (,) 22 xxyy ，即 2 (22,2 )mm, 3 分 又因为0m ，所以 22 2111 1 22121 2 OM mm k mm m m m m , 5 分 （当且仅当 1 m m ，即1m 等号成立.） 所以OM的斜率的最大值为 1 2 6 分 （2）由（1）知， 2 12 1|ABmyy 22 1212 1()4myyy y 22 11632mm 22 4 12mm， 8 分 由PMAB得 2222 |1 () |22( 2)| 2(2) 1PMmmmm ， 9 分 因为PAB

25、为等边三角形，所以 3 | 2 PMAB， 10 分 所以 2222 2(2) 12 312mmmm， 所以 2 23m ，所以 2 1m ，解得1,m 又0m，所以1m ， 11 分 则(4,2)M，直线MP的方程为2(4)yx ，即6yx ， 所以2x 时，8y ， 所以所求的点P的坐标为( 2,8) 12 分 解法二： （1）设 112200 (,), (,),(,)A x yB xyM xy， 数学试题（第 14 页 共 19 页） 因为M为AB的中点，且直线:2(0)l xmym， 所以 012 2,yyy 12 12 , xx m yy 1 分 由 2 11 2 22 4 , 4,

26、 yx yx 得 22 1212 44,yyxx 所以 12 12 12 4 , xx yy yy 所以 0 24 ,ym即 0 2ym. 2 分 所以 2 00 222,xmym即 2 (22,2 )Mmm， 3 分 又因为0m ，所以 22 2111 1 22121 2 OM mm k mm m m m m , 5 分 （当且仅当 1 m m ，即1m 等号成立.） 所以OM的斜率的最大值为 1 2 6 分 （2）由 2 2, 4 xmy yx ，消去x得 2 480ymy ， 所以 2 16320,m 且 1212 4 ,8yym y y . 7 分 22 1212 ABxxyy 2 2

27、 1212 22mymyyy 22 1212 1()4myyy y 22 11632mm 22 4 12mm ， 8 分 由（1）知，AB的中点M的坐标为 2 (22,2 )mm， 所以线段AB的垂直平分线方程为： 2 222ymm xm. 令2x ，得线段AB的垂直平分线与直线2x 交点坐标为 3 2,26,Pmm 所以 22 2322 24242(2) 1mMmmmPm 9 分 数学试题（第 15 页 共 19 页） 因为PAB为等边三角形，所以 3 | 2 PMAB， 10 分 所以 2222 2(2) 12 312mmmm， 所以 2 23m ，所以 2 1m ，解得 1,m 因为0,m所以1m ， 11 分 则 (4,2)M ，直线MP的方程为 2(4)yx ，即 6yx ， 所以2x 时， 8y ， 所以所求的点P的坐标为( 2,8)