2020届吉林省长春市高三年级二模数学（文科）试卷及答案.pdf

1、第 1页（共 18页） 2020 年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科） 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | (2) 0Ax x x， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A 1，0，3B0，1C0，1，2D0，2，3 2 （5 分）若1(1) ()za i aR ，|2z ，则(a ) A0 或 2B0C1 或 2D1 3 （5 分）下列与函数 1 y x 定义域和单调性都相同的函数是

2、() A 2 2log xy B 2 1 log ( ) 2 x y C 2 1 logy x D 1 4 yx 4 （5 分）已知等差数列 n a中， 57 32aa，则此数列中一定为 0 的是() A 1 aB 3 aC 8 aD 10 a 5 （5 分）若单位向量 1 e ， 2 e 夹角为60， 12 2aee ，则| (a ) A4B2C3D1 6 （5 分） 高中数学课程标准(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了 比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根 据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优）

3、 ，则下面叙述正 确的是 （注：雷达图()RadarChart，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart，可用于对研究 对象的多维分析）() A甲的数据分析素养高于乙 第 2页（共 18页） B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 7 （5 分）命题p：存在实数 0 x，对任意实数x，使得 0 sin()sinxxx 恒成立：:0qa ， ( ) ax f xln ax 为奇函数，则下列命题是真命题的是() ApqB()()pq C()pq D()pq 8 （5 分）已知函数 |,0 ( ) 2 (2),0 lnx x f x

4、 x xx ，则函数( )3yf x的零点个数是() A1B2C3D4 9 （5 分）已知为锐角，且 sin() 3 tan() 3 sin() 3 ，则角() A 12 B 6 C 4 D 3 10 （5 分） 若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线被圆 22 40xyy截得的弦长为 2，则双曲线的离心率为() A2B3C 2 2 3 D 2 3 3 11 （5 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S， 且 1 2a ， * 1 2 () nn n aSnN n ， 则( n S ) A 1 21 n B2nnC31 n D 1 23nn 12 （5 分）在正

5、方体 1111 ABCDABC D中，点E，F，G分别为棱 11 AD， 1 D D， 11 AB的中 点，给出下列命题： 1 ACEG；/ /GCED； 1 B F 平面 1 BGC；EF和 1 BB成角为 4 正确命题的个数是() A0B1C2D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）若x，y满足约条条件 22 2 0 22 xy y xy ，则zxy的最大值为 14 （5 分）曲线( )2sinf xx在 3 x 处的切线与直线10axy 垂直，则a 第 3页（共 18页） 15（5 分） 在半径为 2 的圆上有A，B两点， 且

6、2AB ， 在该圆上任取一点P， 则使得PAB 为锐角三角形的概率为 16 （5 分）三棱锥ABCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且2 2BD ， 三棱锥ABCD体积的最大值为；三棱锥ABCD体积最大时，平面ABC截球所得的 截面圆的面积为 三三、解答题解答题：共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分） 已知

7、在ABC的三个内角分别为A，B，C， 2 sinsin2cosBAA， 1 cos 3 B （）求A的大小； （）若2AC ，求AB长 18 （12 分）2019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积 极开展冰上体育锻炼 现从速滑项目中随机选出 100 名参与者， 并由专业的评估机构对他们 的锻炼成果进行评估打分（满分为 100 分）并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长冰上运 动，得到如图所示的频率分布直方图： （）求m的值； （）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22列联表 补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过 0

8、.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有 关系？ 擅长不擅长合计 男生30 女生50 第 4页（共 18页） 合计100 2 ()P Kx 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 19 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCA BC中，底面ABC为等腰直角三角形，ABBC， 1 24AAAB，M，N分别为 1 CC， 1 BB的中点，G为棱 1 AA上一点，若 1 A BNG （）求证

9、： 1 ABGM； （）求点 1 A到平面MNG的距离 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为A，B，焦距为 2，点P 为椭圆上异于A，B的点，且直线PA和PB的斜率之积为 3 4 （）求C的方程； （）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作/ /OMAP交椭圆于点M，试证明 2 | | | APAQ OM 为定值，并求出该定值 21 （12 分）已知函数 32 1 ( ) 3 f xxxmxm （）若 1 x为( )f x的极值点，且 1212 ()()()f xf xxx，求 12 2xx的值； （）求证：当0m 时，( )f x有唯

10、一的零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 1 C的参数方程为 22cos ( 2sin x y 为参数） ，曲线 2 C的参数方程为 第 5页（共 18页） 3 8cos 4 ( 3 sin 4 xt t yt 为参数） （）求 1 C和 2 C的普通方程； （）过坐标原点O作直线交曲线 1 C于点(M M异于)O，交曲线 2 C于点N，求 | | ON OM 的最 小值 选

11、修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23已知函数( ) |1|1|f xaxx （）若2a ，解关于x的不等式( )9f x ； （）若当0x 时，( )1f x 恒成立，求实数a的取值范围 第 6页（共 18页） 2020 年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科） 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | (2) 0Ax x x， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A 1，0，3B0，1C

12、0，1，2D0，2，3 【解答】解： |02Axx ； 0AB ，1，2 故选：C 2 （5 分）若1(1) ()za i aR ，|2z ，则(a ) A0 或 2B0C1 或 2D1 【解答】解：因为1(1) ()za i aR ， 222 |1(1)2(1)10zaaa 或 2； 故选：A 3 （5 分）下列与函数 1 y x 定义域和单调性都相同的函数是() A 2 2log xy B 2 1 log ( ) 2 x y C 2 1 logy x D 1 4 yx 【解答】解： 1 y x 在定义域 |0x x 上单调递减， 2 2log xyx在定义域 |0x x 上单 调递增， 2

13、 1 ( ) 2 x ylog的定义域为R， 2 1 ylog x 在定义域 |0x x 上单调递减， 1 4 yx的定 义域为 |0x x 故选：C 4 （5 分）已知等差数列 n a中， 57 32aa，则此数列中一定为 0 的是() A 1 aB 3 aC 8 aD 10 a 【解答】解：等差数列 n a中， 57 32aa， 11 3(4 )2(6 )adad， 化为： 1 0a 则此数列中一定为 0 的是 1 a 第 7页（共 18页） 故选：A 5 （5 分）若单位向量 1 e ， 2 e 夹角为60， 12 2aee ，则| (a ) A4B2C3D1 【解答】解：由 12 2a

14、ee ， 得 22 22 121122 (2)444 14 1 1 cos6013aeeee ee ， 所以|3a 故选：C 6 （5 分） 高中数学课程标准(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了 比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根 据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，则下面叙述正 确的是 （注：雷达图()RadarChart，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart，可用于对研究 对象的多维分析）() A甲的数据分析素养高于乙 B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中

15、逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 【解答】解：对于A选项，甲的数据分析为 3 分，乙的数据分析为 5 分，即甲的数据分析 素养低于乙，故选项A错误， 对于B选项，甲的数学建模素养为 3 分，数学抽象素养为 3 分，即甲的数学建模素养与数 学抽象素养同一水平，故选项B错误， 第 8页（共 18页） 对于C选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选 项C错误， 对于D选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体 水平优于甲，故选项D正确， 故选：D 7 （5 分）命题p：存在实数 0 x，对任意实数x，使得 0 sin()sinx

16、xx 恒成立：:0qa ， ( ) ax f xln ax 为奇函数，则下列命题是真命题的是() ApqB()()pq C()pq D()pq 【解答】解：根据题意，命题p：存在实数 0 x，对任意实数x，使得 0 sin()sinxxx 恒 成立， 当 0 x时，对任意实数x，使得sin()sinxx 恒成立， 故P为真命题； 命题:0qa ，( ) ax f xln ax ，有0 ax ax ，解可得axa ，函数的定义域为(, )a a， 关于原点对称， 有()( ) axax fxlnlnf x axax ，即函数( )f x为奇函数， 故其为真命题； 则pq为真命题，()()pq 、

17、()Pq 、()pq为假命题； 故选：A 8 （5 分）已知函数 |,0 ( ) 2 (2),0 lnx x f x x xx ，则函数( )3yf x的零点个数是() A1B2C3D4 【解答】解：因为函数 |,0 ( ) 2 (2),0 lnx x f x x xx ， 且0x时 2 (2 (2)2(1)2f xx xx ； 所以( )f x的图象如图， 由图可得：( )yf x与3y 只有两个交点； 即函数( )3yf x的零点个数是 2； 第 9页（共 18页） 故选：B 9 （5 分）已知为锐角，且 sin() 3 tan() 3 sin() 3 ，则角() A 12 B 6 C 4

18、 D 3 【解答】 解： 由条件已知为锐角， 且 sin() 3 tan() 3 sin() 3 ， 可得sin()cos() 33 ， 将各个选项中的值代入检验，只有 4 满足， 故选：C 10 （5 分） 若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线被圆 22 40xyy截得的弦长为 2，则双曲线的离心率为() A2B3C 2 2 3 D 2 3 3 【解答】解：圆 22 40xyy化为标准方程为： 22 (2)4xy， 圆心为(0,2)，半径2r ， 渐近线被圆 22 40xyy截得的弦长为 2， 圆心到渐近线距离 22 13dr，又渐近线方程为0bxay， 22

19、| 2 | 3 a ab ，即 2 3 a c 离心率 2 3 3 c e a ， 故选：D 第 10页（共 18页） 11 （5 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S， 且 1 2a ， * 1 2 () nn n aSnN n ， 则( n S ) A 1 21 n B2nnC31 n D 1 23nn 【解答】解：法一：排除法： 2 6a ， 3 16a ，验证知B对 法二： * 1 2 () nn n aSnN n ， 1 1 2 ,:2 1 nn nnn SSn SSS nnn 化简得， 数列 n S n 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 2 ,2 nnn n S Sn

20、 n 故选：B 12 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，点E，F，G分别为棱 11 AD， 1 D D， 11 AB的中 点，给出下列命题： 1 ACEG；/ /GCED； 1 B F 平面 1 BGC；EF和 1 BB成角为 4 正确命题的个数是() A0B1C2D3 【解答】解：如图 对于，连接 1 AC， 11 B D，则 11 / /EGD B，而 1 CA 平面EFG，所以 1 ACEG；故正确； 对于， 取 11 BC的中点M， 连接CM，EM， 可得四边形CDEM为平行四边形，/ /CMED， 因此/ /GCED不正确； 由于 1 B F与 11 BC不垂直，

21、11/ / BCBC， 1 B F与BC不垂直，因此 1 B F 平面 1 BGC不成立 11 / /D DB B，EF和 1 DD所角为 4 EF和 1 BB成角为 4 正确 正确命题的个数是 2 故选：C 第 11页（共 18页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）若x，y满足约条条件 22 2 0 22 xy y xy ，则zxy的最大值为4 【解答】解：由x，y满足约条条件 22 2 0 22 xy y xy 作出可行域如图： 化目标函数zxy为yxz ， 由图可知，当直线yxz 过A时，z取得最大值， 由 2 22 y x

22、y ，解得(2,2)A时， 目标函数有最大值为4z 故答案为：4 14 （5 分）曲线( )2sinf xx在 3 x 处的切线与直线10axy 垂直，则a 1 【解答】解：( )2cosfxx， ()2cos1 33 f ， 第 12页（共 18页） 切线与直线10axy 垂直， 所以1a 1a 故答案为：1 15（5 分） 在半径为 2 的圆上有A，B两点， 且2AB ， 在该圆上任取一点P， 则使得PAB 为锐角三角形的概率为 1 6 【解答】解：由90ABQ，90BAP， 延长BO到P，AO到Q； 当点P位于劣弧PQ之间时，ABP为锐角三角形， 因为AOOBAB； 所以：60AOBPO

23、Q ； 所以其概率为： 601 3606 P 故答案为： 1 6 16 （5 分）三棱锥ABCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且2 2BD ， 三棱锥ABCD体积的最大值为 2 2 3 ；三棱锥ABCD体积最大时，平面ABC截球所 得的截面圆的面积为 【解答】解：当BD过球心，所以90BADBCD ， 所以AO 面BCD， 1 1 3 2 A BCD VBC CD OA ，当BCCD时体积最大， 因为2 2BD ，2OA ，所以2BCCD， 所以最大体积为： 1 12 2 2 22 3 23 ； 三棱锥ABCD体积最大时，三角形ABC中， 22 2ABACOCOABC， 第 13页

24、（共 18页） 设三角形ABC的外接圆半径为r，则 2 2 3 2 r ，所以 2 3 r ， 所以外接圆的面积为 2 4 3 Sr ， 故答案分别为： 2 2 3 ， 4 3 三三、解答题解答题：共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分） 已知在ABC的三个内角分别为A，B，C， 2 sinsin2cosBAA， 1

25、cos 3 B （）求A的大小； （）若2AC ，求AB长 【解答】解： （1） 2 sinsin2cosBAA中， 2 2 sin 3 B ， 2 2sin3cosAA，即 2 2(1cos)3cosAA， 解得 1 cos 2 A ， 3 A （2） 3 11 2 232 2 sinsin()sincoscossin 2 3236 CABABAB 由正弦定理得 sinsin ABAC CB ， 6 sin1 sin4 AC ABC B 18 （12 分）2019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积 极开展冰上体育锻炼 现从速滑项目中随机选出 100 名参

26、与者， 并由专业的评估机构对他们 的锻炼成果进行评估打分（满分为 100 分）并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长冰上运 动，得到如图所示的频率分布直方图： 第 14页（共 18页） （）求m的值； （）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22列联表 补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有 关系？ 擅长不擅长合计 男生30 女生50 合计100 2 ()P Kx 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式

27、及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 【解答】解： （）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005) 101m， 解得0.025m ； （） 擅长不擅长合计 男性203050 女性104050 合计3070100 22 2 ()100(800300) 4.7626.635 ()()()()50503070 n adbc K ab cdac bd ， 故不能在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系 第 15页（共 18页） 19 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCA BC中，底面

28、ABC为等腰直角三角形，ABBC， 1 24AAAB，M，N分别为 1 CC， 1 BB的中点，G为棱 1 AA上一点，若 1 A BNG （）求证： 1 ABGM； （）求点 1 A到平面MNG的距离 【解答】解： （1）证明：ABBC， 1 BCBB，可得CB 平面 11 ABB A， M，N分别为 1 CC， 1 BB的中点，可得/ /MNBC， 可得MN 平面 11 ABB A，又 1 A BNG， 由三垂线定理可得 1 ABGM； （）设 1 A B与GN交于点E，由（）可得 1 A B 平面MNG， 在BNE中， 1 24AAAB， 1 tan 2 EBN，则 2 cos 5 EB

29、N， 可得 4 5 5 BE ，由 1 2 5BA ，则 1 6 5 5 A E ， 可知 1 A到平面MNG的距离为 1 6 5 5 A E 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为A，B，焦距为 2，点P 为椭圆上异于A，B的点，且直线PA和PB的斜率之积为 3 4 （）求C的方程； （）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作/ /OMAP交椭圆于点M，试证明 第 16页（共 18页） 2 | | | APAQ OM 为定值，并求出该定值 【解答】解： （1）已知点P在椭圆上，设 0 (P x， 0) y，即有 22 00 22 1 x

30、y ab ， 又 22 000 222 000 3 4 APBP yyyb kk xa xaxaa ，且22c ， 可得椭圆的方程为 22 1 43 xy ； （2）设直线AP的方程为：(2)yk x，则直线OM的方程为ykx， 联立直线AP与椭圆的方程可得： 2222 (34)1616120kxk xk， 由2 A x ，可得 2 2 68 34 P k x k ， 联立直线OM与椭圆的方程可得： 22 (34)120kx，即 2 2 2 68 34 M k x k ， 所以 222 | |2| |02| | | 2 | pAQAp MM xxxxx APAQ OMxx 即 2 | | |

31、APAQ OM 为定值，且定值为 2 21 （12 分）已知函数 32 1 ( ) 3 f xxxmxm （）若 1 x为( )f x的极值点，且 1212 ()()()f xf xxx，求 12 2xx的值； （）求证：当0m 时，( )f x有唯一的零点 【解答】解： （1）由题可知 12 ()()f xf x，且 1 ()0fx，又 2 ( )2fxxxm， 即得 3232 111222 2 11 11 33 20 xxmxmxxmxm xxm ， 化简并分解因式可得 1212 (23)()0xxxx 12 23xx (6) （2）证明：令 32 1 ( )0 3 f xxxmxm，则

32、32 1 (1) 3 xxm x ， 令 32 1 ( ) 3 h xxx， 2 ( )2h xxx，可知( )h x在(, 2) 和(0,)上单调递增，在 2，0 上单调递减， 又 4 ( 2) 3 h ，(0)0h；(1)m x为过点( 1,0)的直线，又0m ，则0m， 第 17页（共 18页） 因此 32 1 (1) 3 xxm x 有且只有一个交点，即 32 1 ( ) 3 f xxxmxm有唯一的零点 （12 分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分题

33、计分.选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 1 C的参数方程为 22cos ( 2sin x y 为参数） ，曲线 2 C的参数方程为 3 8cos 4 ( 3 sin 4 xt t yt 为参数） （）求 1 C和 2 C的普通方程； （）过坐标原点O作直线交曲线 1 C于点(M M异于)O，交曲线 2 C于点N，求 | | ON OM 的最 小值 【解答】解： （）由 22cos ( 2sin x y 为参数） ，消去参数，可得 1 C的参数方程为 22 (2)4xy； 由 3 8cos 4 ( 3 sin 4 xt t yt 为参数） ，得 2

34、8 2 2 2 xt yt ，消去参数t，可得 2 C的普通方程为8xy； （）如图，圆 1 C的极坐标方程为4cos，直线 2 C的极坐标方程为cossin8， 即 8 cossin ， 设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为() 42 ， 则 2 8 |244|cossin| |4|cos|sincos|sin2cos21| |2sin(2)1| 4 ON OMcos 42 ， 5 2 444 |2sin(2)1| 1,12 4 ， 第 18页（共 18页） 则 | | ON OM 的最小值为 4 4( 21) 21 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23已知函数( ) |1|1|f

35、 xaxx （）若2a ，解关于x的不等式( )9f x ； （）若当0x 时，( )1f x 恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （）当2a 时， 3 ,1 1 ( ) |21|1|2,1 2 1 3 , 2 x x f xxxxx x x ， 则( )9f x 等价为 1 39 x x 或 1 1 2 29 x x 或 1 2 39 x x ， 解得13x或 1 1 2 x 或 1 3 2 x ， 综上可得原不等式的解集为( 3,3)； （）当0x 时，( )1f x 恒成立， 即为1( )minf x， 当0a 时，( ) |1|f xx，其最小值为f（1）0，不符题意； 当0a ，即0a 时， 111 ( ) |1|1|1| (1)| (|1|)f xaxxa xxaxxx aaa ， 当1 0a ，( )f x有最小值，且为 1 |1| a ，又 1 |1| 1 a 不恒成立； 当0a ，0x 时，( )1 |1f xaxx 的最小值为f（1）1| 1a恒成立， 综上可得，a的范围是(0,)