2020届河南省郑州市高三年级二模数学（理科）试卷及答案.pdf

1、第 1页（共 21页） 2020 年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |135Ax axa ， |322Bxx，且ABA ，则实数a的 取值范围是() A(，9B(,9)C2，9D(2,9) 2 （5 分）已知复数 2 2i z i （其中i是虚数单位，满足 2 1)i 则z的共轭复数是() A12iB12iC2i D12i

2、3 （5 分）郑州市 2019 年各月的平均气温()C数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是( ) A20B21C20.5D23 4 （5 分）圆 22 (2)(12)4xy关于直线80xy对称的圆的方程为() A 22 (3)(2)4xyB 22 (4)(6)4xy C 22 (4)(6)4xyD 22 (6)(4)4xy 5 （5 分）在边长为 30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的 光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形， 要使整个广场都照明， 光源悬挂的高度至少为 () A30 米B20 米C15 2米D15 米 6 （5 分）若( 2 ，)，则2cos2si

3、n() 4 ，则sin2的值为() A 1 8 B 7 8 C1D 7 8 7 （5 分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是 4，则输入的x的取值范围是() 第 2页（共 21页） A(2,)B(2，4C(4，10D(4,) 8 （5 分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨 提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等劳伦 茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为 OKL的面积将 a Gini S ，称为基尼系数对于下列说法： Gini越小，则国民分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的函数为(

4、)yf x，则对(0,1)x ，均有 ( ) 1 f x x ； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 2( 0,1)yxx，则 1 4 Gini ； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 3( 0,1)yxx，则 1 2 Gini 其中不正确的是() ABCD 9 （5 分）2019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立 70 周年国庆日，将 2，0，1，9，10 按 第 3页（共 21页） 照任意次序排成一行，拼成一个 6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为() A96B84C120D360 10 （5 分）已知等差数列 n a的公差0d ，且 1 a， 3 a， 13 a成等比数列，若 1

5、1a ， n S为数 列 n a的前n项和，则 216 3 n n S a 的最小值为() A4B3C2 32D2 11 （5 分） 九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳 马” 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一 个球面上，则该球的表面积为() A6B2C6D24 12 （5 分）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点F作直线 b yx a 的垂线，垂足为A， 交双曲线左支于B点，若2FBFA ，则该双曲线的离心率为() A3B2C5D7 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，

6、每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）二项式 6 2 ()x x 展开的所有项的系数和为，展开式中的常数项是 14 （5 分）已知函数( ) 2 f x x ，( )cossing xxxx，当 4x ，4 且0x 时，方 程( )( )f xg x根的个数是 15 （5 分）已知四边形ABCD中，/ /ADBC，90BADADl，2BC ，M是AB边 上的动点，则|MCMD 的最小值为 16 （5 分）设函数 32, , xxxe y lnx x e m 的图象上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角 顶点的直角三角形（其中 0 为坐标原点） ，且斜边的中点恰好在y轴上，则实

7、数m的取值范 围是 第 4页（共 21页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a为公差不为零的等差数列， 7 77S ，且满足 2 11161 aa a （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足 1 11 (*) n nn a nN bb ，且 1 1 3 b ，求数列

8、n b的前n项和 n T 18 （12 分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018 年度全国 “最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于 2018 年 6 月启动，面向全国中学在校学 生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、 自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生” 现随机抽取了 30 名学生的票数，绘 成如图所示的茎叶图，若规定票数在 65 票以上（包括 65 票）定义为风华组票数在 65 票 以下（不包括 65 票）的学生定义为青春组 （）在这 30 名学生中，青春组学生中有男生 7 人，风华组学生中有女生 12

9、人，试问有没 有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关； （）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人， 那么至少有 1 人在青春组的概率是多少？ （）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取 4 人，用表示所选 4 人中青春组的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ；其中nabcd 独立性检验临界表： 2 0 ()P Kk 0.1000.0500.010 K2.7063.8416.635 第 5页（共 21页） 19 （12

10、分） 如图， 四边形ABCD是矩形， 沿对角线AC将ACD折起， 使得点D在平面ABC 上的射影恰好落在边AB上 （1）求证：平面ACD 平面BCD； （2）当2 AB AD 时，求二面角DACB的余弦值 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点(3,0)F的距离与A到定直线4x 距 离之比为 3 2 （）求动点A的轨迹C的方程； （）设点M，N是轨迹C上两个动点直线OM，ON与轨迹C的另一交点分别为P，Q， 且直线OM，ON的斜率之积等于 1 4 ， 问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明理由 21 （12 分）已知函数 1 ( ), ( )(0) lnxx f xg x

11、x ax （）当1a 时，求曲线 ( )f x y x 在1x 处的切线方程； （）讨论函数 1 ( )( ) ( ) F xf x g x 在(0,)上的单调性 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分第一题记分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，圆C的方程为2 sina(0)a 以极点为坐标原点，极轴 为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为 31 ( 43 xt t yt 为参数） （）求圆C的标准方

12、程和直线l的普通方程； （）若直线l与圆C交于A，B两点，且|3ABa 求实数a的取值范围？ 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|1|f xxa x （）当2a 时，解不等式( )5f x ； （）若( )|3|xa x ，求a的最小值 第 6页（共 21页） 2020 年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分

13、）已知集合 |135Ax axa ， |322Bxx，且ABA ，则实数a的 取值范围是() A(，9B(,9)C2，9D(2,9) 【解答】解：ABA ， AB，且 |135Ax axa ， |322Bxx， A 时，135aa ，解得3a ； A 时， 3 13 3522 a a a ，解得39a ， 综上得，实数a的取值范围是(,9) 故选：B 2 （5 分）已知复数 2 2i z i （其中i是虚数单位，满足 2 1)i 则z的共轭复数是() A12iB12iC2i D12i 【解答】解：复数 2 2 2 i zi i ，则z的共轭复数是2i 故选：C 3 （5 分）郑州市 2019

14、年各月的平均气温()C数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是( ) A20B21C20.5D23 【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为： 1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34， 所以中位数是 1 (2021)20.5 2 故选：C 第 7页（共 21页） 4 （5 分）圆 22 (2)(12)4xy关于直线80xy对称的圆的方程为() A 22 (3)(2)4xyB 22 (4)(6)4xy C 22 (4)(6)4xyD 22 (6)(4)4xy 【解答】解：由圆 22 (2)(12)4xy可得圆心坐标( 2,12)，半径为 2， 由题意可得关于直线8

15、0xy对称的圆的圆心与( 2,12)关于直线对称，半径为 2， 设所求的圆心为( , )a b则 212 80 22 12 1 2 ab b a 解得：4a ，6b ， 故圆的方程为： 22 (4)(6)4xy， 故选：C 5 （5 分）在边长为 30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的 光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形， 要使整个广场都照明， 光源悬挂的高度至少为 () A30 米B20 米C15 2米D15 米 【解答】解：如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，PAD是一个等腰直角三角形， 90APD OAB为等边三角形，30OA， OP 平面ABCDE

16、F， 45OAP， 30OPOA 要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m 故选：A 第 8页（共 21页） 6 （5 分）若( 2 ，)，则2cos2sin() 4 ，则sin2的值为() A 1 8 B 7 8 C1D 7 8 【解答】解：法1:( 2 ，)，且2cos2sin() 4 ， 22 2 2(cossin)(sincos) 2 ， 2 cossin 4 ，或cossin0（根据角的取值范围，此等式不成立排除） 2 cossin 4 ，则有 1 1sin2 8 ， 7 sin2 8 ； 故选：B 法2:( 2 ，)， 2( ,2 )， sin20， 综合选项，故选：B 7

17、（5 分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是 4，则输入的x的取值范围是() 第 9页（共 21页） A(2,)B(2，4C(4，10D(4,) 【解答】解：根据结果， 33(32)22 82x ，且333(32)22282x ， 解之得24x ， 故选：B 8 （5 分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨 提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等劳伦 茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为 OKL的面积将 a Gini S ，称为基尼系数对于下列说法： Gini越小，则国民分配越公

18、平； 设劳伦茨曲线对应的函数为( )yf x，则对(0,1)x ，均有 ( ) 1 f x x ； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 2( 0,1)yxx，则 1 4 Gini ； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 3( 0,1)yxx，则 1 2 Gini 其中不正确的是() 第 10页（共 21页） ABCD 【解答】 解： ： 由题意知A为不平等区域，a表示其面积，s为OKL的面积 当 a Gini S ， 则a越小，不平等区域越小，越公平，对， ：由图可知( )f xx，则对(0,1)x ，均有 ( ) 1 f x x ，错； ： 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 2( 0,1)yxx， 1

19、 2231 0 0 111 ()()| 236 axx dxxx ， 1 1 6 1 3 2 Gini ，错， ： 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 3( 0,1)yxx， 1 3241 0 0 111 ()()| 244 axx dxxx ， 1 1 4 1 2 2 Gini ，对， 故选：B 9 （5 分）2019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立 70 周年国庆日，将 2，0，1，9，10 按 照任意次序排成一行，拼成一个 6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为() A96B84C120D360 【解答】解：根据题意，将 2，0，1，9，10 按照任意次序排成一行， “10”是

20、一个整体，有 5 5 120A 种情况， 其中数字“0”在首位的情况有： 4 4 24A 种情况， 数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有： 4 4 24A 种， 则可以产生：12024241284种， 第 11页（共 21页） 故选：B 10 （5 分）已知等差数列 n a的公差0d ，且 1 a， 3 a， 13 a成等比数列，若 1 1a ， n S为数 列 n a的前n项和，则 216 3 n n S a 的最小值为() A4B3C2 32D2 【解答】解： 1 a， 3 a， 13 a成等比数列， 1 1a ， 2 31 13 aa a， 2 (12 )1 12dd ，

21、0d ， 解得2d 12(1)21 n ann 2 (1) 2 2 n n n Snn 22 216216(1)2(1)999 12 2 (1)24 322111 n n Snnn nn annnn ， 当且仅当 9 1 1 n n 时取等号，此时2n ，且 216 3 n n S a 取到最小值 4， 故选：A 11 （5 分） 九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳 马” 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一 个球面上，则该球的表面积为() A6B2C6D24 【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥PABCD底面ABCD为矩形

22、， 其中PD 底面ABCD 1AB ，2AD ，1PD 则该阳马的外接球的直径为1 146PB 第 12页（共 21页） 该阳马的外接球的表面积为： 2 6 4()6 2 故选：C 12 （5 分）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点F作直线 b yx a 的垂线，垂足为A， 交双曲线左支于B点，若2FBFA ，则该双曲线的离心率为() A3B2C5D7 【解答】解：设( ,0)F c，则直线AB的方程为() a yxc b 代入双曲线渐近线方程 b yx a 得 2 (aA c ，) ab c ， 由2FBFA ，可得 22 2 ( 3 ca B c ， 2 ) 3

23、 ab c ， 把B点坐标代入双曲线方程 22 22 1 xy ab ， 即 2222 222 (2)4 1 99 caa c ac ，整理可得5ca， 即离心率5 c e a 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）二项式 6 2 ()x x 展开的所有项的系数和为729，展开式中的常数项是 【解答】解：令1x 得所有项的系数和为 66 (12)3729， 通项公式 66 2 166 2 ( )2 kkkkkk k TC xCx x ，0k ，1，6， 令620k得3k ， 即常数项为 33 46 220

24、 8160TC ， 故答案为：729，160 第 13页（共 21页） 14 （5 分）已知函数( ) 2 f x x ，( )cossing xxxx，当 4x ，4 且0x 时，方 程( )( )f xg x根的个数是8 【解答】解：( )cossincossing xxxxxxx ； 令( )0g x得xk，kZ ( )g x在0，上是减函数，在，2 上是增函数，在2，3 上是减函数，在3， 4 上是增函数； 且(0)0g，( )g ；(2 )2g；(3 )3g ；(4 )4g 故作函数( )f x与( )g x在0，4 上的图象如下， 结合图象可知，两图象在0，4 上共有 4 个交点；

25、 又( )f x，( )g x都是奇函数，且( )f x不经过原点， ( )f x与( )g x在 4，4 上共有 8 个交点，故( )( )f xg x有 8 个零点 故答案为：8 15 （5 分）已知四边形ABCD中，/ /ADBC，90BADADl，2BC ，M是AB边 上的动点，则|MCMD 的最小值为3 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设(0, )Aa，(0, )Mb，且0 b a ； 则(2,0)C，(1, )Da； 所以(2,)MCb ，(1,)MDab ； 所以(3,2 )MCMDab ， 所以 22 ()9(2 )MCMDab ， 第 14页（共 21页） 当且仅

26、当20ab，即2ab时， |MCMD 取得最小值为93 故答案为：3 16 （5 分）设函数 32, , xxxe y lnx x e m 的图象上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角 顶点的直角三角形（其中 0 为坐标原点） ，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范 围是1e，) 【解答】解：假设曲线( )yf x上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴 两侧 不妨设(P t，( )(0)f tt ，则 32 (,)Qt tt， POQ是以O为直角顶点的直角三角形， 0OP OQ ，即 232 ( )()0tf t tt 若方程有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程无解，

27、不存在满足题设要求的 两点P、Q 若0te ，则 32 ( )f ttt 代入式得： 23232 ()()0ttttt ， 即 42 10tt ，而此方程无解，因此t e ，此时 1 ( )f tlnt m ， 代入式得： 232 1 ()()0tlnt tt m ， 即(1)mtlnt，令( )(1)()h xxlnx x e ， 则 1 ( )10h xlnx x ，( )h x在e，)上单调递增， t e ，( )h th （e）1e，( )h t的取值范围是1e，) 对于1m e ，方程总有解，即方程总有解 第 15页（共 21页） 故答案为：1e，) 三、解答题：共三、解答题：共 7

28、0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a为公差不为零的等差数列， 7 77S ，且满足 2 11161 aa a （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足 1 11 (*) n nn a nN bb ，且 1 1 3 b ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （）由题意，设等差数列 n a的公差

29、为(0)d d ，则 1 2 111 72177, (60 )(10 ) , ad a adad 解得 1 5 2 a d 52 (1)23 n ann，*nN （）依题意，由 1 11 n nn a bb ，可得 1 1 11 (2,*) n nn annN bb 则当2n 时， 121 1122111 111111111 ()()() nn nnnnn aaa bbbbbbbbb (1)(25)3nn (2)n n 当1n 时， 1 1 3 b ，即 1 1 3 b 也满足上式， 1 (2) n n n b ， 11 11 () (2)22 n b n nnn ，*nN 12341nnn

30、Tbbbbbb 111 111 111 111111 11 (1)()()()()() 232 242 352 4621122nnnn 111111111111 (1) 23243546112nnnn 1111 (1) 2212nn 2 35 4(1)(2) nn nn 18 （12 分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018 年度全国 “最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于 2018 年 6 月启动，面向全国中学在校学 第 16页（共 21页） 生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、 自觉树立和践行社会主义核心价值观的

31、“最美中学生” 现随机抽取了 30 名学生的票数，绘 成如图所示的茎叶图，若规定票数在 65 票以上（包括 65 票）定义为风华组票数在 65 票 以下（不包括 65 票）的学生定义为青春组 （）在这 30 名学生中，青春组学生中有男生 7 人，风华组学生中有女生 12 人，试问有没 有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关； （）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人， 那么至少有 1 人在青春组的概率是多少？ （）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取 4 人，用表示所选 4 人中青春组的人数，试写

32、出的分布列，并求出的数学期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ；其中nabcd 独立性检验临界表： 2 0 ()P Kk 0.1000.0500.010 K2.7063.8416.635 【解答】解：( ) I作出22列联表： 青春组风华组合计 男生7613 女生51217 合计121830 由列联表数据代入公式得 2 2 () 1.83 ()()()() n adbc K ab cdac bd ， 因为1.832.706， 故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关 第 17页（共 21页） （） 用A表示“至少有 1 人在青春组”

33、， 则至少有 1 人在青春组的概率为 2 3 2 5 7 ( )1 10 C p A C ()III由题知，抽取的 30 名学生中有 12 名学生是青春组学生，抽取 1 名学生是青春组学生 的概率为 122 305 ， 那么从所有的中学生中抽取 1 名学生是甲组学生的概率是 2 5 ， 又因为所取总体数量较多，抽取 4 名学生可以看出 4 次独立重复实验，于是服从二项分布 2 (4, ) 5 B 的取值为 0，1，2，3，4且 4 4 22 ()( ) (1),0,1,2,3,4 55 kkk PkCk 所以得的分布列为： 01234 P 81 625 216 625 216 625 96 6

34、25 16 625 数学期望 28 4 55 E 19 （12 分） 如图， 四边形ABCD是矩形， 沿对角线AC将ACD折起， 使得点D在平面ABC 上的射影恰好落在边AB上 （1）求证：平面ACD 平面BCD； （2）当2 AB AD 时，求二面角DACB的余弦值 【解答】证明： （1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE， 则DE 平面ABC，DEBC， 四边形ABCD是矩形， ABBC， BC平面ABD，BCAD， 又ADCD，AD平面BCD， 而AD 平面ACD，平面ACD 平面BCD 第 18页（共 21页） 解： （2）在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连结M

35、E， DE 平面ABC，DEAC， 又DMDED ，AC平面DME，EMAC， DMC是二面角DACB的平面角， 设ADa，则2ABa， 在ADC中，由题意得 5 5 AMa， 2 5 5 DMa， 在AEM中， 1 tan 2 EM BAC AM ， 解得 5 10 EMa， 1 cos 4 EM DME DM 二面角DACB的余弦值为 1 4 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点(3,0)F的距离与A到定直线4x 距 离之比为 3 2 （）求动点A的轨迹C的方程； （）设点M，N是轨迹C上两个动点直线OM，ON与轨迹C的另一交点分别为P，Q， 且直线OM，ON的斜率之积

36、等于 1 4 ， 问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明理由 【解答】解( ) I设( , )A x y，由题意， 22 (3)3 |4|2 xy x ， 化简得 22 412xy， 所以，动点A的轨迹C的方程为 22 1 123 xy ， （）解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则由斜率之积，得 12 12 1 4 y y x x ， 22 1212 |()()ABxxyy，因为点M，N在椭圆C上， 第 19页（共 21页） 所以 22 2212 12 3,3 44 xx yy 所以 22 2212 1212 ()16()(3)(3) 44 xx x xy y，

37、 化简得 22 12 12xx 直线AB的方程为 21212112 ()()0yy xxx yx yx y， 原点O到直线MN的距离为 1221 22 2121 | ()() x yx y d xxyy 所以，MON的面积 1221 11 | 22 AOB SAB dx yx y ， 根据椭圆的对称性，四边形MNPQ的面积 1221 2|Sx yx y， 所以， 222222 122112121221 4()4(2)Sx yx yx yx x y yx y， 22 22221 1212 1 4(3)(3)() 442 xx xxx x ， 22 12 12()144xx，所以12S 所以，四边

38、形MNPQ的面积为定值 12 21 （12 分）已知函数 1 ( ), ( )(0) lnxx f xg xx ax （）当1a 时，求曲线 ( )f x y x 在1x 处的切线方程； （）讨论函数 1 ( )( ) ( ) F xf x g x 在(0,)上的单调性 【解答】 解：（） 当1a 时， 曲线( )( ) 1 xlnx yf x g x x 22 (1)(1)1 (1)(1) lnx xxlnxlnxx y xx 1x 时，切线的斜率为 1 2 ，又切线过点(1,0) 所以切线方程为210xy ， （） 2 111 ( ),() ( )(1) fx axg xx ， 2 22

39、111(1) ( )( )() ( )(1)(1) xax F xfx g xaxxax x ， 当0a 时，( )0F x，函数( )F x在(0,)上单调递减； 当0a 时，令 2 121 ( )(1)k xxx aaa ， 4 1 a ， 当0时，即04a ，( ) 0k x ，此时( ) 0F x ，函数( )F x在(0,)上单调递增； 当0时，即4a ，方程 2 121 (1)0xx aaa 有两个不等实根 12 xx， 第 20页（共 21页） 所以 12 01xx ， 22 12 2424 (,) 22 aaaaaa xx 此时，函数( )F x在 1 (0,)x， 2 (x，

40、)上单调递增；在 1 (x， 2) x上单调递减 综上所述，当0a 时，( )F x的单减区间是(0,)； 当4a 时 ，( )F x的 单 减 区 间 是 22 2424 (,) 22 aaa aaa ， 单 增 区 间 是 22 2424 (0,),(,) 22 aaaaaa 当04a 时，( )F x单增区间是(0,) （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分第一题记分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，圆C的方程

41、为2 sina(0)a 以极点为坐标原点，极轴 为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为 31 ( 43 xt t yt 为参数） （）求圆C的标准方程和直线l的普通方程； （）若直线l与圆C交于A，B两点，且|3ABa 求实数a的取值范围？ 【解答】解： （）2 sina(0)a 2 2sina， 即 22 2xyay，即 222 ()xyaa，(0)a 则圆C的标准方程为 222 ()xyaa，(0)a 由 31 43 xt yt ，消去参数t得4350xy， 即直线l的普通方程为4350xy； （）由圆的方程得圆心(0, )Ca，半径Ra， 则圆心到直线的距离 22 |53

42、 |53 | 5 34 aa d ， |3ABa 22 23ada ， 第 21页（共 21页） 即 222 3 4 ada ， 则 2 2 4 a d ， 即 2 a d， 则 |53 | 52 aa ， 则 35 252 aaa ， 由 35 25 35 52 aa aa 得 10 11 10 a a 得 10 10 11 a 即实数a的取值范围是 10 10 11 a 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|1|f xxa x （）当2a 时，解不等式( )5f x ； （）若( )|3|xa x ，求a的最小值 【解答】解： （）当2a 时， 13 ,1 ( )3, 11 31,1 x x f xxx xx ， 由( )f x的单调性及 4 () 3 ff（2）5， 得( )5f x 的解集为 4 | 3 x x ，或2x （5 分） （）由( )|3|f xa x 得 |1| |1|3| x a xx ， 由|1|3|2|1|xxx 得 |1|1 |1|3|2 x xx ，得 1 2 a （当且仅当1x 或3x时等号成立） 故a的最小值为 1 2 （10 分）