2020届广西南宁市高三年级一模数学(理科)试卷及答案.pdf
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1、第 1页(共 22页) 2020 年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)年广西南宁市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 |10Ax x , | 12Bxx ,则(AB ) A(1,)B 1,)C 1,1D 1,2 2 (5 分) 设(1)1i xyi , 其中x,y是实数, 则xyi在复平面内所对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 (5 分)若实数x
2、,y满足 1 1 0 22 0 x xy xy ,则2zxy的最小值为() A1B2C4D10 4 (5 分)已知(0, ), 3 cos() 65 ,则sin的值为() A 4 33 10 B 3 34 10 C 7 10 D 2 3 5 5 (5 分)2.5PM是空气质量的一个重要指标,我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽 限值,即2.5PM日均值在 3 35/g m以下空气质量为一级,在 33 35/ 75/g mg m之间空 气质量为二级,在 3 75/g m以上空气质量为超标如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 2.5PM日均值(单位: 3 /)g m的统计数据
3、若从这 10 天中随机抽取 3 天进行进一步的空 气 质 量 数 据 分 析 , 则 空 气 质 量 为 一 级 的 恰 好 抽 取 了 2 天 的 概 率 为( ) A 3 10 B 3 5 C 2 5 D 1 30 6 (5 分)设a为正实数,函数 322 ( )32f xxaxa,若( ,2 )xaa ,( )0f x ,则a的取 值范围是() 第 2页(共 22页) A1,)B(0,)C(0,1)D 2 (0, ) 3 7 (5 分) 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F, 过 2 F且斜率为3 的直线与双曲线在第一象限的交点为
4、A线段 1 F A的中点为D,若 21 0F D F A ,则此双曲 线的离心率为() A3B 3 2 C 31 2 D31 8 (5 分) 如图, 四棱锥SABCD中,SD 平面ABCD,/ /ABCD,ADCD,SDCD, ABAD,2CDAD,M是BC中点,N是线段SA上的点,设MN与平面SAD所成角为 ,则sin的最大值为() A 3 5 7 B 3 3 7 C 2 5 7 D 2 3 7 9 (5 分)过曲线 x yex外一点( ,)ee作该曲线的切线l,则l在y轴上的截距为() A e eB 2e e C 1e e D 2e e 10 (5 分)已知抛物线 2 :4C yx的焦点为
5、F,准线为l,l与x轴的焦点为P,点A在抛 物线C上, 过点A作AAl , 垂足为 A , 若 3 cos 5 FAA, 则四边形AA PF 的面积为() A8B10C14D28 11 (5 分)已知定义域为R的奇函数( )f x的导函数为( )fx,当0x 时,( )( )xfxf x若 2 2 ( log 3) log 3 f a , 4 4 (log 6) log 6 f b , (sin) 8 sin 8 f c ,则a,b,c的大小关系为() AabcBcabCcbaDbca 12 (5 分) 已知函数( )2cos()1(0f xx,|)的一个零点是 4 x , 当 3 x 时 第
6、 3页(共 22页) 函数( )f x取最大值,则当取最小值时,函数( )f x在, 12 12 上的最大值为() A2B 3 2 C 3 2 D0 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分 第第 1321 题为必考题题为必考题, 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答 第第 22, 23 题为选考题题为选考题,考生根据要求作答考生根据要求作答二二、填空题填空题:本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分 13 (5 分)在平面上, 1 e 、 2 e 是方向相反的单位向量,若向量b 满足 12 ()()bebe ,则 |b 的值 14 (5
7、 分)设a,b,c分别为三角形ABC的内角A,B,C的对边,已知三角形ABC的 面积等于 222 3 () 4 bca,则内角A的大小为 15 (5 分)已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得,该几何体三视图如图 所示,则该几何体的体积为 16 (5 分)关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验 和查理斯实验,受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请 240 名同 学,每人随机写下两个都小于 1 的正实数x,y组成的实数对( , )x y,再统计两数能与 1 构 成钝角三角形三边的数对( , )x y的个数m;最后再根据计数m来估计的值假设统计
8、结果 是68m ,那么可以估计的近似值为 (用分数表示) 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (12 分)水稻是人类重要的粮食作物之一,耕种与食用的历史都相当悠久,日前我国南 方农户在播种水稻时一般有直播、 撒酒两种方式 为比较在两种不同的播种方式下水稻产量 的区别,某市红旗农场于 2019 年选取了 200 块农田,分成两组,每组 100 块,进行试验其 中第一组采用直播的方式进行播种,第二组采用撒播的方式进行播种得到数据如表: 产量(单位:840,860)860,880)880,900)90
9、0,920)920,940) 第 4页(共 22页) 斤) 播种方式 直播48183931 散播919223218 约定亩产超过 900 斤(含 900 斤)为“产量高” ,否则为“产量低” (1)请根据以上统计数据估计 100 块直播农田的平均产量(同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表) (2) 请根据以上统计数据填写下面的22列联表, 并判断是否有99%的把握认为 “产量高” 与“播种方式”有关? 产量高产量低合计 直播 散播 合计 附 2 2 () : ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 0 ()P Kk 0.100.0100.001 0 k 2.7066.
10、63510.828 18 (12 分)已知数列 n a满足 1 4a , 1 1 23 2n nn aa (1)证明:数列 2 n n a 为等差数列,并求数列 n a的通项公式; (2)设 1 64n n nn b a a ,求数列 n b的前n项和 n T 19 (12 分)如图所示,在四棱柱 1111 ABCDA BC D中,侧棱 1 AA 平面ABCD,底面ABCD 是直角梯形,ADAB,/ /ABCD, 1 224ABADAA (1)证明: 1 AD 平面 11 ABC D; (2)若1DC ,求二面角 11 BBCA的正弦值 第 5页(共 22页) 20 (12 分)已知椭圆 22
11、 2 :1(02) 4 xy Cb b 的离心率为 1 2 ,F为椭圆的右焦点,PQ为过 椭圆中心O的弦 (1)求PQF面积的最大值; (2)动直线与椭圆交于A、B两点,证明:在第一象限内存在定点M,使得当直线AM与 直线BM的斜率均存在时, 其斜率之和是与t无关的常数, 并求出所有满足条件的定点M的 坐标 21 (12 分)已知函数 2 ( )8()f xxxalnx aR (1)讨论函数( )f x的单调性; (2)已知函数( )f x的两个极值点 1 x, 212 (xxx,1)x ,若1m, 证明: 1 02x; 证明: 21 11 1 (2)(43) 1 alnx mxx x 请考生
12、在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答注意注意:只能做所选定的题目只能做所选定的题目如果多做如果多做,则按所则按所 做的第一个题目计分做的第一个题目计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,直线 1 l的倾斜角为30,且经过点(2,1)A以坐标 原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 2: cos3l,从原点O作射线交 2 l 于点M,点N为射线OM上的点,满足| | 12OMON ,记点N的轨迹为曲线C (1)设动点 1 Pl,记e 是直线 1 l的向上方向的单位方向向量,且APte ,以t为参数
13、求 直线 1 l的参数方程; 求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程; (2)设直线 1 l与曲线C交于P,Q两点,求 11 |APAQ 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数( ) |2|1|f xxx 第 6页(共 22页) (1)求不等式( )8f xx 的解集; (2)记函数( )yf x的最小值为k,若a,b,c是正实数,且 331 1 2kakbkc ,求证 239abc 第 7页(共 22页) 2020 年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)年广西南宁市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5
14、分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 |10Ax x , | 12Bxx ,则(AB ) A(1,)B 1,)C 1,1D 1,2 【解答】解: |1Ax x, | 12Bxx , 1AB ,) 故选:B 2 (5 分) 设(1)1i xyi , 其中x,y是实数, 则xyi在复平面内所对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解:由(1)1i xyi ,即1xxiyi , 则1x ,1y xyi 在复平面内所对应的点的坐标为:(1, 1),位于第四象限
15、故选:D 3 (5 分)若实数x,y满足 1 1 0 22 0 x xy xy ,则2zxy的最小值为() A1B2C4D10 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示: , 由2txy得:2yxt , 由图象得:2yxt 过(1,2)时,t最小, 4t 最小值 , 故选:C 第 8页(共 22页) 4 (5 分)已知(0, ), 3 cos() 65 ,则sin的值为() A 4 33 10 B 3 34 10 C 7 10 D 2 3 5 【解答】解:(0, ), 3 cos() 65 , 4 sin() 65 , 43134 33 sinsin() 66522510 故选:A 5 (5
16、 分)2.5PM是空气质量的一个重要指标,我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽 限值,即2.5PM日均值在 3 35/g m以下空气质量为一级,在 33 35/ 75/g mg m之间空 气质量为二级,在 3 75/g m以上空气质量为超标如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 2.5PM日均值(单位: 3 /)g m的统计数据若从这 10 天中随机抽取 3 天进行进一步的空 气 质 量 数 据 分 析 , 则 空 气 质 量 为 一 级 的 恰 好 抽 取 了 2 天 的 概 率 为( ) A 3 10 B 3 5 C 2 5 D 1 30 【解答】解:由某市 2019
17、年 12 月 1 日到 10 日2.5PM日均值(单位: 3 /)g m的统计数据 折线图得: 这 10 天中空气质量为一级的天数为 4 天, 从这 10 天中随机抽取 3 天进行进一步的空气质量数据分析, 基本事件总数 3 10 120nC, 空气质量为一级的恰好抽取了 2 天包含的基本事件个数 12 64 36mC C, 则空气质量为一级的恰好抽取了 2 天的概率 363 12010 m p n 第 9页(共 22页) 故选:A 6 (5 分)设a为正实数,函数 322 ( )32f xxaxa,若( ,2 )xaa ,( )0f x ,则a的取 值范围是() A1,)B(0,)C(0,1
18、)D 2 (0, ) 3 【解答】解:因为 2 ( )363 (2 )fxxaxx xa, 因为2axa时,( )0fx,故( )f x在( ,2 )aa上单调递减, 因为( ,2 )xaa ,( )0f x , 所以f(a) 32 220aa , 故1a 故选:A 7 (5 分) 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F, 过 2 F且斜率为3 的直线与双曲线在第一象限的交点为A线段 1 F A的中点为D,若 21 0F D F A ,则此双曲 线的离心率为() A3B 3 2 C 31 2 D31 【解答】解:斜率为3的直线l,其倾斜角
19、为60, 过 2 F且斜率为3的直线与双曲线在第一象限的交点为A,线段 1 F A的中点为D,若 21 0F D F A , 12 PFF是等腰三角形,即有 212 | | 2PFF Fc, 则有(2 cos60 ,2 sin60 )P ccc,即为(2 , 3 )Pcc, 代入双曲线方程双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ,即有 22 22 43 1 cc ab , 由离心率公式 c e a , 222 bca, 即有 2 2 2 3 41 1 e e e , 化简可得 42 4810ee , 解得: 2 3 1 2 e , 第 10页(共 22页) 由1e ,解得 13 2
20、 e 故选:C 8 (5 分) 如图, 四棱锥SABCD中,SD 平面ABCD,/ /ABCD,ADCD,SDCD, ABAD,2CDAD,M是BC中点,N是线段SA上的点,设MN与平面SAD所成角为 ,则sin的最大值为() A 3 5 7 B 3 3 7 C 2 5 7 D 2 3 7 【解答】解:如图所示,作MEAD,垂足为E, SD 平面ABCD,SD 平面SAD, 平面SAD 平面ABCD, 又ADCD,CD平面SAD / /MECD, ME平面SAD 连接NE,则MNE是MN与平面SAD所成角为, 作EFSA,连接MF, 此时MFE取得最大值 不妨设AB,则4CD ,可得 24 3
21、 2 ME , 22 42 sin1 5 24 EFAESAD 则 22 33 5 sin 72 ()3 5 EM FM 故选:A 第 11页(共 22页) 9 (5 分)过曲线 x yex外一点( ,)ee作该曲线的切线l,则l在y轴上的截距为() A e eB 2e e C 1e e D 2e e 【解答】解:设切线l在曲线 x yex上的切点为 0 (x, 0) y, 由 x yex,得1 x ye ,则切线l的斜率 0 0 |1 x x x kye , 切线l的方程为 0 00 (1)() x yyexx, l为曲线 x yex外一点( ,)ee的切线方程, 0 00 x yex, 0
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