2020届甘肃省兰州市高三年级一模数学（文科）试卷及答案.pdf

1、第 1页（共 21页） 2020 年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合0A ，1，2，3，4，5， |2Bx xn，nN，则(AB ) A0，2，4B2，4C1，3，5D1，2，3，4，5 2 （5 分）已知复数 5 2 2 i z i ，则| (z ) A5B5C13D13 3 （5 分）已知非零向量, a b ，给定:pR ，使得, :| |ab qabab

2、 ，则p是q的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4 （5 分）若 2 1tan 57 2 2sincos 1212 tan 2 ，则tan() A4B3C4D3 5 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线过点(2, 1)，则它的离心率是( ) A 5 2 B3C5D2 3 6 （5 分）已知集合 571113 , 66666 A ，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率 是() A 1 10 B 2 5 C 3 5 D 3 10 7 （5 分）近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的

3、散点图，如图所示： 年份12345 羊只数量（万 只） 1.40.90.750.60.3 第 2页（共 21页） 草地植被指数1.14.315.631.349.7 根据表及图得到以下判断： 羊只数量与草场植被指数成减函数关系； 若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为 1 |r，去掉第一年数据后得到的相关系数 为 2 r，则 12 | |rr；可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植 被指数； 以上判断中正确的个数是() A0B1C2D3 8 （5 分）已知函数 2 ( )(1)f xlnx，且 0.2 (0.2)af， 3 (log 4)bf， 1 3 (3)cf

4、log，则a、 b、c的大小关系为() AabcBcabCcbaDbca 9 （5 分）已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为 底面圆周上的一点，且60ABD，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为() A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 3 10 （5 分） 已知函数( )sin(sincos)(0)f xxxx， 若函数( )f x的图象与直线1y 在 (0, )上有 3 个不同的交点，则的范围是 A 1 ( 2 ， 3 4 B 1 ( 2 ， 5 4 C 5 ( 4 ， 3 2 D 5 ( 4 ， 5 2 11 （5 分）已知点( 4, 2)M ，抛

5、物线 2 4xy，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P做PQl，点Q为垂足，过P作抛物线的切线 1 l， 1 l与l交于点R， 则|QRMR的最小值为() A12 5B2 5C17D5 第 3页（共 21页） 12（5 分） 已知定义在R上的函数( )f x，( )fx是( )f x的导函数， 且满足 2 ( )( ) x xfxf xx e， f（1）e，则( )f x的最小值为() AeBeC 1 e D 1 e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数 2 ,1 ( ) 21,

6、1 x x f x xx ，则 2 3 ( (log) 2 f f 14 （5 分）已知向量a ，b 满足|2b ，向量a ，b 夹角为120，且()abb ，则向量 |ab 15 （5 分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且 222 2cabab， 8a ， 1 sin 23 A ，则c 16 （5 分）大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房蜂房的结构如图所示，开口为正 六边形ABCDEF，侧棱 AA 、 BB 、 CC 、 DD 、 EE 、 FF 相互平行且与平面ABCDEF垂 直， 蜂房底部由三个全等的菱形构成 瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这 种结构是

7、在相同容积下所用材料最省的， 因此， 有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设 计自己的家园英国数学家麦克劳林通过计算得到109 28 16B C D 已知一个房中 5 3BB ，2 6AB ，tan54 44 082，则此蠊房的表面积是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在等差数列 n a中， 1 8a ， 24 3aa （）求数列 n a的通项公式； 第 4页（共 21页） （）设 * 4 () (12) n n bnN na ， n T为数列 n b的前n项和，若 9 5 n T ，求n的值 18如图，在四棱锥PAB

8、CD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为 A，1PAAB，点A到平面PBC的距离为 3 3 ，且直线AC与PB垂直 （）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由； （）在（）的条件下，求三棱锥PEAC的体积 19甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境， 不断地进行研究与实践，实现了沙退人进2019 年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治 沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号在治沙过程中为检测某种固沙方法的 效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀 值是测量固沙效果的指标

9、之一， 数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小， 说明固沙 效果越好，数值为 0 表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和 坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数） ，并绘制了相应的频率分布直方图 ( ) I根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率； （）若一个插钎的风蚀值小于 30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方图， 完成列联表： 标记不标记合计 坡腰 第 5页（共 21页） 坡顶 合计 并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为 1 x和 2 x，若 12 | 20x

10、xcm，则可认为此固沙方法在 坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算 1 x和 2 x（同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表） ，并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk 0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 20已知点F为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆 的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆的标准方程； （）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线/ /A

11、M直线BN，直线AN、BM的斜 率分别为 1 k和 2 k，求证： 2 12 1(k kee为椭圆的离心率） 21已知函数 2 11 ( )2 3( 22 f xxalnxxaR且0)a （）当2 3a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）讨论函数( )f x的单调性与单调区间； （）若( )yf x有两个极值点 1 x， 2 x，证明： 12 ()()9f xf xlna 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标坐标 系与参数方程系与参数方程 22 在平面

12、直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 2 1 2 ( 2 2 2 xt t yt 为参数） ， 以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方程为2 2cos() 4 ， 曲线 2 C的直角坐标方程为 2 4yx 第 6页（共 21页） （）若直线l与曲线 1 C交于M、N两点，求线段MN的长度； （）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线 2 C上，求AB AP 的取值范 围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|22|f xxx，( ) |2|2 |g xxxaa （）求不等式( )4f x 的解集； （）对 1

13、xR， 2 xR，使得 12 ()()f xg x 成立，求a的取值范围 第 7页（共 21页） 2020 年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（文科）年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合0A ，1，2，3，4，5， |2Bx xn，nN，则(AB ) A0，2，4B2，4C1，3，5D1，2，3，4，5 【解答】解：集合1A ，2，3，4，5， |2Bx xn，nN

14、， 2AB ，4 故选：B 2 （5 分）已知复数 5 2 2 i z i ，则| (z ) A5B5C13D13 【解答】解：因为复数 55 (2) 22(2)212 2(2)(2) iii ziii iii ； 22 |125z； 故选：A 3 （5 分）已知非零向量, a b ，给定:pR ，使得, :| |ab qabab ，则p是q的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：由q可得向量, a b 同向共线， qp，反之不成立 p是q的必要不充分条件 故选：B 4 （5 分）若 2 1tan 57 2 2sincos 1212 tan 2

15、 ，则tan() A4B3C4D3 第 8页（共 21页） 【 解 答 】 解 ： 若 2 1tan 57 2 2sincos 1212 tan 2 ， 即 1 2cos( sin)2 1212tan ， 即 2cos1 sin 6sin2 ， cos1 sin4 ，故tan4 ， 故选：C 5 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线过点(2, 1)，则它的离心率是( ) A 5 2 B3C5D2 3 【解答】解：由题可知(2, 1)在双曲线的渐近线 b yx a 上，则2ab，即 22 4ab， 所以 222 22 5 2 cab e aa ， 故选：

16、A 6 （5 分）已知集合 571113 , 66666 A ，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率 是() A 1 10 B 2 5 C 3 5 D 3 10 【解答】解：集合 571113 , 66666 A ， 5 sinsin 66 ， 13 sinsin 66 ， 513 sinsin 66 ， 711 sinsin 66 ， 从A中任选两个角，基本事件总数 2 5 10nC， 其正弦值相等包含的基本事件个数 1 4 4mC， 其正弦值相等的概率是 42 105 m p n 故选：B 7 （5 分）近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的 散点图，如图所

17、示： 年份12345 第 9页（共 21页） 羊只数量（万 只） 1.40.90.750.60.3 草地植被指数1.14.315.631.349.7 根据表及图得到以下判断： 羊只数量与草场植被指数成减函数关系； 若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为 1 |r，去掉第一年数据后得到的相关系数 为 2 r，则 12 | |rr；可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植 被指数； 以上判断中正确的个数是() A0B1C2D3 【解答】解：对于，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以错 误； 对于，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为 1 |r， 因

18、为第一组数据(1.4,1.1)是离群值，去掉后得到的相关系数为 2 r，其相关性更强， 所以 12 | |rr，正确； 对于，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数，只是 预测值，所以错误； 综上知，正确的判断序号是，共 1 个 故选：B 8 （5 分）已知函数 2 ( )(1)f xlnx，且 0.2 (0.2)af， 3 (log 4)bf， 1 3 (3)cf log，则a、 b、c的大小关系为() AabcBcabCcbaDbca 第 10页（共 21页） 【解答】解：函数 2 ( )(1)f xlnx的减区间为(,0)，增区间为(0,)， 0.20 0

19、0.20.21， 3 log 41， 1 3 31log ， 0.2 (0.2)af， 3 (log 4)bf， 1 3 (3)cf log， bca 故选：D 9 （5 分）已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为 底面圆周上的一点，且60ABD，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为() A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 3 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系不妨设1OB 因为高和底面的半径相等，OEOBOA，OA 底面DEB 点D为底面圆周上的一点，且60ABD， ABADDB； D为BE的中点 则(0O，0，0)，(0B，1，0)，(1D，0，0

20、)，(0A，0，1)，(0E，1，0)， (0AB ，1，1)，( 1DE ，1，0)， cosAB ， 1 | 2| | AB DE DE ABDE ， 异面直线AM与PB所成角的大小为 3 异面直线AB与DE所成角的正弦值为 3 2 故选：A 10 （5 分） 已知函数( )sin(sincos)(0)f xxxx， 若函数( )f x的图象与直线1y 在 第 11页（共 21页） (0, )上有 3 个不同的交点，则的范围是 A 1 ( 2 ， 3 4 B 1 ( 2 ， 5 4 C 5 ( 4 ， 3 2 D 5 ( 4 ， 5 2 【解答】解：因为函数 1121 ( )sin(sin

21、cos)(1cos2)sin2sin(2)(0) 22242 f xxxxxxx ， 函数( )f x的图象与直线1y 在(0, )上有 3 个不同的交点； 即 21 sin(2)1 242 x 有 3 个根； 2 sin(2) 42 x 有三个根； (0, )x； 2( 44 x ，2) 4 ； 3 222 444 53 42 故选：C 11 （5 分）已知点( 4, 2)M ，抛物线 2 4xy，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P做PQl，点Q为垂足，过P作抛物线的切线 1 l， 1 l与l交于点R， 则|QRMR的最小值为() A12 5B2 5C17D5 【解

22、答】 解： 设 2 ( ,) 4 m P m， 则过P的切线的斜率为： 2 m k ，( , 1)Q m ， 2 PQ k m ，1 PQ kk ， 根据抛物线的定义，| |PFPQ 1 l为FQ的垂直平分线，| |RFRQ， |QRMR的最小值为 22 |( 40)( 2 1)5MF ， 故选：D 第 12页（共 21页） 12（5 分） 已知定义在R上的函数( )f x，( )fx是( )f x的导函数， 且满足 2 ( )( ) x xfxf xx e， f（1）e，则( )f x的最小值为() AeBeC 1 e D 1 e 【解答】解：由 2 ( )( ) x xfxf xx e，构

23、造函数 ( ) ( ) f x F x x ，则(Tex translation failed)， 所以可以设( ) x F xec，即 ( ) x f x ec x ，( ) x f xxecx， 又因为f（1）e得0c ，所以( ) x f xxe， 由( )(1)0 x fxex得1x ， 所以当1x 时( )0fx，即( )f x在(, 1) 上为减函数， 当1x 时( )0fx，( )f x在( 1,) 上为增函数， 所以 1 ( )( 1) min f xf e ， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 1

24、3 （5 分）已知函数 2 ,1 ( ) 21,1 x x f x xx ，则 2 3 ( (log) 2 f f4 【解答】解：函数 2 ,1 ( ) 21,1 x x f x xx ， 2 3 2 2 33 (log)2 22 log f， 2 333 ( (log)( )214 222 f ff 故答案为：4 14 （5 分）已知向量a ，b 满足|2b ，向量a ，b 夹角为120，且()abb ，则向量 第 13页（共 21页） |ab 6 【解答】解：因为()abb ，所以()0ab b ，即 2 0a bb ， 因为|2b ，向量a ，b 夹角为120，整理可得 2 | |cos

25、baba ，2b ， 即 1 2 |2 () 2 a ，所以| 2 2a ， 所以 222 |()2822 ( 2)6abababa b 故答案为：6 15 （5 分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且 222 2cabab， 8a ， 1 sin 23 A ，则c 9 【解答】解：由 222 2cabab得 222 22 cos 222 abcab C abab ， 2 2 sin1 2 Ccos C 显然(0,) 22 A ，结合 1 sin 23 A ， 2 2 2 cos1 223 AA sin， 4 2 sin2sincos 229 AA A 8a ，由正弦定理得

26、sinsin ac AC ，即 8 4 22 92 c ， 9c 故答案为：9 16 （5 分）大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房蜂房的结构如图所示，开口为正 六边形ABCDEF，侧棱 AA 、 BB 、 CC 、 DD 、 EE 、 FF 相互平行且与平面ABCDEF垂 直， 蜂房底部由三个全等的菱形构成 瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这 种结构是在相同容积下所用材料最省的， 因此， 有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设 计自己的家园英国数学家麦克劳林通过计算得到109 28 16B C D 已知一个房中 5 3BB ，2 6AB ，tan54 44 082，则此蠊房的表

27、面积是216 2 第 14页（共 21页） 【解答】解：连接BD，B D ，则由题意/ /BDB D ，6 2BDB D ， OB C D 为菱形，109 28 16B C D ，tan54 44 082， 1 3 2 2 226 tan54 44 082 B D OC ，3 3B C ， 22 4 3CCBBBCBC ， 2 65 34 3 27 2 2 BB CC S 梯形 ， 1 627 2366 2216 2 2 S 表面积 故答案为：216 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在等差数列 n a中， 1 8a

28、 ， 24 3aa （）求数列 n a的通项公式； 第 15页（共 21页） （）设 * 4 () (12) n n bnN na ， n T为数列 n b的前n项和，若 9 5 n T ，求n的值 【解答】解： （）设等差数列 n a的公差是d，由 1 8a ， 24 3aa得：83( 83 )dd 解得2d ， 所以102 n an ； （）由（）知102 n an ， 4411 2() (12)(22)1 n n b nannnn ， 所以 1111112 2()()() 122311 n n T nnn ， 由 9 5 n T 解得9n 18如图，在四棱锥PABCD中，底前ABCD为平

29、行四边形，点P在面ABCD内的射影为 A，1PAAB，点A到平面PBC的距离为 3 3 ，且直线AC与PB垂直 （）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由； （）在（）的条件下，求三棱锥PEAC的体积 【解答】解： （）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行 证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点， 因为点E为PD中点， 故OE为PDB的中位线，则/ /OEPB，OE 平面ACE，PB 平面ACE， 所以PB与平面ACE平行 （）根据题意ACPB，PA 底面ABCD，AC 底面ABCD，则有ACPA， PAPBP ， 所以AC 平面PAB，则ACAB设ACx， 2 11

30、1113 1 12 323223 pACBA PBC VVxx ，得1AC ， 则 11111 1 1 1 223212 P EACPACD VV 第 16页（共 21页） 19甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境， 不断地进行研究与实践，实现了沙退人进2019 年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治 沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号在治沙过程中为检测某种固沙方法的 效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀 值是测量固沙效果的指标之一， 数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小， 说明固沙 效果

31、越好，数值为 0 表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和 坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数） ，并绘制了相应的频率分布直方图 ( ) I根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率； （）若一个插钎的风蚀值小于 30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方图， 完成列联表： 标记不标记合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为 1 x和 2 x，若 12 | 20xxcm，则可认为此固沙方法在 坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算 1 x和 2

32、x（同一组中的数据用该组区间 第 17页（共 21页） 的中点值为代表） ，并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk 0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 【解答】解：( ) I设“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的事件为C， 则P（C）0.080.160.360.6； （）由频率分布表，填写列联表如下： 标记不标记合计 坡腰302050 坡顶203050 合计5050100 由表中数据，计算 2 2 100 (30 302020) 43.841 50 50

33、50 50 K ， 所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关； （）计算 1 0.08 50.16 150.36250.24350.12450.045525.8()xcm， 2 0.0450.12 150.24250.32350.20450.08 5532.6()xcm， 且 12 | 4.820xx， 所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异 20已知点F为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆 的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆的标准方程； （）若M、N在椭圆上但不在坐

34、标轴上，且直线/ /AM直线BN，直线AN、BM的斜 率分别为 1 k和 2 k，求证： 2 12 1(k kee为椭圆的离心率） 【解答】解： （）由题意可知， 3 1 ac ac ，解得 2 1 a c ， 222 3bac， 椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy ； 第 18页（共 21页） （）由（）可知，(2,0)A，(0,3)B， 设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k， 故直线AM的方程为(2)yk x，直线BN的方程为3ykx， 由 22 3412 (2) xy yk x 得： 2222 (34)1616120kxk xk， 2 2 1612 2 34 M k x k

35、 ， 2 2 86 34 M k x k ， 2 12 34 M k y k ， 2 22 8612 (,) 3434 k M kk ， 由 22 3412 3 xy ykx 得： 22 (34)8 30kxkx， 2 8 3 34 N k x k ， 2 2 4 33 3 34 N k y k ， 2 22 8 34 33 3 (,) 3434 kk N kk ， 2 2 2 1 2 2 4 33 3 3(43) 34 8 32(44 33) 2 34 k k k k kkk k ， 2 2 2 22 2 12 3 3(44 33) 34 862(43) 34 k kk k k kk k ，

36、 22 12 2 2 3(43)3(44 33)3 2(43)42(44 33) kkk k k kkk ， 又 1 2 c e a ， 2 12 1k ke 21已知函数 2 11 ( )2 3( 22 f xxalnxxaR且0)a （）当2 3a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）讨论函数( )f x的单调性与单调区间； （）若( )yf x有两个极值点 1 x， 2 x，证明： 12 ()()9f xf xlna 【 解 答 】 解 ：（ ） 因 为2 3a 时 ， 2 11 ( )2 32 3 22 f xxlnxx， 所 以 第 19页（共 21页）

37、2 3 ( )2 3fxx x ，那么f（1）1 ，f（1）2 3， 所以曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为：2 3(1)yx ， 即2 310xy ， （）由题意可知( )f x的定义域为(0,)， 因为 2 2 3 ( )2 3 axa fxx xx ， 由 2 2 30xxa可得： 1240a， 即3a 时，有 1 33xa， 2 33xa， 12 xx，又当(0,3)x时，满足 12 0xx， 所以有 2 (0,)xx和 1 (x，)时，( )0fx， 即( )f x在区间 2 (0,)x和 1 (x，)上为减函数 又 2 (xx， 1) x时，( )0fx，即( )

38、f x在区间 2 (x， 1) x上为增函数 当0a 时，有 1 0x ， 2 0x ，则 1 (0,)xx时，( )0fx，( )f x为增函数； 1 (xx，)时， ( )0fx，( )f x为减函数； 当3a 时，0，( ) 0fx恒成立，所以( )f x在(0,)为减函数， 综上所述，当0a 时，在(0,33)a，( )f x为增函数；在(33a，)，( )f x为减 函数； 当03a时，( )f x在区间(0,33)a和(33a，)上为减函数，在(33a， 33)a，( )f x为增函数； 当3a 时，在(0,)上，( )f x为减函数 （）因为( )yf x有两个极值点 1 x，

39、2 x，则 2 2 3 ( )0 xa fx x 有两个正根 1 x， 2 x， 则1240a， 12 2 3xx， 12 0x xa， 即(0,3)a，所以 22 12121212 1 ()()2 3()()()17 2 f xf xxxaln x xxxalnaa ， 若要 12 ()()9f xf xlna，即要20alnalnaa， 构造函数( )2g xxlnxlnxx，则 11 ( )11g xlnxlnx xx ，且在(0,3)上为增函数， 又g（1）10 ，g（2） 1 20 2 ln， 所以存在 0 (1,2)x ，使得 0 ()0g x，即 0 0 1 lnx x ，且 0

40、 (1,)xx时，( )0g x，( )g x单调递 第 20页（共 21页） 减， 0 (xx，2)时，( )0g x，( )g x单调递增， 所以( )g x在(1,2)上有最小值 000000 0 1 ()23()g xx lnxxlnxx x ， 又 因 为 0 (1,2)x ， 则 0 0 15 (2, ) 2 x x ， 所 以 0 ()0g x在 0 (1,2)x 上 恒 成 立 ， 即 12 ()()9f xf xlna成立 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标坐标

41、 系与参数方程系与参数方程 22 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 2 1 2 ( 2 2 2 xt t yt 为参数） ， 以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方程为2 2cos() 4 ， 曲线 2 C的直角坐标方程为 2 4yx （）若直线l与曲线 1 C交于M、N两点，求线段MN的长度； （）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线 2 C上，求AB AP 的取值范 围 【解答】解： （）直线l的参数方程为 2 1 2 ( 2 2 2 xt t yt 为参数） ，转换为直角坐标方程为 10xy ， 曲线 1 C的极坐标方程为

42、2 2cos() 4 ，转换为直角坐标方程为 22 220xyxy， 转换为标准式为 22 (1)(1)2xy， 所以圆心(1, 1)到直线10xy 的距离 12 22 d ， 所以弦长 22 2 | 2 ( 2)()6 2 MN （）线 2 C的直角坐标方程为 2 4yx转换为直角坐标方程为 22 4xy，转换为参 第 21页（共 21页） 数方程为 2cos (0) 2sin x y 由于(1,0)A，(0,1)B，点P在曲线 2 C上，故(2cos ,2sin )P， 所以( 1,1)AB ，(2cos1,2sin )AP ，(0) ， 所以2 2sin()1 4 AB AP ， 故： 2 sin() 1 24 ， 所以 1,2 21AB AP 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|22|f xxx，( ) |2|2 |g xxxaa （）求不等式( )4f x 的解集； （）对 1 xR， 2 xR，使得 12 ()()f xg x 成立，求a的取值范