（终稿）2020届福州市高中毕业班第三次质量检查文科数学试卷含答案.docx

1、文科数学试题（第 1 页共 15 页） 准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 20202020 年年福州市高中毕业班第三次质量检测福州市高中毕业班第三次质量检测 数数 学 （ 文学 （ 文 科科 ） 试） 试 卷卷 （完卷时间:120 分钟；满分:150 分） （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 5 页 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一

2、致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第 卷第 卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1. 设全集|8,UxxN集合1,3,7A，则 UA A2,4,5,6 B0,2,4,5,6 C2,4,5,6,8 D0,2,4,5,6,8 2. 已

3、知纯虚数z满足(1 i)2iza，则实数a等于 A2 B1 C1 D2 3. 曲线1exyx在1x 处的切线方程为 Aee0xy Be +e0x y Ce10xy De10xy 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的m A1 B2 C3 D4 5. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 20202020 2020aS， 则 n a的公差为 A2 B2 C2019 D 2019 文科数学试题（第 2 页共 15 页） 6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次四人测试成绩对应 的条形图如下： 以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确 的是 A平均数相同 B中

4、位数相同 C众数不完全相同 D方差最大的是丁 7. 为了得到曲线cosyx，只需把曲线sin 2 6 yx 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 A 3 个单位长度 B 12 个单位长度 C 3 个单位长度 D 6 个单位长度 8. 已知平面, , 两两垂直，直线, ,a b c满足：,abc，则直线, ,a b c可能满 足以下关系：两两相交；两两垂直；两两平行；两两异面其中所有正确结 论的编号是 A B C D 9. 已知椭圆 22 2 :10 9 xy Cb b 的右焦点为F，以C上点M为圆心的圆与x轴相切于 点F，并与y轴交于A，B两点若4FA FB，

5、则C的焦距为 A2 B2 C2 2 D4 10. 已知定义在R上的函数 f x满足 4fxfx ，函数2f x 为偶函数，当 0,2x时， f x 32 9 6 + 2 xxxa .若2,0x 时， f x的最大值为 1 2 ， 则a A3 B2 C 1 2 D 3 2 11. 2019 年世界读书日，陈老师给全班同学开了一份书单，推荐同学们阅读，并在 2020 文科数学试题（第 3 页共 15 页） 年世界读书日时交流读书心得 经了解， 甲、 乙两同学阅读书单中的书本有如下信息： 甲同学还剩 1 3的书本未阅读； 乙同学还剩 5 本未阅读； 有 1 4 的书本甲、乙两同学都没阅读 则甲、乙两

6、同学已阅读的相同的书本有 A2 本 B4 本 C6 本 D8 本 12. 若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为 1，当该圆锥体积取 最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 A.8:3 B.6:1 C .3:1 D. 2:1 第卷第卷 注意事项注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分第第 (13)(21) 题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须 作答作答第第 (22) 、(23) 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共二、

7、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13. 已知向量1,2a，,1tb， 若, a b夹角的余弦值为 5 5 ， 则实数t的值为 14. 已知双曲线C过点 1, 5，且渐近线方程为2yx ，则C的离心率为 15. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是 “每个大于 2 的偶数可以拆分为两个素数的和”，如307+23131711 19，30 有 3 种拆分方式；633，6 只有 1 种拆分方式.现从大于 4 且小于 16 的偶数中随机任 取一个，取出的数有不止一种上述拆分方式的概率为 16. “熔喷布”是口罩生产的重要原材料， 1 吨熔喷

8、布大约可供生产 100 万只口罩 2020 年， 制造口罩的企业甲的熔喷布 1 月份的需求量为 100 吨，并且从 2 月份起，每月熔喷布 的需求量均比上个月增加 10%企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙 2020 年 1 月份的产能为 100 吨，为满足市场需求，从 2 月份到k月份28kkN且， 每个月比上个月增加一条月产量为 50 吨的生产线投入生产， 从+1k月份到 9 月份不再 增加新的生产线 计划截止到9月份， 企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外， 还剩余不少于 990 吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加 条熔喷布生 产线 （参考数据： 8 1.12.14，

9、9 1.12.36） 文科数学试题（第 4 页共 15 页） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 12 分） ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，1a 且3cossinCcA （1）求C； （2）若3b ，D是AB上的点，CD平分ACB，求ACD的面积 18. （本小题满分 12 分） 为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，某机构随机地选取20 位患者服用A药，20位患者服用B药，观察这40位患者的睡眠改善情况这些患者 服用一段时间后，根据患者的日平均增加睡眠时间（单位：h）

10、，以整数部分当茎， 小数部分当叶，绘制了如下茎叶图： A药 B药 8 7 3 5 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 0 0 5 2 1 0 0. 1. 2. 3. 4 5 7 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6 7 2 3 （1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由； （2）求这40名患者日平均增加睡眠时间的中位数m，并将日平均增加睡眠时间超过 m和不超过m的患者人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 服用A药 服用B药 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为,A B两种药的疗效有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc

11、 K ab cd ac bd . 2 0 P Kk 0.01 0.005 0.001 0 k 6.635 7.879 10.828 19. （本小题满分 12 分） 如图，在多面体PABCD中，平面ABCD平面PAD，ADBC，90BAD， 120PAD，1BC ，2ABADPA （1）求多面体PABCD的体积； （2）已知E是棱PB的中点，在棱CD是否存在点F使 得EFPD， 若存在， 请确定点F的位置； 若不存在， A D CB P 文科数学试题（第 5 页共 15 页） 请说明理由. 20. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :4C yx，直线: 2(0)l xmym 与C交于A

12、，B两点，M为AB的中 点，O为坐标原点. （1）求直线OM斜率的最大值； （2）若点P在直线2x 上，且PAB为等边三角形，求点P的坐标. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2lnf xxaxx. （1）求函数 f x的单调区间； （2）设函数 f x有两个极值点 1212 ,x xxx，若 12 f xmx恒成立，求实数 m 的取 值范围 请考生在第（请考生在第（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目如果多如果多 做， 则按所做第一个题目计分， 作答时请用做， 则按所做第一个题目计分， 作答时

13、请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22. （本小题满分 10 分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 33 ,xkt yt （t为参数） ，直线 2 l的参数 方程为 33 ,xm ykm （m为参数） 设 1 l与 2 l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲 线 1 C （1）求 1 C的普通方程； （2）设Q为圆 2 2 2: 43Cxy上任意一点，求PQ的最大值 23. （本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲 已知0,0ab， 222 4abc （1）当1c 时，求证： 33 9abab；

14、（2）求 222 441 1abc 的最小值 文科数学试题（第 6 页共 15 页） 20202020 年年福州市高中毕业班第三次质量检测福州市高中毕业班第三次质量检测 数学（文科）参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累

15、加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 60 分分 1D 2A 3B 4C 5B 6D 7A 8C 9C 10A 11C 12D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 3 4 14 5 2 15 2 5 16 5 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 【

16、命题意图】本小题以解三角形为载体，考查正弦定理、三角形面积公式等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素 养，体现基础性、综合性 【解析】解法一： （1）因为1a 且3cossinCcA， 所以3 cossinaCcA， 1 分 根据正弦定理，得3sincossinsinACCA， 3 分 因为0,A，所以sin0A，所以tan3C ， 4 分 因为0,C，所以 3 C 5 分 （2）由（1）知， 3 ACB ， 因为1a ，3b ， 文科数学试题（第 7 页共 15 页） 所以ABC的面积 133 3 sinsin 2234 ABC SabACB ，

17、7 分 因为D是AB上的点，CD平分ACB， 所以 1 sin 1 26 1 3 sin 26 BCD ACD a CD Sa Sb b CD ， 9 分 因为 ABCACDBCD SSS ， 10 分 所以 333 39 3 44416 ACDABC SS 12 分 解法二： （1）根据正弦定理，得 sinsin ac AC ，及1a 得， 所以sinsincAC， 2 分 又因为3cossinCcA，所以3cossinCC， 3 分 所以tan3C ， 4 分 因为0,C，所以 3 C 5 分 （2）由（1）知， 3 ACB ， 因为1a ，3b ， 所以ABC的面积 133 3 sins

18、in 2234 ABC SabACB ， 7 分 因为D是AB上的点，CD平分ACB， 所以ACD的面积 13 sin 264 ACD Sb CDCD ， 8 分 所以BCD的面积 11 sin 264 BCD Sa CDCD ， 9 分 因为 ABCACDBCD SSS ， 10 分 所以 31 44 ABC SCDCDCD ， 所以 3 3 4 CD 11 分 所以 333 39 3 44416 ACD SCD 12 分 18 【命题意图】本小题以“治疗失眠症的药”为载体设计试题，主要考查茎叶图、样 本的数字特征、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用 意识，考查统计与

19、概率思想，考查数学抽象、数据分析、数学运算等核心素养，体 文科数学试题（第 8 页共 15 页） 现基础性与应用性 【解析】(1)（以下理由任说一种都可得 4 分） 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有 4 5 的叶集中在茎2和3上， 而B药疗效的试验结果有 3 4 的叶集中在茎0和1上，由此可看出A药的疗效更好 从茎叶图的分布情况可以看出，服用A药的患者日平均增加睡眠时间的平均数大于 2，而服用药的患者日平均增加睡眠时间的平均数小于2，因此可知A药的疗效更 好 由茎叶图可知，服用A药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是 2.4+2.5 =2.45h 2 ， 而服用B药的患者日平均增加睡眠

20、时间的中位数是 1.4+1.5=1.45h 2 ，因此A药的疗效 更好 由茎叶图可知， 服用A药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎2上的最多， 关于茎2 大致呈对称分布；而服用B药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎1上的最多，关于 茎1大致呈对称分布；又患者在服用两种药后日平均增加睡眠时间分布的区间相同， 故可以认为服用A药的患者日平均增加睡眠时间比服用B药的患者日平均增加睡眠 时间更多，因此A药的疗效更好 4 分 （2）由茎叶图可知，40组数据的中位数为=2.0m， 6 分 因此列联表如下： 超过m 不超过m 服用A药 14 6 服用B药 5 15 8 分 （3）由于 2 2 40 (14 15

21、6 5)1080 8.1206.635 2020 1921133 K ， 11 分 所以有99%的把握认为,A B两种药的疗效有差异 12 分 19 【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查线面平行、线面垂直的判定与性质、 空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力， 考查化归与转化思想， 考查直观想象、 逻辑推理、 数学运算等核心素养， 体现基础性、 综合性 【解析】解法一： （1）如图，作PHAD交DA的延长线于H， 因为平面ABCD 平面PAD， 平面ABCD平面PADAD， B A BC D P H 文科数学试题（第 9 页共 15 页） 且PH 平面PAD

22、， 所以PH 平面ABCD， 2 分 所以PH为点P到平面ABCD的距离 3 分 因为120PAD，2PA，所以sin603PHPA， 4 分 又 1 3 2 ABCD SBCADAB 四边形 ， 5 分 所以 11 333 33 P ABCDABCD VPH S 四边形 6 分 （2）假设棱CD上存在点F，使得EFPD连接BD，取BD的中点M， 在BPD中， 因为,E M分别为,BP BD的中点， 所以EMPD 8 分 因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 所以EM与EF重合 因为点F在线段CD上，所以FBDCD， 又BDCDD， 所以F是BD与CD的交点D，即EF就是ED， 而

23、ED与PD相交， 10 分 这与EFPD相矛盾， 11 分 所以假设不成立， 故棱CD上不存在点F使得EFPD 12 分 解法二： （1）因为平面ABCD 平面PAD，且平面ABCD平面PADAD， ,BAAD BA平面ABCD， 所以BA平面PAD， 2 分 依题意， 113 sin223 222 PAD SAD APPAD ， 所以 112 3 32 333 B PADPAD VSAB 3 分 在梯形ABCD中，由,2ADBC ADBC知2 ABDBCD SS ， 4 分 所以2 P ABDP BCD VV ， 5 分 所以 3332 3 3 2223 PABCDP ABDP BCDP A

24、BDB PAD VVVVV 6 分 （2）假设棱CD上存在点F，使得EFPD， 显然F与点D不同， 所以, ,P E F D四点共面，记该平面为， 8 分 所以P，PE，FD， A BC P D E F M A BC P D E F 文科数学试题（第 10 页共 15 页） 又BPE，CFD， 所以B，C， 所以, , ,P B C D共面于， 10 分 这与PABCD为四棱锥相矛盾， 11 分 所以假设不成立， 故棱CD上不存在点F使得EFPD 12 分 20 【命题意图】本小题以抛物线为载体考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力、直观想象能力，考查函数与方程、

25、数形结合等数学 思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性 【解析】解法一： （1）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 由 2 2, 4 xmy yx ，消去x得， 2 480ymy ， 1 分 2 16320,m 且 1212 4 ,8yym y y 2 分 所以 2 1212 ()444.xxm yym 因为M为AB的中点， 所以M的坐标为 1212 (,) 22 xxyy ，即 2 (22,2 )Mmm， 3 分 又因为0m ，所以 22 2111 1 22121 2 OM mm k mm m m m m ， 5 分 （当且仅当 1 m m ，

26、即1m 等号成立 ） 所以直线OM的斜率的最大值为 1 . 2 6 分 （2）由（1）知， 2 222 12121212 |22ABxxyymymyyy 222 121212 1|1()4myymyyy y = 22 11632mm 22 4 12mm， 8 分 由PMAB得 2222 |1() |22( 2)| 2(2) 1PMmmmm ， 9 分 文科数学试题（第 11 页共 15 页） 因为PAB为等边三角形，所以 3 | 2 PMAB， 10 分 所以 2222 2(2) 12 312mmmm， 所以 2 23m ，所以 2 1m ，解得1,m 因为0,m所以1m ， 11 分 则(4

27、,2)M，直线MP的方程为2(4)yx ，即6yx ， 所以2x 时，8y ， 所以所求的点P的坐标为( 2,8) 12 分 解法二： （1）设 112200 ( ,), (,),(,)A x yB xyM xy， 因为M为AB的中点，且直线:2(0)l xmym， 所以 012 2=,yyy 12 12 , xx m yy 1 分 由 2 11 2 22 4 , 4, yx yx 得 22 1212 44,yyxx 所以 12 12 12 4 , xx yy yy 所以 0 24 ,ym即 0 2ym 2 分 所以 2 00 222,xmym即 2 (22,2 )Mmm， 3 分 又因为0m ，所以 22 2111 1 22121 2 OM mm k mm m m m m ， 5 分 （当且仅当 1 m m ，即1m 等号成立 ） 所以直线OM的斜率的最大值为 1 . 2 6 分 （2）由 2 2, 4 xmy yx ，消去x得， 2 480ymy ， 2 16320,m 且 1212 4 ,8yym y y