2020届安徽省合肥市高三年级二模数学（理科）试卷及答案.pdf

1、- 1 - 2020 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科） 一一、选选择择题题：本本大大题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，满满分分 60 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只 有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的 1 （5 分）若集合 2 |23 0Ax xx ， |22 x Bx ，则(AB ) A 1 ,3 2 B 1 ,1 2 C 1 3, 2 D2，3 2（5 分） 欧拉公式cossin i ei 把自然对数的底数e， 虚数单位i， 三角函数cos和sin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足() i ei

2、 zi ， 则| (z ) A1B 2 2 C 3 2 D2 3 （5 分）若实数x，y满足约束条件 24 0 4 0 323 0 xy xy xy ，则2zxy的最小值是() A5B4C7D16 4 （5 分）已知( )f x为奇函数，当0x 时， 2 ( )( x f xeex e 是自然对数的底数） ，则曲线 ( )yf x在1x 处的切线方程是() Ayexe Byexe CyexeD 11 (2)2yexe ee 5 （5 分）若cos803tan101m ，则(m ) A4B2C2D4 6 （5 分）已知函数( )tan()(0,0) 2 f xx 的图象关于点(,0) 6 成中心

3、对称，且 与直线ya的两个相邻交点间的距离为 2 ，则下列叙述正确的是() A函数( )f x的最小正周期为 B函数( )f x图象的对称中心为(,0)() 6 kkZ C函数( )f x的图象可由tan2yx的图象向左平移 6 得到 D函数( )f x的递增区间为(,)() 2326 kk kZ 7 （5 分） 九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” - 2 - 魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法： 如图 1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分 成一个内接正方形（黄)和两个小直角三角

4、形（朱、青） 将三种颜色的图形进行重组，得 到如图 2 所示的矩形，该矩形长为ab，宽为内接正方形的边长d由刘徽构造的图形可 以得到许多重要的结论，如图 3设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形 对角线AE，过点A作AFBC于点F，则下列推理正确的是() 由图 1 和图 2 面积相等可得 ab d ab ；由AE AF 可得 22 22 abab ； 由AD AE 可得 22 2 11 2 ab ab ；由AD AF 可得 22 2abab ABCD 8 （5 分）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业 扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、

5、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调 研得知，这四个贫困户选择A，B，C三个扶贫项目的意向如表： 扶贫项目ABC 贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁 若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项， 且每个项目至多有两个贫 困户选择，则不同的选法种数有() A24 种B16 种C10 种D8 种 9 （5 分）某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示已知半球的半 径为6，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为() - 3 - A24B(183 3)C21D(184 2) 10 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点(3,0)D的直线交抛物线C于点A

6、，B， 若| |13FAFB ，则(FA FB ) A9B11C12D2 3 11 （5 分）若关于x的不等式224axaxlnx有且只有两个整数解，则实数a的取值范 围是() A(23ln，22lnB(,22)lnC(，23lnD(,23)ln 12 （5 分）在三棱锥PABC中，二面角PABC、PACB和PBCA的大小均等 于 3 ，:3:4:5AB AC BC ， 设三棱锥PABC外接球的球心为O， 直线PO与平面ABC交 于点Q，则( PO OQ ) A 1 4 B2C3D4 二二、填填空空题题：本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，满满分分 20 分分.第第 16

7、题题第第一一空空 2 分分，第第二二空空 3 分分. 把把答答案案填填在在答答题题卡卡上上的的相相应应位位置置. 13 （5 分）已知向量a 和b 满足| |2 |2aab ，| 1ab ，则a b 14 （5 分）三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球 爱好者，在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加甲、乙丙三人 都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人若由甲开始发球（记为第一次传球） ，则第 4 次传球后，球仍回到甲的概率等于 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为点F， 点B是虚轴的一个端点，

8、点P为双曲线C左支上一个动点， 若BPF周长的最小值等于实轴长的 4 倍， 则双曲线C的 渐近线方程为 16 （5 分）已知ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，sinB， - 4 - sinC成等比数列，sin()BA，sin A，sinC成等差数列，则： （1）C ； （2） tan tan A B 三三、解解答答题题：本本大大题题共共 5 小小题题，满满分分 60 分分解解答答应应写写出出文文字字说说明明证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤. 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 2 1a ， 7 14S ，数列 n b满足 2 2 12

9、3 2 nn n b b bb （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足cos() nnn cba，求数列 n c的前2n项和 2n T 18 （12 分）如图（1） ，在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BCCEEFFD沿BE， AF将CBE和DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2） （1）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由； （2）求平面ADF和平面DEF所成锐角二面角的余弦值 19 （12 分）已知椭圆C的方程为 22 1 43 xy ，斜率为 1 2 的直线与椭圆C交于A，B两点， 点 3 (1, ) 2 P在直

10、线l的左上方 （1）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点 2 F，求此时直线l的方程； （2）求证：PAB的内切圆的圆心在定直线1x 上 20 （12 分）某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A是报废 原有生产线，重建一条新的生产线；方案B是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不 可控因素的影响， 市场销售状态可能会发生变化 该企业管理者对历年产品销售市场行情及 回报率进行了调研，编制出如表： 市场销售状态畅销平销滞销 市场销售状态概率(01)p2p13p p - 5 - 预期平均年利润 （单位：万元） 方案A700400400 方案B600300100 （1）以预

11、期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？ （2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为x（万件） ，通过核算，实 行方案A时新产品的年度总成本 1 y（万元）为 32 1 1 810160 3 yxxx，实行方案B时新 产品的年度总成本 2 y（万元）为 32 2 1 320100 3 yxxx已知0.2p ，20x若按（1） 的标准选择方案， 则市场行情为畅销、 平销和滞销时， 新产品的单价t（元)分别为 60， 3 60 4 x， 60x，且生产的新产品当年都能卖出去试问：当x取何值时，新产品年利润的期望取得最 大值？并判断这一年利润能否达到预期目标 21

12、（12 分）已知函数( )sin ( x f xex e是自然对数的底数） （1）求( )f x的单调递减区间； （2）记( )( )g xf xax，若03a，试讨论( )g x在(0, )上的零点个数 （参考数据 2 4.8)e 请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答注注意意：只只能能做做所所选选定定的的题题目目，如如果果多多做做，则则按按所所做做的的 第第一一个个题题目目计计分分， 作作答答时时， 请请用用 2B 铅铅笔笔在在答答题题卡卡上上， 将将所所选选题题号号对对应应的的方方框框涂涂黑黑.选选修修 4-4： 坐坐标标系系与与参参数数方方程程 22 （10

13、 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 3cos4sin ( 129 cossin 55 x y 为参数） 以 坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin()3 3 （1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，(2,0)M，求|MPMQ的值 选选修修 4-5：不不等等式式选选讲讲 23已知不等式|1|35|xxm的解集为 3 ( , ) 2 n （1）求n的值； （2）若三个正实数a，b，c满足abcm，证明： 222222 2 bccaab abc - 6 - 2020 年年安安徽徽省省合合肥肥市市高

14、高考考数数学学二二模模试试卷卷（理理科科） 一一、选选择择题题：本本大大题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，满满分分 60 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只 有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的 1 （5 分）若集合 2 |23 0Ax xx ， |22 x Bx ，则(AB ) A 1 ,3 2 B 1 ,1 2 C 1 3, 2 D2，3 【解答】解： 1 | 13, | 2 AxxBx x ， 1 ,3 2 AB 故选：A 2（5 分） 欧拉公式cossin i ei 把自然对数的底数e， 虚数单位i， 三角函数cos和sin 联系在一起，

15、充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足() i ei zi ， 则| (z ) A1B 2 2 C 3 2 D2 【解答】解：由cossin i ei ，得cossin1 i ei ， 则由() i ei zi ，得 ( 1)11 1( 1)( 1)22 iii zi iii ， 22 112 |( )() 222 z 故选：B 3 （5 分）若实数x，y满足约束条件 24 0 4 0 323 0 xy xy xy ，则2zxy的最小值是() A5B4C7D16 - 7 - 【解答】 解： 作出不等式对应的平面区域 （阴影部分） ， 由2zxy，得2yxz， 平移直线2yxz

16、，由图象可知当直线2yxz经过点(0,4)A时，直线2yxz的截距 最大，此时z最小 此时z的最小值为0244z ， 故选：B 4 （5 分）已知( )f x为奇函数，当0x 时， 2 ( )( x f xeex e 是自然对数的底数） ，则曲线 ( )yf x在1x 处的切线方程是() Ayexe Byexe CyexeD 11 (2)2yexe ee 【解答】解：( )f x为奇函数，当0x 时， 2 ( ) x f xeex ， 当0x 时， 2 ( ) x f xeex ，此时( ) )2 x fxeex ， ( )f x在1x 处的切线斜率k f （1）e，又f（1）0， ( )f

17、x在1x 处的切线方程为yexe 故选：C 5 （5 分）若cos803tan101m ，则(m ) A4B2C2D4 【解答】解：cos803tan101m ， sin10 sin1031 cos10 m ，可得sin10 cos103sin10cos100m ， 1 sin202sin20 2 m， - 8 - 1 2 2 m ，解得4m 故选：A 6 （5 分）已知函数( )tan()(0,0) 2 f xx 的图象关于点(,0) 6 成中心对称，且 与直线ya的两个相邻交点间的距离为 2 ，则下列叙述正确的是() A函数( )f x的最小正周期为 B函数( )f x图象的对称中心为(,

18、0)() 6 kkZ C函数( )f x的图象可由tan2yx的图象向左平移 6 得到 D函数( )f x的递增区间为(,)() 2326 kk kZ 【解答】解：直线ya的两个相邻交点间的距离为 2 ， 函数( )f x的最小正周期为 2 ，A错， 2 2 ， 图象关于点(,0) 6 成中心对称， 2 62 k ，kZ， 6 函数( )f x图象的对称中心为( 26 k ，0)，kZ，B错； ( )tan(2) 6 f xx ， 函数( )f x的图象可由tan2yx的图象向左平移 12 得到，C错； 2 262 kxk ， 函数( )f x的递增区间为(,)() 2326 kk kZ ，D

19、对 故选：D 7 （5 分） 九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法： 如图 1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分 - 9 - 成一个内接正方形（黄)和两个小直角三角形（朱、青） 将三种颜色的图形进行重组，得 到如图 2 所示的矩形，该矩形长为ab，宽为内接正方形的边长d由刘徽构造的图形可 以得到许多重要的结论，如图 3设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形 对角线AE，过点A作AFBC于点F，则下列推理正确的是() 由图 1 和图

20、2 面积相等可得 ab d ab ；由AE AF 可得 22 22 abab ； 由AD AE 可得 22 2 11 2 ab ab ；由AD AF 可得 22 2abab ABCD 【解答】解：由图 1 和图 2 面积相等()abab d，可得 ab d ab ，对； 由题意知图 3 面积为 22 11 22 abab AF， 22 ab AF ab ， 22 11 22 ADBCab， 图 3 设正方形边长为x，由三角形相似， axx xbx ，解之得 ab x ab ，则 2ab AE ab ； 可以化简判断对， 故选：A 8 （5 分）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员

21、带着A，B，C三个农业 扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调 研得知，这四个贫困户选择A，B，C三个扶贫项目的意向如表： 扶贫项目ABC 贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁 若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项， 且每个项目至多有两个贫 - 10 - 困户选择，则不同的选法种数有() A24 种B16 种C10 种D8 种 【解答】解：以选C项目的户数 2，1，0 为标准分为 3 类， （1）C项 2 户，有 4 种选法； （2）C项 1 户，若是丁有 6 种选法，若是丙有 3 种选法，共有 9 种选法； （3）C项 0 户，有

22、 3 种选法 则由加法原理共有49316种， 故选：B 9 （5 分）某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示已知半球的半 径为6，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为() A24B(183 3)C21D(184 2) 【解答】解：设半球的内接圆柱底面半径为r，高为h； 则球的半径为6R ，且 22 6rh； 此时几何体的体积为 3 223 1 4 64 6664 6 2 3 VVVr hhhhh 半球圆柱 ； 设 3 ( )64 6f hhh，(0, 6)h， 则 2 ( )36f hh， 令( )0f h，解得2h ； 所以(0, 2)h时，( )0f h，( )f h单

23、调递减； ( 2h，6)时，( )0f h，( )f h单调递增； 所以2h 时，( )f h取得最小值为( 2)2 26 24 64 64 2f 此时圆柱的底面半径为 2，高为2； - 11 - 所以该几何体的表面积为 22 1 4 ( 6)( 6)222(184 2) 2 S 故选：D 10 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点(3,0)D的直线交抛物线C于点A，B， 若| |13FAFB ，则(FA FB ) A9B11C12D2 3 【解答】解：设直线AB方程为3xmy 点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y | |13FAFB ， 12 13xx

24、2 1212 ()413xxx x 联立 2 3 4 xmy yx ，可得 2 4120ymy 12 4yym， 12 12y y 2 1212 ()16y yx x， 12 9x x， 12 7xx 则 1212212121212 (1)(1)(1)()19FA FBxxy yxy yx xxxy y 故选：A 11 （5 分）若关于x的不等式224axaxlnx有且只有两个整数解，则实数a的取值范 围是() A(23ln，22lnB(,22)lnC(，23lnD(,23)ln 【解答】解：由题意可知，224axaxlnx， 设( )24g xxlnx，( )2h xaxa 由 121 (

25、)2 x g x xx 可知( )24g xxlnx在 1 (0, ) 2 上为减函数， 在 1 ( 2 ，)上为增函数， ( )2h xaxa的图象恒过点(2,0)，在同一坐标系中作出( )g x，( )h x的图象如图， - 12 - 当0a时，原不等式有且只有两个整数解； 当0a 时，若原不等式有且只有两个整数 1 x， 2 x，使得 1 ()0f x， 且 2 ()0f x，则 0 (1)(1) (3)(3) a hg hg ，即 0 2 23 a a aln ， 解得023aln， 综上可得23aln， 故选：C 12 （5 分）在三棱锥PABC中，二面角PABC、PACB和PBCA

26、的大小均等 于 3 ，:3:4:5AB AC BC ， 设三棱锥PABC外接球的球心为O， 直线PO与平面ABC交 于点Q，则( PO OQ ) A 1 4 B2C3D4 【解答】解：依题意，点P在平面ABC内的射影为三角形ABC内切圆的圆心N，设内切圆 的半径为r，则 11 34(345) 22 r ，解得1r ， 又 二 面 角PABC、PACB和PBCA的 大 小 均 等 于 3 ， 故 tan133 3 PNr ， 设ABC的外接圆圆心为M，易知OM 平面ABC， 又PN 平面ABC，故/ /OMPN，则点O，M，P，N四点共面，且平面ABC平面 OMPNMN， - 13 - 又Q在平

27、面APC内，且Q在平面OMPN内， Q在MN上，即Q，M，N三点共线； 现在研究NM的长度，如图， 易知， 51 2,2 22 BEEMBMBE，故 2 15 1( ) 22 MN ，显然 5 2 NMOF， 设OMx，由OPOB，即 2222 PFOFOMBM可知， 2222 55 ( 3)()( ) 22 xx，解得 3 3 x ， 3 1 3 33 OQOM PQPN ， 4 4 1 PO OQ 故选：D 二二、填填空空题题：本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，满满分分 20 分分.第第 16 题题第第一一空空 2 分分，第第二二空空 3 分分. 把把答答案案填填在在

28、答答题题卡卡上上的的相相应应位位置置. 13 （5 分）已知向量a 和b 满足| |2 |2aab ，| 1ab ，则a b 1 【解答】解：向量a 和b 满足| |2 |2aab ，| 1ab ， 22 442aa bb ； 22 21aa bb ， 2 2a ， 联立可得：1a b - 14 - 故答案为：1 14 （5 分）三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球 爱好者，在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加甲、乙丙三人 都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人若由甲开始发球（记为第一次传球） ，则第 4 次传球后，球仍回到甲的概率等于 3

29、 8 【解答】解：所有传球方法共有： 甲乙甲乙甲；甲乙甲乙丙；甲乙甲丙甲；甲乙甲 丙乙； 甲乙丙甲乙；甲乙丙甲丙；甲乙丙乙甲；甲乙丙 乙丙； 甲丙甲乙甲；甲丙甲乙丙；甲丙甲丙甲；甲丙甲 丙乙； 甲丙乙甲乙；甲丙乙甲丙；甲丙乙丙乙；甲丙乙 丙乙甲 则共有 16 种方法第 4 球恰好传回给甲的有 6 情况， 经过 4 次传球后，球仍在甲手中的概率是 63 168 p 故答案为： 3 8 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为点F， 点B是虚轴的一个端点， 点P为双曲线C左支上一个动点， 若BPF周长的最小值等于实轴长的 4 倍， 则双曲线C的 渐近线

30、方程为2yx 【解答】解：由题意可得(0, )Bb，( ,0)F c，设(,0)Fc ， 由双曲线的定义可得| 2PFPFa， | | 2PFPFa， 22 | |BFBFbc， 则BPF的周长为| | 2|PBPFBFPBPFaBF 2| 2BFa ， 当且仅当B，P， F 共线，取得最小值，且为 22 22abc， - 15 - 由题意可得 22 822aabc， 即 22222 92abcba，即 22 4ab， 可得2 b a ， 所以双曲线的渐近线方程为：2yx 故答案为：2yx 16 （5 分）已知ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，sinB， sinC

31、成等比数列，sin()BA，sin A，sinC成等差数列，则： （1）C 1 2 ； （2） tan tan A B 【解答】解： （1）由sin A，sinB，sinC成等比数列，可得 2 sinsinsinBAC， 即 2 bac， sin()BA，sin A，sinC成等差数列， 2sinsin()sinsin()sin()2sincosABACBABABA， 所以sinsincosABA， 所以 222 2 bca ab bc 即 2222 22bcaacb， 222 abc， 1 2 C， （2）由（1）可得 1 2 AB，且 22 sinsincoscos1sinABAAA ，

32、解可得， 51 sincos 2 AB ， 51 cossin 2 AB ， - 16 - 2 2 tansincos51 tansincos2 AABsin A BBAcos A 故答案为： 151 , 22 三三、解解答答题题：本本大大题题共共 5 小小题题，满满分分 60 分分解解答答应应写写出出文文字字说说明明证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤. 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 2 1a ， 7 14S ，数列 n b满足 2 2 123 2 nn n b b bb （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足cos() nnn

33、cba，求数列 n c的前2n项和 2n T 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差设为d，由 2 1a ， 7 14S ， 可得 1 1ad， 1 72114ad，解得 1 1 2 ad，则 111 (1) 222 n ann； 由 2 2 123 2 nn n b b bb ，可得 (1) 2 1231 2(2) n n n b b bbn ， 两式相除可得2 (2) n n bn ，对1n 也成立， 故2 (*) n n bnN； （2） 1 cos()2 cos() 2 n nnn cban， 则 234212 2 31 2cos2 cos2 cos2 cos(2 )2cos(

34、(21) )2cos() 222 nn n Tnn 1 2422462 4(1( 4) )4( 4) 2 cos2 cos(2 )2cos()222( 1) 2 145 nn nnn n 18 （12 分）如图（1） ，在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BCCEEFFD沿BE， AF将CBE和DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2） （1）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由； （2）求平面ADF和平面DEF所成锐角二面角的余弦值 - 17 - 【解答】解： （1）/ /CDAB，理由如下： 连结CD，分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，

35、MN， 由图（1）可得，ADF与BCE都是等腰直角三角形且全等， 则DMAF，CNBE，DMCN，如图， 平面ADF 平面ABEF，交线为AF，DM 平面ADF，DMAF， DM平面ABEF， 同理得CN 平面ABEF，/ /DMCN， DMCN，四边形CDMN为平行四边形，/ /CDMN， M，N分别为AF，BE的中点，/ /MNAB， / /CDAB （2）在AB边上取一点P，使得APDF， 由图（1）得ADFP为正方形，即APFP， M为AF中点，MPMA， 由（1）知MD 平面ABEF，MA，MP，MD两两垂直， 以M为坐标原点，直线MA，MP，MD分别为坐标轴，建立空间直角坐标系，

36、设2AF ，则(0D，0，1)，(1A，0，0)，(0P，1，0)，( 1F ，0，0)， (1FD ，0，1)，( 1FEAP ，1，0)， 设平面DFE的一个法向量为(mx ，y，) z， 由 0 0 FD m FE m ，得 0 0 xz xy ，取1x ，得(1m ，1，1)， 平面ADF的法向量(0n ，1，0)， 设平面ADF和平面DEF所成锐角二面角为， 则平面ADF和平面DEF所成锐角二面角的余弦值为： |3 cos | |3 m n mn - 18 - 19 （12 分）已知椭圆C的方程为 22 1 43 xy ，斜率为 1 2 的直线与椭圆C交于A，B两点， 点 3 (1,

37、 ) 2 P在直线l的左上方 （1）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点 2 F，求此时直线l的方程； （2）求证：PAB的内切圆的圆心在定直线1x 上 【解答】解（1）设l的方程为 1 2 yxm， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立直线与椭圆的方程 22 1 2 34120 yxm xy ，整理可得 22 30xmxm，则 12 xxm ， 2 12 3x xm， 22 4(3)0mm，解得22m ， 又因为点 3 (1, ) 2 P在直线的左上方，所以21m ， 若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点 2 F，则 22 0AF BF ，即 1 (1x， 1

38、2 ) (1yx， 2) 0y， 化简可得 2 74110mm，解得 11 7 m ，或1m （舍)， 所以直线l的方程为： 111 27 yx； （2）证明： 因为 1212 121212 333131 11 222222 1(1)() 111111 PAPB yyxmxm kkm xxxxxx 12 2 1212 2()2 1(1)1(1)0 1()13 xxm mm xxx xmm ， 所以直线1x 平分APB， 即证明了PAB的内切圆的圆心在定直线1x 上 20 （12 分）某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A是报废 原有生产线，重建一条新的生产线；方案B是对

39、原有生产线进行技术改造，由于受诸多不 可控因素的影响， 市场销售状态可能会发生变化 该企业管理者对历年产品销售市场行情及 回报率进行了调研，编制出如表： 市场销售状态畅销平销滞销 - 19 - 市场销售状态概率(01)p2p13p p 预期平均年利润 （单位：万元） 方案A700400400 方案B600300100 （1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？ （2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为x（万件） ，通过核算，实 行方案A时新产品的年度总成本 1 y（万元）为 32 1 1 810160 3 yxxx，实行方案B时新 产品的年度总成本

40、2 y（万元）为 32 2 1 320100 3 yxxx已知0.2p ，20x若按（1） 的标准选择方案， 则市场行情为畅销、 平销和滞销时， 新产品的单价t（元)分别为 60， 3 60 4 x， 60x，且生产的新产品当年都能卖出去试问：当x取何值时，新产品年利润的期望取得最 大值？并判断这一年利润能否达到预期目标 【解答】解： （1）根据概率的性质， 021 01 0 131 p p p ，得 1 0 3 p， 若E（A）E（B） ，400200300200pp，得 1 0 4 p； 若E（A）E（B） ， 1 4 p ； 若E（A）E（B） ， 11 43 p； 故当 1 0 4 p

41、时， 选择方案A； 若 1 4 p ， 则选择方案A或B； 若 11 43 p， 则选择方案B； （2）因为0.2p ，根据（1） ，选择方案A，年产量为x（万件）与新产品的年度总成本的 关系为： 32 1 1 810160 3 yxxx， 设 市 场 行 情 为 畅 销 、 平 销 和 滞 销 时 ， 新 产 品 的 年 利 润 分 别 为 1 60xy， 11 3 (60),(60) 4 x xyx xy， 新产品年利润的随机变量X的分布列为： X 1 60xy 1 3 (60) 4 x xy 1 (60)x xy P0.40.40.2 - 20 - 111 3 ()0.4(60)0.4(

42、60)0.2(60) 4 E Xxyx xyx xy 32 215 50160 32 xxx ， 设 32 215 ( )50160 32 f xxxx ，(0x，20， 由 2 ( )21550(25)(10)fxxxxx ， 当(0,10)x时，( )0fx，函数递增； 当(10,20)x时，( )0fx，函数递减， 故当10x （万件）时，函数( )f x有最大值(10)423.3f（万元） ， 由（1）知，E（A）400200360p（万元）423.3（万元） ， 故当年产量为 10 万件时，可达到或超过预期的平均年利润 21 （12 分）已知函数( )sin ( x f xex e是自然对数的底数） （1）求( )f x的单调递减区间； （2）记( )( )g xf xax，若03a，试讨论( )g x在(0, )上的零点个数 （参考数据 2 4.8)e 【解答】解： （1）( )sin x f xex的定义域为R，( )(sincos )2sin() 4 xx fxexxex ， 由( )0fx，得sin()0 4