惠州市2020届高三第三次调研考试文科数学试题含答案.docx

1、 数学试题（文科） 第 1 页，共 17 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第届高三第三三次调研考试次调研考试 文科数学文科数学 2020.1 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答 题卡上。 2 作答选择题时， 选出每个小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本 试卷上无效。 一一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小

2、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1若= 0,1,2,32 ,ABy yx xA，则AB （ ） A0,2,4,6 B0,2 C0,1,2,3,4,6 D0,1230 2 46, , , , 2设i为虚数单位，复数 2 13 22 zi ，则z在复平面内对应的点在第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 3已知数列 n a是等比数列，函数 2 =53yxx的两个零点是 15 aa、，则 3 a （ ） A1 B1 C3 D3 4“ 110ba”是“log0 ab ”成立的（ ）条件

3、 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 5已知圆 C： 22 40xyxa上存在两点关于直线: =2l y kx对称，k=（ ） A1 B1 C0 D 1 2 6在ABC中， 1 = 3 ADDC，P是直线BD上的一点，若 1 2 APmABAC， 则m=（ ） A. 4 B. 1 C1 D4 数学试题（文科） 第 2 页，共 17 页 7惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己 1 至 8 月的月平均通 话时间，其中有 6 个月的月平均通话时间分别为 520、530、550、610、650、660（单位：分 钟），有 2 个月的数据未统计出来。根据以上

4、数据，该教师这 8 个月的月平均通话时间的中位 数大小不可能是（ ） A580 B600 C620 D640 8已知函数( ) x x a f xe e 为偶函数，若曲线( )yf x的一条切线与直线230xy垂直，则 切点的横坐标为（ ） A2 B2 C2ln2 Dln2 9函数 1 cossinf xxx在, 的图象大致为（ ） 10已知P为椭圆 22 1 10091 xy 上的一个动点，M、N分别为圆C： 2 2 31xy与 圆D： 2 22 3(05)xyrr上的两个动点，若PMPN的最小值为 17， 则r=（ ） A4 B3 C2 D1 x y y x - - - x y - x y

5、 A B C D 数学试题（文科） 第 3 页，共 17 页 11已知函数( )sin cos(0,0) 62 a f xxx a ，对任意xR， 都有( )3f x ，若 ( )f x在0, 上的值域为 3 , 3 2 ，则的取值范围是（ ） A 1 1 , 6 3 B 1 2 , 3 3 C 1 , 6 D 1 ,1 2 12已知函数 32 1 ( )1(1) 3 f xxaxaxa在 1212 , ()t t tt处的导数相等， 则不等式 12 ( + )0f ttm恒成立时，实数m的取值范围是（ ） A1， B1 ， C1， D 4 3 ， 二填空题：本题共二填空题：本题共4小题，每小

6、题小题，每小题5分分，共，共20分，其中第分，其中第16题第一空题第一空3分，第二空分，第二空2分。分。 13执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是_. 14已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 若2abc，35cb，则=A_ 15如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆 柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， 相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现。 我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积 之比为_ 16设M为不等式组 40 40 0 xy xy y 所表示的平面区域， N为不等式组 04 txt yt 所表示的平面区域，

7、其中0,4t， 在M内随机取一点A，记点A在N内的概率为P （1）若1t ，则P _； （2）P的最大值是_ 0n 开始 结束 2nn n输出 220? n 是 否 数学试题（文科） 第 4 页，共 17 页 三三、解答题：共解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共60分。分。 17（本小题满分 12 分） 等差数列 n a的前

8、n项和为 n S，已知 1 7a ，公差d为大于 0 的整数， 当且仅当n=4 时， n S取得最小值。 （1）求公差d及数列 n a的通项公式； （2）求数列 n a的前 20 项和. 18（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥SABCD中，ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形， 点E是BS的中点 （1）求证：SD平面ACE； （2）若平面ABS 平面ABCD，4AB ， 120ABC，求三棱锥EASD的体积 19.（本小题满分 12 分） 惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后 50 天该海鲜的日需求量x（1020x，单 位：公斤），其频率分布直方图如下图所示。该海鲜每天进货 1 次

9、，每销售 1 公斤可获利 40 元； 若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它 商店调拨，调拨的海鲜销售 1 公斤可获利 30 元。假设商店该海鲜每天的进货量为 14 公斤，商店 销售该海鲜的日利润为y元。 （1）求商店日利润y关于日需求量x的函数表达式。 数学试题（文科） 第 5 页，共 17 页 （2）根据频率分布直方图， 估计这 50 天此商店该海鲜日需求 量的平均数。 假设用事件发生的频率估计概率， 请估计日利润不少于 620 元的概率。 20（本小题满分 12 分） 己知函数 lnf xxax aR，函数( )f x的导函数为 fx .

10、 （1）当1a 时，求 fx 的零点； （2）若函数 f x存在极小值点，求a的取值范围。 21（本小题满分 12 分） 设抛物线C: 2 2(0)ypx p与直线:0 2 p l xmy交于A、B两点。 （1）当AB取得最小值为16 3 时，求p的值。 （2）在（1）的条件下，过点(3,4)P作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N （M、N不同于点P）两点，且MPN的平分线与x轴平行， 求证：直线MN的斜率为定值。 频率/组距 0.15 0.10 0.12 0.08 0.05 日需求量 10 18 14 12 20 16 数学试题（文科） 第 6 页，共 17 页 （二）选考题：共（二）

11、选考题：共10分。分。请考生在第请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。分。答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线M的极坐标方程为2cos，若极坐标系内异于O的三点 1, A ， 2, 6 B ， 3123 ,0 6 ,C 都在曲线M上 （1）求证： 123 3； （2）若过B，C两点的直线参数方程为 3 2 2 1 2

12、xt yt （t为参数）， 求四边形OBAC的面积 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 24f xxx （1）求不等式 3f xx的解集； （2）若 1f xk x对任意Rx恒成立，求k的取值范围 数学试题（文科） 第 7 页，共 17 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 文科数学参考答案与评分细则文科数学参考答案与评分细则 一、选择题：一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B A B D D C C A A 1.【解析】B=0,2,4,6. AB=0，1，2，3，4，6

13、U.故答案选 C 2.【解析】 2 2 13113313 i2i+ii 22422222 z （），故答案选 B 3.【解析】由韦达定理可知 15 5aa， 15 3a a，则 1 0a ， 5 0a ，从而 3 0a ， 且 2 3153 33aa aa ，故答案选 D 4.【解析】 11 110 11 aa ba bb 或， 101 log0 101 a aa b bb 或， 所以答案选 B 5.【解析】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，Cl-2,0，220k ， 得1k ，所以答案选 A 6.【解析】 11 42 22 APmABACmABADmABAD，又BPD、 、三点共线

14、， 所以21m，得1m，故选 B 7.【解析】当另外两个月的通话时长都小于 530 （分钟）时，中位数为 530550 540 2 （分钟）， 当另外两个月的通话时长都大于 650（分钟）时，中位数为 610650 630 2 （分钟），所以 8 个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为540,630 ，故选 D 8.【解析】 f x为偶函数，则1a ，( ) xx f xee+，( ). xx fxee设切点得横坐标为 0 x，则 00 0 3 (). 2 xx fxee解得 0 2 x e，所以 0 ln2x 。故答案选 D 数学试题（文科） 第 8 页，共 17 页 9. 【解析】 f

15、x为奇函数， 则排除 B； 当0 ,( ) 0xf x， 排除 A；( )coscos2fxxx， ( )0fx 解得 5 6 x或0x，对比图象可知，答案选 C 10.【解析】C(-3,0)，D(3,0)恰好为椭圆的两个焦点，因为,1PMrPD PNPC 120 117PMPNPCPDrr ，2r ，所以答案选 C 11.【解析 1】( )sincos 62 a f xxx = 31 sincos 22 a xx 2 2 max 3(1) ( )3() 22 a f x ，2a ，( )3sin() 3 f xx 0,0x ， 333 x ， 3 ( )3 2 f x， 2 233 ， 11

16、 63 所以答案选 A 【解析 2】本题也可通过分析临界值求出答案。由 3 (0) 2 f可知 3 ( ) 2 f或( )3f为两个 临界值，由此可解得 1 = 6 ，及 1 = 3 ，结合图象可知 11 63 ，所以答案选 A 12.【解析】由题得 2 ( )2(1)fxxaxa a，由已知得 12 + =2tta， 12 ( + )0f ttm恒成 立，(2 )(1)mfa a恒成立。令 32 4 ( )(2 )21(1) 3 g afaaaa ， 则 2 ( )444 (1)g aaaa a ，当(,0),( )0ag a ，当(0,1),( )0;ag a ( )(,0)g a在上单调

17、递减，在(0,1)上单调递增。 min ( )(0)1,1,1.g agmm 故选答案 A 二、填空题：二、填空题：本题共本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分分，其中第，其中第16题第一空题第一空3分，第二空分，第二空2分。分。 136 14 2 3 （或（或 120 ） 15. 3:2（或（或 3 2 ，或，或 1.5） 16 3 8 （3 分）分）， 1 2 （2 分）分） 13.【解析】 2 2,220;n 4 4,220;n 6 6,220.n 故答案为 6 数学试题（文科） 第 9 页，共 17 页 14. 【解析】 因为 75 , 33 ab cb， 222 222

18、 57 ()() 1 33 cos 5 22 2 () 3 bbb bca A bc bb ， 2 3 A 15.【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R， 圆柱的表面积 22 1 2226SRRRR；球的表面积 2 2 4SR 圆柱的表面积与球的表面积之比为 2 1 2 2 63 42 SR SR ，本题正确结果： 3 2 16.【解析】由题意可得，平面区域M的面积为 1 8 416 2 ， 当1t 时，平面区域N的面积为2 36 ，所以P 63 168 ； 如图，当2 4tt取得最大值时，即2t 时，P最大， 当2t 时，平面区域N的面积为2 48 ，所以最大值 81 162

19、 P ；故答案为 3 8 ， 1 2 。 三解答题：三解答题：共共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个考生都必须作答。第个考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17（本小题满分 12 分） 【解析】（1）设 n a的公差为d，则由题可知： 4 5 0 0 a a .1 分 1 1 30 40 ad ad ，即 730 740 d d 2 分 解得 77 43 d.3 分 因为d为整数，d=24 分 1 (1)72(1)29 n aa

20、ndnn 所以数列 n a的通项公式为29 n an5 分 （2）当4n时，0 n a ；当5n时，0 n a .6 分 12345201234520 .()()aaaaaaaaaaaa7 分 数学试题（文科） 第 10 页，共 17 页 52014 () 16() 4 22 aaaa 9 分 ( 7 1)4(1 31) 16 22 10 分 =272 11 分 所以数列 n a的前 20 项和为 272.12 分 18（本小题满分 12 分） 【解析】（1）连接BD，设ACBDO，连接OE，则点O是BD的中点 又因为E是BS的中点，所以SDOE，1 分 又因为SD 平面ACE，OE 平面AC

21、E，3 分【注：每个条件 1 分】 所以SD平面ACE4 分 （2）因为四边形ABCD是菱形，且120ABC， 所以 1 60 2 ABDABC又因为ABAD， 所以三角形ABD是正三角形5 分 取AB的中点F，连接SF，则DFAB，且 2 3DF 6 分 又平面ABS平面ABCD，DF 平面ABCD，平面ABS平面ABCDAB，7 分 所以DF 平面ABS即DF是四棱锥DAES的一条高8 分 【解法 1】而 1 sin2 3 2 ASE SSA SEASE 9 分 所以 EADSD AES VV 10 分 11 2 32 34 33 ASE SDF 11 分 综上，三棱锥EASD的体积为 4

22、. 12 分 【解法 2】因为E是BS的中点，所以 1 2 EADSB ADS VV 10 分 而 B ADSD ABS VV 1142 3 2 38 332 ABS SDF 11 分 数学试题（文科） 第 11 页，共 17 页 所以，三棱锥EASD的体积为 4. 12 分 19（本小题满分 12 分） 【解析】（1）当1014x时1 分 401014=50140yxxx2 分 当1420x时3 分 40 143014 =30140yxx4 分 所求函数表达式为： 30140 1420 50140 1014 xx y xx 5 分 【注：【注：函数解析式分段正确的前提下，函数解析式分段正确的

23、前提下，定义域错误定义域错误最多最多扣扣 2 分】分】 （2）由频率分布直方图得： 海鲜需求量在区间10,12的频率是 1 20.050.1f ； 海鲜需求量在区间12,14的频率是 2 20.10.2f ；6 分 海鲜需求量在区间14,16的频率是 3 20.150.30f ； 海鲜需求量在区间16,18的频率是 4 20.120.24f ； 海鲜需求量在区间18,20的频率是 5 20.080.16f ；7 分 【注：写对任意【注：写对任意 2 个得个得 1 分，全部写对得分，全部写对得 2 分】分】 这 50 天商店销售该海鲜日需求量的平均数为： 1122334455 xxfxfxfxf

24、xf8 分 11 0.1 13 0.215 0.30170.24190.169 分 15.32（公斤）10 分 当14x 时，560y ， 由此可令30140620x，得16x 11 分 所以估计日利润不少于 620 元的概率为0.120.0820.4.12 分 20（本小题满分 12 分） 数学试题（文科） 第 12 页，共 17 页 【解析】（1） f x的定义域为0,， 当1a 时， 1 ln1fxx x .1 分 由 2 11 0fx xx 恒成立，知 fx在0,上是单调递增函数，2 分 又 1ln1 1 10 f ，所以 fx的零点是1x .3 分 （2） ln1ln xaa fxx

25、x xx ， 令 1ln a g xx x ，则 22 1axa gx xxx 4 分 当0a时， 1 lnfxx， 令 0fx ，得 1 x e ；令 0fx，得 1 0x e ， 所以 f x在 1 0, e 上单调递减，在 1 , e 上单调递增， 所以当0a时， f x存在极小值点 1 e ，符合题意.5 分 当0a时， 0g x恒成立，所以 g x在0,上单调递增 又 1 0gae e ， 1 1110 a aa a g eaa ee ， 由零点存在定理知， g x在 1 , a e e 上恰有一个零点 0 x，.6 分 且当 0 0,xx时， 0fxg x；当 0, xx时， 0f

26、xg x， 所以 f x在 0 0,x上单调递减，在 0, x 上单调递增， 所以当0a时， f x在 1 , a e e 存在极小值点 0 x，符合题意.7 分 数学试题（文科） 第 13 页，共 17 页 当0a时，令 0g x，得xa. 当0,xa时， 0g x ；当,xa 时， 0g x ， 所以 min 2 lng xgaa.8 分 若2 ln0gaa， 即当 2 ae 时， 0fxg xga恒成立， 即当 2 ae 时， f x在0,上单调递增，无极值点.9 分 若2 ln0gaa， 即当 2 0ea 时， 11ln 10 1 a gaa a ， 所以10gaga，即 g x在,

27、a上恰有一个零点 1 x，10 分 当 1 ,xa x 时， 0fxg x；当 1 xx时， 0fxg x 所以当 2 0ea 时， f x存在极小值点 1 x.11 分 综上可知，a 2, e 时，函数 f x存在极小值点.12 分 21（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由题意知：直线:0 2 p l xmy过定点(,0) 2 p ，该点为抛物线焦点。1 分 联立 2 2 2 p xmy ypx ，消去x得： 22 20ypmyp2 分 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 有 12 2yypm， 2 12 yyp 3 分 2 121212 ()22 (1) 22 pp

28、 ABxxxxpm yypp m4 分 数学试题（文科） 第 14 页，共 17 页 【注：只要学生写出 12 =ABxxp即可给 1 分】 2 0,0pm，当0m时， min 2ABp5 分 16 2 3 p，解得 8 3 p 6 分 【注：如果解答过程没有证明当0m时 min 2ABp，最多可得 3 分】 （2）证明：由已知可知直线PM、PN的斜率存在，且互为相反数7 分 设 3344 (,),(,)M x yN xy，直线PM的方程为(3)4yk x. 联立 2 16 3 (3)4 yx yk x ，消去x整理得： 2 31664480kyyk.8 分 又 4 为方程的一个根，所以 3

29、6448 4 3 k y k ，得 3 16 1216 4 33 k y kk 9 分 同理可得 4 16 4 3 y k 10 分 3434 22 3434 34 1611612 3 33( 8)3 () 16 MN yyyy k xxyy yy 11 分 所以直线MN的斜率为定值 2 3 .12 分 22.（本小题满分 10 分） 数学试题（文科） 第 15 页，共 17 页 【解析】（1）【解法 1】由 1 2cos， 2 2cos 6 ， 3 2cos 6 ，3 分 则 23 2cos2cos 66 2 3cos 4 分 所以 123 35 分 【解法 2】M的直角坐标方程为 2 2

30、11xy，如图所示，1 分 假设直线 OA、OB、OC 的方程为ykx， 2 yk x， 3 yk x， 3, 3k ， 由点到直线距离公式可知 2 1 k MF k 在直角三角形 OMF 中，由勾股定理可知 2 2 1 1 +1 2 MF ，得 1 2 2 1k 2 分 由直线方程可知tank， 2 tan+ 6 k ， 3 tan 6 k 所以 2 tan +tan 3 +1 6 = 3 1 tantan 6 k k k ，得 2 2 3 1 k k 3 分 所以 3 tan -tan 31 6 = 3 1tantan 6 k k k ，得 3 2 3 1 k k 4 分 所以 123 3

31、5 分 （2）【解法 1】曲线M的普通方程为： 22 20xyx，6 分 将直线BC的参数方程代入上述方程，整理得 2 30tt ，解得 12 0,3tt ；7 分 平面直角坐标为 13 ,2,0 22 BC 8 分 数学试题（文科） 第 16 页，共 17 页 则 23 1,2, 6 ；又得 1 3 . 9 分 即四边形面积为 1213 113 3 sinsin 26264 OBAC S 为所求. 10 分 【解法 2】由 BC 的参数方程化为普通方程得：. 23yx5 分 联立 02 23 22 xyx yx 解得 0 2 1 1 y x 或 2 3 2 1 2 2 y x ，即) 2 3

32、 , 2 1 (B,)0 , 2(C6 分 , 6 , 1 2 点 A 的极坐标为），（ 6 3 ，化为直角坐标为），（ 2 3 2 3 7 分 直线 OB 的方程为xy3，点 A 到直线 OB 的距离为. 2 3 )3(1 2 3 2 3 3 2 d8 分 . 4 33 2 3 2 2 1 2 3 1 2 1 OACOBAOBAC SSS10 分 23（本小题满分 10 分） 【解析】 （1）当4x时，原不等式等价于243xxx ，解得2x，所以4x1 分 当2x时，原不等式等价于243xxx ，解得 2 5 x ，所以此时不等式无解2 分 当24x 时，原不等式等价于243xxx ，解得2

33、x，所以24x3 分 综上所述，不等式解集为2,5 分 （2）由 1f xk x，得241xxk x， 数学试题（文科） 第 17 页，共 17 页 当1x 时，60恒成立，所以Rk； 6 分 当1x 时， 241 31 333 11 1111 xxxx k xxxx 7 分 因为 3333 11112 1111xxxx 8 分 当且仅当 33 110 11xx 即4x或2x时，等号成立， 9 分 所以，2k ； 综上，k的取值范围是,2 10 分 【注】【注】如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各 1 分，正确写出结分，正确写出结 果各果各 1 分，中间过程可酌情给分，中间过程可酌情给 1-2 分，但每小问给分最多不超过分，但每小问给分最多不超过 4 分。分。 如果作图的坐标系没有箭头或如果作图的坐标系没有箭头或x Oy、 、的标记， 的标记，扣除过程分扣除过程分 1 分。分。 第（1）问图象 第（2）问图象