2020年江苏省高考数学附加题专项7套 带答案.docx

1、2020 高考数学-附加题专项练习 专题一 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】 选修 42：矩阵与变换 设矩阵 A m 0 0 n ，若矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 1 0 ，属于特征值 2 的一个特 征向量为 0 1 ，求矩阵 A. 【题目 2】 选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 l： x1t， yt (t 为参数)与圆 C： x2cos ， ym2sin ( 为参数)相交于 A，B 两点，m 为常数. (1)当 m0 时，求线段 AB 的长； 【题目 1】 甲、乙两人投篮命中的概率分别为2 3与 1 2，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比 赛 3 局

2、，每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率； (2)设 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求 的分布列和数学期望 E(). 解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况： 甲进 1 球，乙进 0 球；甲进 2 球，乙进 1 球；甲进 3 球，乙进 2 球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率为 2020 高考数学-附加题专项练习 【题目 2】 在(1xx2)nD0nD1nxD2nx2DrnxrD2n 1 n x2n 1D2n nx 2n的展开式中，把 D0n，D1n，D2n，D2n n叫做三项式系数. (1)

3、当 n2 时，写出三项式系数 D02，D12，D22，D32，D42的值； (2)类比二项式系数性质 Cm n1C m1 n Cm n(1mn，mN，nN)，给出一个关于三项式系数 . 2020 高考数学-附加题专项练习 专题二 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】 选修 42：矩阵与变换 已知曲线 C： y21 2x， 在矩阵 M 1 0 0 2 对应的变换作用下得到曲线 C1， C1在矩阵 N 0 1 1 0 对应的变换作用下得到曲线 C2，求曲线 C2的方程. 【题目 2】 选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，圆的参数方程为 x22cos ， y2s

4、in ( 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求： (1)圆的普通方程； (2)圆的极坐标方程. 必做部分 【题目 1】 如图，在多面体 ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED平 面 ABCD，FBED，且 ADDE2BF2. (1)求证：ACEF； (2)求二面角 CEFD 的大小. 2020 高考数学-附加题专项练习 【题目 2】 已知 k，mN*，若存在互不相等的正整数 a1，a2，am，使得 a1a2，a2a3， am1am，ama1同时小于 k，则记 f(k)为满足条件的 m 的最大值. (1)求 f(6)的值； (2)对于给定的正整数 n(n1)

5、， ()当 n(n2)k(n1)(n2)时，求 f(k)的解析式； ()当 n(n1)kn(n2)时，求 f(k)的解析式. 2020 高考数学-附加题专项练习 专题三 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】 选修 42：矩阵与变换 设二阶矩阵 A，B 满足 A 1 1 2 3 4 ，(BA) 1 1 0 0 1 ，求 B 1. 【题目 2】 选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中， 已知曲线 C： 2sin ， 过极点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点， 且 AB 3， 求直线 l 的方程. 必做部分 【题目 1】 某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个

6、年级选出 3 名学生组成代表队， 比赛规则是：按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；代表队中每名队员至少参加一 盘比赛，但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为3 7， 4 7. (1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？ (2)若单打获胜得 2 分，双打获胜得 3 分，求高一年级得分 的概率分布列和数学期望. 2020 高考数学-附加题专项练习 【题目 2】 已知抛物线 C： x22py(p0)过点(2， 1)， 直线 l 过点 P(0， 1)与抛物线 C 交于 A， B 两点.点 A 关于 y 轴的对称点为 A，连接 AB. (1)求抛物线 C

7、的标准方程； (2)问直线 AB 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请 说明理由. 2020 高考数学-附加题专项练习 专题 4 请同学从下面给的三题中选定两题作答 【题目 1】 选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 A 1 2 c d (c，d 为实数).若矩阵 A 属于特征值 2，3 的一个特征向量分别为 2 1 ， 1 1 ， 求矩阵 A 的逆矩阵 A 1. 【题目 2】 选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 3 3， 曲线 C 的参数方程为 x2cos ， y2sin ( 为参数)，设点 P 是曲线 C 上的任意一点，求 P 到直线 l 的距离的最

8、大值. 必做部分 【题目 1】 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 CACB1， AA12，BCA90 . (1)求异面直线 BA1与 CB1夹角的余弦值； (2)求二面角 BAB1C 平面角的余弦值. 2020 高考数学-附加题专项练习 【题目 2】 在数列an中，已知 a120，a230，an13anan1(nN*，n2). (1)当 n2，3 时，分别求 a2nan1an1的值，并判断 a2nan1an1(n2)是否为定值，然后给出证 明； (2)求出所有的正整数 n，使得 5an1an1 为完全平方数. 2020 高考数学-附加题专项练习 专题五 2.(2018 江苏省盐城中

9、学调研)已知矩阵 M 0 a b 0 满足： Maiiai， 其中 i(i1,2)是互不相等的 实常数，ai(i1,2)是非零的平面列向量，11，a2 1 1 ，求矩阵 M. 3.(2018 苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点 P( ) 2， 3 为圆心且与直线 l: sin( ) 3 2 相切的圆的极坐标方程. 5.已知点 A(1,2)在抛物线 F：y22px 上. (1)若ABC 的三个顶点都在抛物线 F 上，记三边 AB，BC，CA 所在直线的斜率分别为 k1，k2， k3, 求1 k1 1 k2 1 k3的值； (2)若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 F 上，记四边 A

10、B，BC，CD，DA 所在直线的斜率分 别为 k1，k2，k3，k4，求1 k1 1 k2 1 k3 1 k4的值. 2020 高考数学-附加题专项练习 6.已知 fn(x)C0nxnC1n(x1)n(1)kCkn(xk)n(1)nCnn(xn)n，其中 xR，nN*， kN，kn. (1)试求 f1(x)，f2(x)，f3(x)的值； (2)试猜测 fn(x)关于 n 的表达式，并证明你的结论. . 2020 高考数学-附加题专项练习 专题六 2.(2018 苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A()0，0 ，B()3，0 ，C()2，2 . 设变换 T1, T2对应的

11、矩阵分别为 M 1 0 0 2 ， N 2 0 0 1 ，求对ABC 依次实施变换 T1, T2后所 得图形的面积. 3.已知两个动点 P，Q 分别在两条直线 l1：yx 和 l2：yx 上运动，且它们的横坐标分别为角 的正弦，余弦，0，记OM OP OQ ，求动点 M 的轨迹的普通方程. 5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投 球 3 次时结束.设甲每次投篮命中的概率为2 5，乙每次投篮命中的概率为 2 3，且各次投篮互不影响. 现由甲先投. (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时甲的投篮次数 X 的概率分布与数学期望. 2020 高考数学

12、-附加题专项练习 6.设 n 个正数 a1，a2，an满足 a1a2an(nN*且 n3). (1)当 n3 时，证明：a1a2 a3 a2a3 a1 a3a1 a2 a1a2a3； (2)当 n4 时，不等式a1a2 a3 a2a3 a4 a3a4 a1 a4a1 a2 a1a2a3a4也成立，请你将其推广到 n(nN* 且 n3)个正数 a1，a2，an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 2020 高考数学-附加题专项练习 专题七 2.若二阶矩阵 M 满足 2 1 2 2 1 M 3 0 4 1 ，求曲线 4x24xyy212x12y0 在矩阵 M 所对应的变换作用下得到的曲线

13、的方程. 3.已知直线的极坐标方程为 sin( ) 4 2 2 ， 圆 M 的参数方程为 x2cos ， y22sin (其中 为参 数). (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆 M 上的点到直线的距离的最小值. 5.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，ABAC，M 是棱 BC 的中点，点 P 在线段 A1B 上. (1)若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成角的大小； (2)若 N 是 CC1的中点，直线 A1B 与平面 PMN 所成角的正弦值为 7 7 ， 求线段 BP 的长度. 2020 高考数学-附加题专项练习 6.已知

14、( ) 11 2x n展开式的各项依次记为 a 1(x)，a2(x)，a3(x)，an(x)，an1(x).设 F(x)a1(x) 2a2(x)3a3(x)nan(x)(n1) an1(x). (1)若 a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数依次成等差数列，求 n 的值； (2)求证：对任意 x1，x20,2，恒有|F(x1)F(x2)|2n 1(n2)1 2020 高考数学-选做专项练习 专题一 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】 选修 42：矩阵与变换 设矩阵 A m 0 0 n ，若矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 1 0 ，属于特征值 2 的一个特 征向量

15、为 0 1 ，求矩阵 A. 解 由题意得 m 0 0 n 1 0 1 1 0 ， m 0 0 n 0 1 2 0 1 ，所以 m1， n2， 故 A 1 0 0 2 . 【题目 2】 选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 l： x1t， yt (t 为参数)与圆 C： x2cos ， ym2sin ( 为参数)相交于 A，B 两点，m 为常数. (1)当 m0 时，求线段 AB 的长； (2)当圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 时，求 m 的值. 解 (1)直线 l：xy10，曲线 C：x2y24， 圆心到直线的距离 d 1 2，故 AB2 r2d2 14. (2)圆 C 的直角坐标方程

16、为 x2(ym)24，直线 l：xy10， 由题意，知圆心到直线的距离 d|m1| 2 1，m1 2. 必做部分 【题目 1】 甲、乙两人投篮命中的概率分别为2 3与 1 2，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比 赛 3 局，每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率； (2)设 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求 的分布列和数学期望 E(). 解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况： 甲进 1 球，乙进 0 球；甲进 2 球，乙进 1 球；甲进 3 球，乙进 2 球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概

17、率为 PC132 3( ) 1 3 2 ( ) 1 2 3 C23( ) 2 3 2 ( ) 1 3 C13( ) 1 2 3 C33( ) 2 3 3 C23( ) 1 2 3 11 36. (2) 的取值为 0，1，2，3，则 P(0)( ) 1 3 3 ( ) 1 2 3 C132 3( ) 1 3 2 C13( ) 1 2 3 C23( ) 2 3 2 1 3C 2 3( ) 1 2 3 ( ) 2 3 3 ( ) 1 2 3 7 24， P(1)( ) 1 3 3 C13( ) 1 2 3 C132 3( ) 1 3 2 ( ) 1 2 3 C132 3( ) 1 3 2 C23(

18、) 1 2 3 C23( ) 2 3 2 1 3C 1 3( ) 1 2 3 C23( ) 2 3 2 1 3( ) 1 2 3 ( ) 2 3 3 C23( ) 1 2 3 11 24， P(2)( ) 1 3 3 C23( ) 1 2 3 C23( ) 2 3 2 1 3( ) 1 2 3 C132 3( ) 1 3 2 ( ) 1 2 3 ( ) 2 3 3 C13 ( ) 1 2 3 5 24， P(3)( ) 1 3 3 ( ) 1 2 3 ( ) 2 3 3 ( ) 1 2 3 1 24， 2020 高考数学-选做专项练习 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 7 24 11 24

19、 5 24 1 24 所以数学期望 E()0 7 241 11 242 5 243 1 241. 【题目 2】 在(1xx2)nD0nD1nxD2nx2DrnxrD2n 1 n x2n 1D2n nx 2n的展开式中，把 D0n，D1n，D2n，D2n n叫做三项式系数. (1)当 n2 时，写出三项式系数 D02，D12，D22，D32，D42的值； (2)类比二项式系数性质 Cm n1C m1 n Cm n(1mn， mN， nN)， 给出一个关于三项式系数 D m1 n1 (1m2n1，mN，nN)的相似性质，并予以证明. 解 (1)因为(1xx2)212x3x22x3x4， 所以 D0

20、21，D122，D223，D322，D421. (2)类比二项式系数性质 Cm n1C m1 n Cm n(1mn，mN，nN)， 三项式系数有如下性质：Dm 1 n1D m1 n Dm nD m1 n (1m2n1). 证明如下： 因为(1xx2)n 1(1xx2) (1xx2)n， 所以(1xx2)n 1(1xx2) (D0 nD 1 nxD 2 nx 2D2n1 n x2n 1D2n nx 2n). 上式左边 xm 1的系数为 Dm1 n1，上式右边 x m1的系数为 Dm1 n Dm nD m1 n ， 于是 Dm 1 n1D m1 n Dm nD m1 n (1m2n1). 2020

21、 高考数学-选做专项练习 专题二 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】 选修 42：矩阵与变换 已知曲线 C： y21 2x， 在矩阵 M 1 0 0 2 对应的变换作用下得到曲线 C1， C1在矩阵 N 0 1 1 0 对应的变换作用下得到曲线 C2，求曲线 C2的方程. 解 设 ANM，则 A 0 1 1 0 1 0 0 2 0 2 1 0 ，设 P(x，y)是曲线 C 上任一点，在两次变 换下，在曲线 C2上对应的点为 P(x，y)， 则 x y 0 2 1 0 x y 2y x ，即 x2y， yx， xy， y1 2x. 又点 P(x，y)在曲线 C：y21 2x 上，

22、() 1 2x 2 1 2y，即 x 22y. 【题目 2】 选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，圆的参数方程为 x22cos ， y2sin ( 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求： (1)圆的普通方程； (2)圆的极坐标方程. 解 (1)根据 sin2cos21，得(x2)2y24cos24sin2， 所以圆的普通方程为(x2)2y24. (2)把 xcos ， ysin 代入圆的普通方程得圆的极坐标方程为 4cos . 必做部分 【题目 1】 如图，在多面体 ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED平面 ABCD，FBED，且

23、 ADDE2BF2. (1)求证：ACEF； (2)求二面角 CEFD 的大小. (1)证明 连接 BD，FBED，F，B，E，D 共面， ED平面 ABCD，AC平面ABCD，EDAC，又 ABCD 为正方形， BDAC，而 EDDBD，ED，DB平面 DBFE， AC平面 DBFE，而 EF平面 DBFE，ACEF. (2)解 如图建立空间直角坐标系. 2020 高考数学-选做专项练习 则 A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，E(0，0，2)， 由(1)知AC 为平面 DBFE 的法向量，即AC(2，2，0)， 又CE (0，2，2)，CF(2，0，1)

24、，设平面 CEF 的法向量为 n(x，y，z)， 则有 CE n0， CF n0，即 2y2z0， 2xz0， 取 z1，则 x1 2，y1，n() 1 2，1，1 . 设二面角 CEFD 的大小为 ，则 cos n，AC n AC |n|AC | 12 3 22 2 2 2 ， 又二面角 CEFD 为锐角，所以 4. 【题目 2】 已知 k，mN*，若存在互不相等的正整数 a1，a2，am，使得 a1a2，a2a3， am1am，ama1同时小于 k，则记 f(k)为满足条件的 m 的最大值. (1)求 f(6)的值； (2)对于给定的正整数 n(n1)， ()当 n(n2)k(n1)(n2

25、)时，求 f(k)的解析式； ()当 n(n1)kn(n2)时，求 f(k)的解析式. 解 (1)由题意，取 a11，a22，a1a26，满足题意， 若a33，则必有 a2a36，不满足题意， 综上所述，m 的最大值为 2，即 f(6)2. (2)由题意，当 n(n1)k(n1)(n2)时， 设 A11，2，n，A2n1，n2，n3， 显然，ai，ai1A1时，满足 aiai1n(n1)n(n1)k， 所以从集合 A1中选出的 ai至多有 n 个， aj，aj1A2时，ajaj1(n1)(n2)k，不符合题意， 所以从集合 A2中选出的 aj必不相邻， 又因为从集合 A1中选出的 ai至多有

26、n 个， 所以从集合 A2中选出的 aj至多有 n 个，放置于从集合 A1中选出的 ai之间， 所以 f(k)2n. ()当 n(n2)k(n1)(n2)时， 取一串数 ai为：1，2n，2，2n1，3，2n2，n1，n2，n，n1， 或写成 ai i1 2 ，i为奇数， 2n1i 2，i为偶数 (1i2n)， 此时 aiai1n(n2)k(1i2n1)，a2na1n1k，满足题意，所以 f(k)2n. ()当 n(n1)kn(n2)时， 2020 高考数学-选做专项练习 从 A1中选出的 n 个 ai：1，2，n，考虑数 n 的两侧的空位，填入集合 A2的两个数 ap，aq， 不妨设 nap

27、naq，则 napn(n2)k，与题意不符， 所以 f(k)2n1， 取一串数 ai为 1，2n1，2，2n2，3，2n3，n2，n2，n1，n1，n 或写成 ai i1 2 ，i为奇数， 2ni 2，i为偶数 (1i2n1)， 此时 aiai1n(n1)k(1i2n2)，a2n1a1nk，满足题意， 所以 f(k)2n1. 2020 高考数学-选做专项练习 专题三 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】 选修 42：矩阵与变换 设二阶矩阵 A，B 满足 A 1 1 2 3 4 ，(BA) 1 1 0 0 1 ，求 B 1. 解 设 B 1 a b c d ，因为(BA) 1A1B

28、1，所以 1 0 0 1 1 2 3 4 a b c d ， 即 a2c1， b2d0， 3a4c0， 3b4d1， 解得 a2， b1， c3 2， d1 2， 所以 B 1 2 1 3 2 1 2 . 【题目 2】 选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中， 已知曲线 C： 2sin ， 过极点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点， 且 AB 3， 求直线 l 的方程. 解 设直线 l 的方程为 0(R)，A(0，0)，B(1，0)， 则 AB|10|2sin 0|.又 AB 3，故 sin 0 3 2 . 解得 0 32k 或 0 32k，kZ. 所以直线 l 的方程为

29、3或 2 3 (R). 【题目 3】 选修 45：不等式选讲 已知 a0，b0，求证：a6b6ab(a4b4). 证明 a6b6ab(a4b4)a5(ab)(ab)b5(ab)(a5b5). 又 a0，b0，当 ab0 时，a5b50； 当 ab0 时，a5b50，即(ab)(a5b5)0， 所以 a6b6ab(a4b4)0，即 a6b6ab(a4b4). 必做部分 【题目 1】 某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出 3 名学生组成代表队， 比赛规则是：按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；代表队中每名队员至少参加一 盘比赛，但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、高二获胜

30、的概率分别为3 7， 4 7. (1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？ (2)若单打获胜得 2 分，双打获胜得 3 分，求高一年级得分 的概率分布列和数学期望. 解 (1)先安排参加单打的队员有 A23种方法，再安排参加双打的队员有 C12种方法， 所以，高一年级代表队出场共有 A23C1212 种不同的阵容. (2) 的取值可能是 0，2，3，4，5，7. P(0)( ) 13 7 3 64 343，P(2)C 1 23 7() 13 7 2 96 343， P(3)( ) 13 7 2 3 7 48 343，P(4)( ) 3 7 2 ( ) 13 7 36 343

31、， P(5)C123 7() 13 7 3 7 72 343，P(7)( ) 3 7 3 27 343， 2020 高考数学-选做专项练习 的概率分布列为 0 2 3 4 5 7 P 64 343 96 343 48 343 36 343 72 343 27 343 所以 E()0 64 3432 96 3433 48 3434 36 3435 72 3437 27 3433. 【题目 2】 已知抛物线 C： x22py(p0)过点(2， 1)， 直线 l 过点 P(0， 1)与抛物线 C 交于 A， B 两点.点 A 关于 y 轴的对称点为 A，连接 AB. (1)求抛物线 C 的标准方程；

32、 (2)问直线 AB 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解 (1)将点(2，1)代入抛物线 C 的方程得 p2， 所以抛物线 C 的标准方程为 x24y. (2)设直线 l 的方程为 ykx1，又设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A(x1，y1)， 由 y1 4x 2， ykx1 得 x24kx40，则 16k2160， x12k2k21，x22k2 k21， 所以 kAB y2y1 x2（x1） x22 4 x21 4 x1x2 x2x1 4 ， 于是直线 AB 的方程为 yx 2 2 4 x2x1 4 (xx2)， 所以 yx2x1 4 (xx2)x 2 2

33、4 k21x1，当 x0 时，y1， 所以直线 AB 过定点(0，1). 2020 高考数学-选做专项练习 专题 4 请同学从下面给的三题中选定两题作答 【题目 1】 选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 A 1 2 c d (c，d 为实数).若矩阵 A 属于特征值 2，3 的一个特征向量分别为 2 1 ， 1 1 ， 求矩阵 A 的逆矩阵 A 1. 解 由题意知 1 2 c d 2 1 4 2cd 2 2 1 ， 1 2 c d 1 1 3 cd 3 1 1 ， 所以 2cd2， cd3， 解得 c1， d4. 所以 A 1 2 1 4 ，所以 A 1 2 3 1 3 1 6 1 6 . 【题

34、目 2】 选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 3 3， 曲线 C 的参数方程为 x2cos ， y2sin ( 为参数)，设点 P 是曲线 C 上的任意一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值. 解 由 sin( ) 3 3，可得 1 2sin 3 2 cos 3.所以 y 3x6， 即 3xy60，由 x2cos ， y2sin 得 x2y24，圆的半径为 r2， 所以圆心到直线 l 的距离 d6 23，所以 P 到直线 l 的距离的最大值为 dr5. 【题目 3】 选修 45：不等式选讲 已知 x，y，zR，且 x2y3z80.求证：(x1)2(y2)

35、2(z3)214. 证明 因为(x1)2(y2)2(z3)2(122232)(x1)2(y2)3(z3)2 (x2y3z6)2142， 当且仅当x1 1 y2 2 z3 3 ，即 xz0，y4 时，取等号， 所以(x1)2(y2)2(z3)214. 必做部分 【题目 1】 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 CACB1，AA12，BCA90 . (1)求异面直线 BA1与 CB1夹角的余弦值； (2)求二面角 BAB1C 平面角的余弦值. 解 如图，以CA ，CB，CC 1 为正交基底，建立空间直角坐标系 Cxyz， 2020 高考数学-选做专项练习 则 A(1，0，0)，B(0，1

36、，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)， 所以CB1 (0，1，2)，AB (1，1，0)，AB 1 (1，1，2)，BA1 (1，1，2). (1)因为 cosCB1 ，BA1 CB1 BA1 |CB1 |BA1 | 3 5 6 30 10 ， 所以异面直线 BA1与 CB1夹角的余弦值为 30 10 . (2)设平面 CAB1的法向量为 m(x，y，z)，则 m AB1 0， m CB1 0， 即 xy2z0， y2z0， 取平面 CAB1的一个法向量为 m(0，2，1)； 设平面 BAB1的法向量为 n(r，s，t)，则 n AB1 0， n AB 0， 即 rs2t0， rs0

37、， 取平面 BAB1的一个法向量为 n(1，1，0)， 则 cosm，n m n |m|n| 2 5 2 10 5 ，易知二面角 BAB1C 为锐角， 所以二面角 BAB1C 平面角的余弦值为 10 5 . 【题目 2】 在数列an中，已知 a120，a230，an13anan1(nN*，n2). (1)当 n2，3 时，分别求 a2nan1an1的值，并判断 a2nan1an1(n2)是否为定值，然后给出证 明； (2)求出所有的正整数 n，使得 5an1an1 为完全平方数. 解 (1)由已知得 a370，a4180.所以当 n2 时，a2nan1an1500；当 n3 时，a2nan1a

38、n 1500.猜想：a2nan1an1500(n2). 下面用数学归纳法证明： 当 n2 时，结论成立. 假设当 nk(k2，kN*)时，结论成立，即 a2kak1ak1500. 将 ak13akak1代入上式， 可得 a2k3akak1a2k1500.则当 nk1 时， a2k1akak2a2k1ak(3ak1ak)a2k13akak1a2k500. 故当 nk1 结论成立， 根据可得 a2nan1an1500(n2)成立. (2)将 an13anan1代入 a2nan1an1500， 得 a2n13anan1a2n500， 则 5an1an(an1an)2500，5anan11(an1an

39、)2501， 2020 高考数学-选做专项练习 设 5an1an1t2(tN*)，则 t2(an1an)2501， 即t(an1an)(tan1an)501， 又 an1anN，且 50115013167， 故 a n1ant1， an1ant501 或 a n1ant3， an1ant167， 所以 t251， an1an250或 t85， an1an82， 由 an1an250 解得 n3； 由 an1an82 得 n 无整数解，所以当 n3 时，满足条件. 2020 高考数学-选做专项练习 专题五 2.(2018 江苏省盐城中学调研)已知矩阵 M 0 a b 0 满足： Maiiai，

40、其中 i(i1,2)是互不相等的 实常数，ai(i1,2)是非零的平面列向量，11，a2 1 1 ，求矩阵 M. 解 由题意，1，2是方程 f() a b 2ab0 的两根. 因为 11，所以 ab1. 又因为 Ma22a2，所以 0 a b 0 1 1 2 1 1 ，从而 a2， b2， 所以 22ab1. 因为 12，所以 21，从而 ab1， 故矩阵 M 0 1 1 0 . 3.(2018 苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点 P( ) 2， 3 为圆心且与直线 l: sin( ) 3 2 相切的圆的极坐标方程. 解 以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy

41、. 则点 P 的直角坐标为()1， 3 . 将直线 l: sin( ) 3 2 的方程变形为： sin cos 3cos sin 32，化为普通方程得 3xy 40. P()1， 3 到直线 l: 3xy40 的距离为 4 ()3 2( )1 22. 所求圆的普通方程为()x1 2( )y 3 24，化为极坐标方程得 4sin( ) 6 . 4.已知实数 x0，y0，z0，证明：( ) 1 x 2 y 3 z() x 2 y 4 z 6 9 2. 证明 因为 x0，y0，z0， 所以 1 x 2 y 3 z 3 3 6 xyz， x 2 y 4 z 6 3 3xyz 48， 所以( ) 1 x

42、 2 y 3 z() x 2 y 4 z 6 9 2. 当且仅当 xyz123 时，等号成立. 5.已知点 A(1,2)在抛物线 F：y22px 上. (1)若ABC 的三个顶点都在抛物线 F 上，记三边 AB，BC，CA 所在直线的斜率分别为 k1，k2， k3, 求1 k1 1 k2 1 k3的值； (2)若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 F 上，记四边 AB，BC，CD，DA 所在直线的斜率分 别为 k1，k2，k3，k4，求1 k1 1 k2 1 k3 1 k4的值. 解 (1)由点 A(1,2)在抛物线 F 上，得 p2， 抛物线 F：y24x， 设 B( ) y21 4，y1 ，C( ) y22 4，y2 ， 2020 高考数学-选做专项练习 1 k1 1 k2 1 k3 y21 41 y12 y22 4 y21 4 y2y1 1y 2 2 4 2y2 y12 4 y2y1 4 2y2 4 1. (2)另设 D( ) y23 4，y3 ，则1 k1 1 k2 1 k3 1 k4 y12 4 y2y1 4 y3y2 4 2y3 4 0. 6.已知 fn(x