必修2-高中数学（人教A版2019）例题、课后习题及变式题-Word版.rar

10.1 随机事件与概率随机事件与概率10.1.1 有限样本空间与随机事件有限样本空间与随机事件例 1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为 正面朝上，反面朝上.如果用 h 表示“正面朝上”，t 表示“反面朝上”，则样本空间,h t.例 2 抛掷一枚骰子（tuzi），观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.解：用 i 表示朝上面的“点数为 i”.因为落地时朝上面的点数有 1，2，3，4，5，6 共 6 个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为1,2,3,4,5,6.例 3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用 x 表示，第二枚硬币可能的基本结果用 y表示，那么试验的样本点可用(,)x y表示.于是，试验的样本空间（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）.如果我们用 1 表示硬币“正面朝上”，用 0 表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为(1,1),(1,0)1),(0,0),(0,.如图 10.1-1 所示，画树状图可以帮助我们理解例 3 的解答过程.例 4 如图 10.1-2，一个电路中有 A，B，C 三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示下列事件：M“恰好两个元件正常”；N“电路是通路”；T“电路是断路”.解：（1）分别用1x，2x和3x表示元件 A，B 和 C 的可能状态，则这个电路的工作状态可用123,x xx表示.进一步地，用 1 表示元件的“正常”状态，用 0 表示“失效”状态，则样本空间(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1).如图 10.1-3，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.（2）“恰好两个元件正常”等价于123,x xx，且1x，2x，3x中恰有两个为 1，所以(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)M.“电路是通路”等价于123,x xx，11x，且2x，3x中至少有一个是 1，所以(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)N.同理，“电路是断路”等价于123,x xx，10 x，或11x，230 xx.所以(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)T.练习练习1.写出下列各随机试验的样本空间：（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其 ABO 血型；（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；（4）射击靶 3 次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶 3 次，观察中靶的次数.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（4）详见解析（5）详见解析【解析】【分析】（1）随机选择一名同学的性别有两种可能结果：男或女；（2）由血型有,A B AB O四种，可得样本空间；（3）由每个小孩的性别有男或女两种可能，可得样本空间；（4）由每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击 3 次有八种可能；（5）射击 3 次，中靶的次数可能是 0，1，2，3。【详解】解：（1）一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为 男，女；（2）一名同学的血型有四种可能结果：A 型、B 型、AB 型、O 型.故该试验的样本空间可表示为,A B AB O；（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）；（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击 3 次有八种可能，用 1 表示中靶，用0 表示脱靶，该试验的样本空间可表示为 0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1N；（5）射击 3 次，中靶的次数可能是 0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为0,1,2,3N.【点睛】本题考查样本空间，要注意问题（2）有,A B AB O四种血型，以及（4）和（5）问题的差别。2.如图，由 A，B 两个元件分别组成串联电路（图（1）和并联电路（图（2），观察两个元件正常或失效的情况.（1）写出试验的样本空间；（2）对串联电路，写出事件 M=“电路是通路”包含的样本点；（3）对并联电路，写出事件 N=“电路是断路”包含的样本点.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】【分析】（1）A，B 两个元件均由正常或失效两种可能，由此可得样本空间；（2）若电路是通路，则 A，B 均正常；（3）若电路是断路，则 A，B 均失效。【详解】解：A，B 两个元件中每个元件都有正常（用 1 表示）或失效（用 0 表示）两种可能结果：（1）故该试验的样本空间可以表示为 0,0,0,1,1,0,1,1；（2）对串联电路，只有当 A，B 都正常时电路才是通路，故 M 包含的样本点为1,1；（3）对并联电路，只有当 A，B 都失效时电路才是断路，故 N 包含的样本点为0,0.【点睛】本题考查样本空间和样本点，是基础题。3.袋子中有 9 个大小和质地相同的球，标号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球.（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示事件 A=“摸到球的号码小于 5”，事件 B=“摸到球的号码大于 4”，事件 C=“摸到球的号码是偶数”【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）摸出一个球，上面的标号有 9 种可能；（2）由球的标号可得事件对应的样本空间。【详解】解：（1）用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为1,2,3,4,5,6,7,8,9；（2）1,2,3,4A；5,6,7,8,9B；2,4,6,8C.【点睛】本题考查样本空间，属于简单题。10.1.2 事件的关系与运算事件的关系与运算例 5 如图 10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A“甲元件正常”，B“乙元件正常”.（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；（2）用集合的形式表示事件 A，B 以及它们的对立事件；（3）用集合形式表示事件AB和事件AB，并说明它们的含义及关系.分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组12,x x表示样本点.这样，确定事件 A，B 所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态.解：（1）用1x，2x分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用12,x x表示这个并联电路的状态.以 1 表示元件正常，0 表示元件失效，则样本空间为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).的（2）根据题意，可得(1,0),(1,1)A，(0,1),(1,1)B，(0,0),(0,1)A，(0,0),(1,0)B.（3）(0,1),(1,0),(1,1)AB，(0,0)AB；AB表示电路工作正常，AB表示电路工作不正常；AB和AB互为对立事件.例 6 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红色球（标号为 1 和 2），2 个绿色球（标号为 3 和 4），从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球.设事件1R“第一次摸到红球”，2R“第二次摸到红球”，R“两次都摸到红球”，G“两次都摸到绿球”，M“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件 R 与1R，R 与 G，M 与 N 之间各有什么关系？（3）事件 R 与事件 G并事件与事件 M 有什么关系？事件1R与事件2R的交事件与事件R 有什么关系？解：（1）所有的试验结果如图 10.1-10 所示.用数组12,x x表示可能的结果，1x是第一次摸到的球的标号，2x是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，事件1R“第一次摸到红球”，即11x 或 2，于是1(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)R；的事件2R“第二次摸到红球”，即21x 或 2，于是2(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)R.同理，有(1,2),(2,1)R，(3,4),(4,3)G，(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)M，(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)N.（2）因为1RR，所以事件1R包含事件 R；因为RG ，所以事件 R 与事件 G 互斥；因为MN ，MN，所以事件 M 与事件 N 互为对立事件.（3）因为RGM，所以事件是事件 R 与事件 G 的并事件；因为12RRR，所以事件 R 是事件1R与事件2R的交事件.练习练习4.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没中靶【答案】D【解析】【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.【详解】对于 A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A 选项不满足条件；对于 B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B 选项不满足条件；对于 C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C 选项不满足条件；对于 D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D 选项满足条件.故选：D.5.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：iC=“点数为 i”，其中1,2,3,4,5,6i；1D=“点数不大于 2”，2D=“点数大于 2”，3D=“点数大于 4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.（1）1C与2C互斥；（2）2C，3C为对立事件；（3）32CD；（4）32DD；（5）12DD ，12D D ；（6）356DCC；（7）135ECCC；（8）E，F 为对立事件；（9）232DDD；（10）233DDD【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）正确；（10）正确.【解析】【分析】根据题意分别计算各个事件的基本事件,再逐个判断即可.【详解】解：该试验的样本空间可表示为1,2,3,4,5,6,由题意知 iCi,11,2D,23,4,5,6D,35,6D,1,3,5E,2,4,6F.（1）11C,22C,满足12CC ,所以1C与2C互斥,故正确；（2）22C,33C,满足23CC 但不满足23CC.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）565,6CC,所以356DCC,故正确；（7）1351,2,3CCC,故135ECCC正确；（8）因为EF,EF,所以 E,F 为对立事件,故正确；（9）正确；（10）正确.【点睛】本题主要考查了事件间的关系判断,属于基础题型.10.1.3 古典概型古典概型例 7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从 A，B，C，D 四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？解：试验有选 A、选 B、选 C、选 D 共 4 种可能结果，试验的样本空间可以表示为A,B,C,D.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.设M“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以()1n M.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率1()4P M.例 8 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为号和号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率：A“两个点数之和是 5”；B“两个点数相等”；C“号骰子的点数大于号骰子的点数”.解：（1）抛掷一枚骰子有 6 种等可能的结果，号骰子的每一个结果都可与号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字 m 表示号骰子出现的点数是m，数字 n 表示号骰子出现的点数是 n，则数组(,)m n表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间(,)|,1,2,3,4,5,6m nm n，其中共有 36 个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.（2）因为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)A，所以()4n A，从而()41()()369n AP An；因为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)B，所以()6n B，从而()61()()366n BP Bn；因为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)C，所以()15n C，从而()155()()3612n CP Cn.例 9 袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球、3 个黄球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球，求下列事件的概率：（1）A“第一次摸到红球”；（2）B“第二次摸到红球”；（3）AB“两次都摸到红球”.解：将两个红球编号为 1，2，三个黄球编号为 3，4，5.第一次摸球时有 5 种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有 4 种等可能的结果.将两次摸球的结果配对，组成 20 种等可能的结果，用表 10.1-2 表示.表 10.1-2第二次第一次123451(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)（1）第一次摸到红球的可能结果有 8 种（表中第 1，2 行），即(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)A，所以82()205P A.（2）第二次摸到红球的可能结果也有 8 种（表中第 1、2 列），即(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)B，所以82()205P B.（3）事件AB包含 2 个可能结果，即(1,2),(2,1)AB，所以21()2010P AB.例 10 从两名男生（记为1B和2B）、两名女生（记为1G和2G）中任意抽取两人.（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.解：设第一次抽取的人记为1x，第二次抽取的人记为2x，则可用数组12,x x表示样本点.（1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间 111121112212221221112B,B,B,B,B,G,B,G,B,B,B,B,B,GB GG BG B 111221222122,G,B,G,G,G,GG GG GG B.不放回简单随机抽样的样本空间 212111221212211121221B,B,B,G,B,G,B,B,B,G,B,G,G,B,G,B,G,G,G,B,2221G,B,G,G.按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间 311122122B,G,B,G,B,G,B,G.（2）设事件A“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，11122122B,B,B,B,B,B,B,BA.因为抽中样本空间1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此4()0.2516P A 对于不放回简单随机抽样，1221B,B,B,BA.因为抽中样本空间2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此21()0.167126P A.因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A，因此()0P A.练习练习6.判断下面的解答是否正确，并说明理由.某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用 y 表示命中，用 n表示没有命中，那么试验的样本空间,yy yn ny nn，因此事件“两次射击都命中”的概率为 0.25.【答案】解答错误,详见解析【解析】【分析】要观察样本点发生的可能性是否相同，即是否是古典概型题中命中与不命中的概率不相等，因此样本点发生的可能性是不相等【详解】解：该解答不正确，原因如下：运动员练习时命中目标与没有命中目标的概率是不相等的，所以样本点发生的可能性是不相等的，所以该试验并不是古典概型，故解答错误.【点睛】本题考查古典概型的定义，解题关键是样本点发生的概率是否相等7.从 52 张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：（1）抽到的牌是 7；（2）抽到的牌不是 7；（3）抽到的牌是方片；（4）抽到 J 或 Q 或 K；（5）抽到的牌既是红心又是草花；（6）抽到的牌比 6 大比 9 小；（7）抽到的牌是红花色；（8）抽到的牌是红花色或黑花色.【答案】（1）113（2）1213（3）14（4）313（5）0（6）213（7）12（8）1【解析】【分析】每张牌都是等可能被抽到，整个样本空间中共有 52 个基本事件，然后计算出各事件中含有的基本事件的个数即可求得概率（1）有 4 个基本事件；（2）有 48 个基本事件；（3）有 13 个基本事件；（4）有 12 个基本事件；（5）为不可能事件（6）有 8 个基本事件；（7）有 26 个基本事件；（8）有 52 个基本事件，为必然事件；【详解】解：（1）52 张牌中数字为 7 的有 4 张，所以概率为415213；（2）52 张牌中不是 7 的有52448（张），所以概率为48125213；（3）52 张牌中方片共有 13 张，所以概率为131524；（4）52 张牌中 J，Q，K 共有3 412（张），所以概率为1235213；（5）该事件为不可能事件，所以概率为 0；（6）抽到的牌为 7 或 8，共有 8 张，所以概率为825213；（7）红花色的牌共有2 1326（张），所以概率为261522；（8）该事件为必然事件，所以概率为 1.【点睛】本题考查古典概型概率计算解题关键是确定基本事件的个数8.从 09 这 10 个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：（1）这个数平方的个位数字为 1；（2）这个数的四次方的个位数字为 1.【答案】（1）15（2）25【解析】【分析】整个样本空间中有 10 个基本事件，再计算出各事件中含有的基本事件的个数即可求得概率【详解】解：从 09 这 10 个教中随机选样一个款，共有 10 种可能，其样本空间可表示为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.（1）若一个数平方的个位数字为 1，则该数为 1 或 9，共 2 个，故其概率为21105；（2）若一个数四次方的个位数字为 1，则该数平方的个位数为 1 或 9，所以该数为1，3，7，9，共 4 个，故其概率42105.【点睛】本题考查古典概型概率计算解题关键是确定基本事件的个数，方法是列举法10.1.4 概率的基本性质概率的基本性质例 11 从不包含大小王牌的 52 张扑克牌中随机抽取一张，设事件A“抽到红心”，事件B“抽到方片”，1()()4P AP B，那么（1）C“抽到红花色”，求(C)P；（2）D=“抽到黑花色”，求()P D.解：（1）因为CAB，且 A 与 B 不会同时发生，所以 A 与 B 是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式，得111()()()442P CP AP B.（2）因为 C 与 D 互斥，又因为CD是必然事件，所以 C 与 D 互为对立事件.因此11()1()122P DP C .例 12 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将 6 罐这种饮料装一箱，每箱中都放置 2 罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出 2 罐，能中奖的概率为多少？分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况.如果设A“中奖”，1A“第一罐中奖”，2A“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题.解：设事件A“中奖”，事件1A“第一罐中奖”，事件2A“第二罐中奖”，那么事件12A A“两罐都中奖”，12A A“第一罐中奖，第二罐不中奖”，12A A“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且121212AA AA AA A.因为12A A，12A A，12A A两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得121212()P AP A AP A AP A A.我们借助树状图（图 10.1-11）来求相应事件的样本点数.可以得到，样本空间包含的样本点个数为()6 530n，且每个样本点都是等可能的.因为122n A A，128n A A，128n A A，所以288183()303030305P A.上述解法需要分若干种情况计算概率.注意到事件 A 的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于12A A“两罐都不中奖”，而124 312n A A，所以12122305P A A.因此1223()1155P AP A A .练习练习9.已知 0.5,0.3P AP B.（1）如果BA，那么P AB _，P AB _；（2）如果 A，B 互斥，那么P AB _，P AB _.【答案】.0.5 .0.3 .0.8 .0【解析】【分析】（1）由BA可得ABA,ABB,进而求解即可；（2）由 A,B 互斥可得AB ,进而求解即可【详解】（1）如果BA,那么ABA,ABB,所以 0.5P ABP A,0.3P ABP B（2）如果 A,B 互斥,那么AB ,所以 0.50.30.8P ABP AP B,0P AB 故答案为：（1）0.5；0.3；（2）0.8；0【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题10.指出下列表述中的错误：（1）某地区明天下雨的概率为 0.4，明天不下雨的概率为 0.5；（2）如果事件 A 与事件 B 互斥，那么一定有 1P AP B.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）某地区“明天下雨”与“明天不下雨”互为对立事件,它们的概率之和应为 1；（2）只有当 A,B 互为对立事件时才有 1P AP B【详解】（1）某地区“明天下雨”与“明天不下雨”互为对立事件,它们的概率之和应为1,则若某地区明天下雨的概率为 0.4,明天不下雨的概率应为 0.6（2）如果事件 A,B 互斥,那么 1P AP BP AB,只有当 A,B 互为对立事件时才有 1P AP B【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的定义,属于基础题11.在学校运动会开幕式上，100 名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女）及年级（1G（高一）、2G（高二）、3G（高三）分类统计的人数如下表：1G2G3GM182014F17247若从这 100 名学生中随机选一名学生，求下列概率：P M _，P F _，P MF _，P MF _，1P G_，2P MG_，3P FG_【答案】.0.52 .0.48 .1 .0 .0.35 .0.76 .0.07【解析】【分析】根据频数依题意求得概率即可【详解】123182014520.52100100100100P MP MGMGMG；10.48P FP M；1P MF；0P MFP；11118170.35100100P GP MGFG；2220.520.440.200.76P MGP MP GP MG；370.07100P FG故答案为：（1）0.52；（2）0.48；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07【点睛】本题考查利用频数求概率,考查概率公式的应用习题习题 10.1复习巩固复习巩固12.如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字.（1）用表格表示试验的所有可能结果；（2）列举下列事件包含的样本点：A=“两个数字相同”，B=“两个数字之和等于5”，C=“蓝色骰子的数字为 2”.【答案】（1）详见解析 （2）详见解析【解析】【分析】(1)列表表示所有可能结果即可；(2)利用(1)的的表格分别找出事件 A，B，C 对应的样本点.【详解】解：（1）该试验的所有可能结果如下表：蓝骰子点数黄骰子点数12341（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）4（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（2）A 包含的样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）；B 包含的样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；C 包含的样本点：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）.【点睛】本题主要考查了写某事件包含的基本事件，属于较易题.13.在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d 四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a 对 b，c 对 d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为 acbd（表示 a胜 b，c 胜 d，然后 a 胜 c，b 胜 d）.（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；（2）设事件 A 表示 a 队获得冠军，写出 A 包含的所有可能结果；（3）设事件 B 表示 a 队进入冠亚军决赛，写出 B 包含的所有可能结果.【答案】（1）,acbd acdb cabd cadb adbc adcb dabc dacb bcad bcda cbad cdda bdca bdac dbca bdac（2）,acbd acdb adbc adcb；（3）,.,acbd acdb adbc adcb cabdabc dcadbacbd【解析】【分析】(1)以第一轮比赛中胜出的情况进行分类，列举出比赛所有可能的结果；(2)在样本空间中找出以a开头的所有结果，即可得出事件 A；(3)在样本空间中找出a在开头或第二位的所有结果，即可得出事件 B【详解】解：（1）第一轮的两场比赛中，当,a c胜出时，比赛最终可能的结果为：,acbd acdb cabd cadb 第一轮的两场比赛中，当a,d胜出时，比赛最终可能的结果为：,adbc adcb dabc dacb第一轮的两场比赛中，当,b c胜出时，比赛最终可能的结果为：,bcad bcda cbad cdda 第一轮的两场比赛中，当,b d胜出时，比赛最终可能的结果为：,bdca bdac dbca bdac 则该试验的样本空间可表示为:,acbd acdb cabd cadb adbc adcb dabc dacb bcad bcda cbad cdda bdca bdac dbca bdac；（2）事件 A 包含的所有结果为：,acbd acdb adbc adcb；（3）事件 B 包含的所有结果为：,.,acbd acdb adbc adcb cabdabc dcadbacbd【点睛】本题主要考查了写出某事件的所有基本事件，属于中等题.14.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A“第一枚硬币正面朝上”，事件B“第二枚硬币反面朝上”写出样本空间，并列举 A 和 B 包含的样本点；【答案】答案见解析【解析】【分析】按照第一、第二枚朝上的面顺序写出【详解】事件空间：（正正），（正反），（反正），（反反），事件A的样本点：（正正），（正反），事件B的样本点：（正反），（反反）15.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A=“第一枚硬币正面朝上”，事件 B=“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（）A.A 与 B 互为对立事件B.A 与 B 互斥C.A 与 B 相等D.P AP B【答案】D【解析】【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件 A 包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件 B 包含的结果有：(正，反)，(反，反)，显然事件 A，事件 B 都含有“(正，反)”这一结果，即事件 A，事件 B 能同时发生，因此，事件 A，事件 B 既不互斥也不对立，A，B 都不正确；事件 A，事件 B 中有不同的结果，于是得事件 A 与事件 B 不相等，C 不正确；由古典概型知，2121(),()4242P AP B，所以()()P AP B，D 正确.故选：D16.判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例（1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；（2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；（3）事件A与事件 B 中至少有一个发生的概率一定比A与 B 中恰有一个发生的概率大；（4）事件A与事件 B 同时发生的概率一定比A与 B 中恰有一个发生的概率小.【答案】（1）错误，举例见解析；（2）正确；（3）错误，举例见解析；（4）错误，举例见解析.【解析】【分析】举反例判断(1)，再利用互斥事件的概率公式判断(3)，(4)；由互斥事件与对立事件的定义判断(2).【详解】解：（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误.设某试验的样本空间为1,2,3,4.（1）中反例，取1,2AB，则 A,B 互斥但不对立.（2）由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确（3）中反例，取1,AB,则1()()4P ABP A1()()()4P ABABP ABP A.（4）中反例，取1,1,2AB,则1()()4P ABP A,1()()4P ABABP AB.【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件关系的辨析以及利用互斥事件的概率公式求概率，属于中等题.17.生产某种产品需要 2 道工序，设事件A“第一道工序加工合格”，事件B“第二道工序加工合格”，用 A，B，A，B表示下列事件：C“产品合格”，D=“产品不合格”【答案】C=AB；DABABAB.【解析】【分析】根据给定条件利用事件的运算即可列式作答.【详解】要使得产品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件 A，B 同时发生，所以 C=AB；产品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，所以，DABABAB.18.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？游戏 1游戏 2游戏 3袋子中球的数量和颜色1 个红球和 1个白球2 个红球和 2 个白球3 个红球和 1 个白球取球规则取 1 个球依次取出 2 个球依次取出 2 个球取到红球甲胜两个球同色甲胜两个球同色甲胜获胜规则取到白球乙胜两个球不同色乙胜两个球不同色乙胜【答案】12；13；12；游戏 1 和游戏 3 是公平的【解析】【分析】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性.【详解】解：游戏 1 中，甲获胜的概率为12；游戏 2 中，甲获胜的视率为2163；游戏 3 中，甲获胜的概率为3162，所以游戏 1 和游戏 3 是公平的.【点睛】本题主要考查了判断游戏的公平性以及古典概型的概率公式，属于中档题.19.一个盒子中装有标号为 1,2,3,4,5 的 5 张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率；（1）标签的选取是不放回的；（2）标签的选取是有放回的.【答案】（1）0 （2）15【解析】【分析】(1)求出不放回时所有的基本事件的总数，再得出 事件“两张标签上的数字为相等整数”包含的基本事件个数，利用古典概型的公式计算概率即可；(2)求出有放回时所有的基本事件的总数，再得出 事件“两张标签上的数字为相等整数”包含的基本事件个数，利用古典概型的公式计算概率即可；【详解】解：（1）从 5 张标签中不放回地选取两张标签，用 m 表示第一张标签的标号，n 表示第二张标签的标号，设 A=“两张标签上的数字为相等整数”，则（1）数组（m，n）表示该试验的一个样本点，,1,2,3,4,5m n，且mn.因此该试验的样本空间(,)|,1,2,3,4,5m nm n，且mn中共有 20 个样本点，其中 m，n 为相等整数的样本点个数()0n A.故所求概率为 0；（2）该试验的样本空间(,)|,1,2,3,4,5m nm n 中共有 25 个样本点，各样本点出现的可能性相等，试验是古典概型，其中(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5A=,5)，所以()5n A，故所求概率为()51()255n APn.【点睛】本题主要考查了求有放回与无放回问题的概率，属于中档题.20.从长度为 1，3，5，7，9 的 5 条线段中任取 3 条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.【答案】310P【解析】【分析】列举出 5 条线段中任取 3 条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，由古典概型求概率的公式求解即可.【详解】解：该试验的样本空间可表示为：9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7)(1,3,(3,5,5),(1,3,7),(1,39),(3,7,9)(5,7,9)，共有 10 个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9)(5,7,9)，共 3 个，故所求概率310P.【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式求概率，属于中档题.综合运用综合运用21.一个盒子中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支一等品，2 支二等品和 1 支三等品，若从中任取 2 支，那么下列事件的概率各是多少？（1）A=“恰有 1 支一等品”；（2）B=“两支都是一等品”；（3）C=“没有三等品”.【答案】（1）35 （2）15 （3）23.【解析】【分析】列举出 6 支中任取 2 支所有的基本事件，得出事件,A B C对应的基本事件以及个数，由古典概型的公式求概率即可.【详解】解：用123,a a a表示 3 支一等品，用12,b b表示 2 支二等品，用 c 表示三等品，则该试验的样本空间可表示为 121323111221223132,a aa aa aa ba ba ba ba ba b 1212312,b ba ca ca cb cb c，共有 15 个样本点.（1）111212122231323,Aa ba ba ca ba ba ca ba ba c，其中有 9 个样本点，所以93()155P A.（2）121323,Ba aa aa a，其中有 3 个样本点，所以31()155P B.（3）12132311122122313212,Ca aa aa aa ba ba ba ba ba bb b，其中有 10 个样本点，所以102()153P C.【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式求概率，属于中档题.22.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用 x 表示红色骰子的点数，用 y 表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设 A=“两个点数之和等于 8”，B=“至少有一颗骰子的点数为 5”，C=“红色骰子上的点数大于 4”（1）求事件 A，B，C 的概率；（2）求,AB AB的概率.【答案】（1）5()36P A；11()36P B；1()3P C.（2）1()18P AB；7()18P AB【解析】【分析】(1)求出事件 A，B，C 的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可；(2)求出事件AB的基本事件以及个数，得出()P AB，再由()()()()P ABP AP BP AB得出()P AB.【详解】解：该试验的样本