必修1-高中数学（人教A版2019）例题、课后习题及变式题-Word版.rar

第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念集合的概念例 1 用列举法表示下列集合：（1）小于 10 的所有自然数组成的集合；（2）方程2xx的所有实数根组成的集合.解：（1）设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A，那么0 1 2 3 4 5 6 7 8 9A,.（2）设方程2xx所有实数根组成的集合为 B，那么0,1B.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例 1（1）的集合还可以写成9,8,7,6,5,4,3,2,1,0A 等.例 2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程220 x 的所有实数根组成的集合 A；（2）由大于 10 且小于 20 的所有整数组成的集合 B.解：（1）设xA，则 x 是一个实数，且220 x.因此，用描述法表示为2|20AxxR.方程220 x 有两个实数根2，2，因此，用列举法表示为2,2A.（2）设xB，则 x一个整数，即xZ，且1020 x.因此，用描述法表示为|1020BxxZ.大于 10 且小于 20 的整数有 11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为11,12,13,14,15,16,17,18,19B.练习练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）与定点 A，B 等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析.【解析】【分析】的是（1）与定点 A，B 等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断；（2）游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性.【详解】（1）与定点 A，B 等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的.（2）高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.【点睛】本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于基础题.2.用符号“”或“”填空：0_N；3_N；0.5_Z；2_Z；13_Q；_R.【答案】.【解析】【分析】根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断.【详解】0是自然数，则0N；3不是自然数，则3N；0.5,2不是整数，则0.5,2ZZ；13是有理数，则13Q；是无理数，则R故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【点睛】本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题.3.用适当的方法表示下列集合：（1）由方程290 x-=的所有实数根组成的集合；（2）一次函数3yx=+与26yx 图象的交点组成的集合；（3）不等式453x的解集.【答案】（1）3,3；（2）(1,4)；（3）|2x x.【解析】【分析】（1）求出方程的根，用列举法表示即可；（2）求出交点，用列举法表示即可；（3）化简不等式，用描述法表示即可.【详解】（1）2903xx，则该方程所有实数根组成的集合为 3,3；（2）由326yxyx =+=-+解得：14xy，则图象的交点组成的集合为(1,4)；（3）不等式453x可化为2x，则该集合为|2x x【点睛】本题主要考查了用列举法以及描述法表示集合，属于基础题.习题习题 1.1复习巩固复习巩固4.用符号“”或“”填空：（1）设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国_A，美国_A，印度_A，英国_A；（2）若2|Ax xx=，则-1_A；（3）若2|60Bx xx，则 3_B；（4）若|110CxxN，则 8_C，9.1_C.【答案】（1）,（2）（3）（4）,【解析】【分析】（1）根据国家的地理位置直接得到答案.（2）计算得到2|0,1Ax xx=，再判断关系.（3）计算得到2|602,3Bx xx，再判断关系.（4）计算得到|1101,2,3,4,5,6,7,8,9,10CxxN，再判断关系.【详解】（1）根据国家的地理位置直接得到答案：中国A，美国A，印度A，英国A；（2）2|0,1Ax xx=，故1A；（3）2|602,3Bx xx，故3A；（4）|1101,2,3,4,5,6,7,8,9,10CxxN，故8,9.1AA；故答案为：（1）,；（2）；（3）；（4）,【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.5.用列举法表示下列集合：（1）大于 1 且小于 6 的整数；（2）(1)(2)0Ax xx；（3）3213BxZx 【答案】（1）2,3,4,5 （2）1,2A （3）0,1B【解析】【分析】（1）根据描述直接列举出集合中的元素即可；（2）求出一元二次方程的解，即可得出结果；（3）解一元一次不等式组，进而结合整数集的概念即可得出结果.【小问 1 详解】大于 1 且小于 6 的整数组成的集合为2,3,4,5；【小问 2 详解】(1)(2)01,2Ax xx【小问 3 详解】3213120,1BxZxxZx 综合运用综合运用6.把下列集合用另一种方法表示出来：（1）2,4,6,8,10；（2）由 1，2，3 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；（3）|37xNx；（4）中国古代四大发明【答案】（1）|2,xN xk kZ且111x（2）1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321（3）4,5,6（4）造纸术，印刷术，指南针，火药【解析】【分析】（1）用描述法写出集合得到答案.（2）用列举法写出集合得到答案.（3）用列举法写出集合得到答案.（4）用列举法写出集合得到答案.【详解】（1）2,4,6,8,10|2,xN xk kZ且111x.（2）由 1，2，3 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数：1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321.（3）|374,5,6xNx.（4）中国古代四大发明：造纸术，印刷术，指南针，火药【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌握.7.用适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24yx的函数值组成的集合；（2）反比例函数2yx的自变量组成的集合；（3）不等式342xx的解集【答案】（1）|4y y （2）|0 x x（3）4|5x x【解析】【分析】（1）求二次函数的值域得到答案.（2）求反比例函数的定义域得到答案.（3）解不等式得到答案.【详解】（1）二次函数24yx的函数值为 y，二次函数24yx的函数值 y 组成的集合为2|4,|4y yxxRy y.（2）反比例函数2yx的自变量为 x反比例函数2yx的自变量组成的集合为|0 x x.（3）由342xx，得45x，不等式342xx的解集为4|5x x.【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用.拓广探索拓广探索8集合论是德国数学家康托尔于 19 世纪末创立的当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识康托尔（Georg Cantor，18451918）第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系例题例题 1.写出集合,a b的所有子集，并指出哪些是它的真子集.【答案】子集为，a，b，,a b.真子集为，a，b.【解析】【分析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可.【详解】集合,a b的所有子集为,a,b,a b.真子集为,a,b.【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型.2.判断下列各题中集合 A 是否为集合 B 的子集，并说明理由.（1）1,2,3A，|Bx x是 8 的约数；（2）|Ax x是长方形），|Bx x是两条对角线相等的平行四边形.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据 8 的约数判断即可.(2)根据平行四边形的特殊性质判断即可.【详解】（1）因为 3 不是 8 的约数,所以集合 A 不是集合 B 的子集.（2）因为若 x 是长方形,则 x 一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合 A 是集合 B 的子集.【点睛】本题主要考查了子集的辨析与约数和特殊平行四边形的性质,属于基础题型.练习练习3.写出集合,a b c的所有子集.【答案】，a，b，c，,a b，,a c，,b c，,a b c.【解析】【分析】根据子集的定义枚举列出即可.【详解】集合,a b c的所有子集有：,a,b,c,a b,a c,b c,a b c.【点睛】本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型.4.用适当的符号填空：（1）a_,a b c；（2）0_2|0 x x；（3）_20|1xx R；（4）0,1_N；（5）0_2|x xx；（6）2,1_2|320 x xx.【答案】.=.=【解析】【分析】根据元素与集合,集合与集合的关系填空即可.【详解】(1)元素a属于集合,a b c,故,aa b c.(2)元素0 x 满足20 x,故20|0 x x.(3)因为210 x 在xR时无解,故2|10 xxR(4)因为 0,1 均属于自然数,故集合0,1N(5)因为20,1xxx,故02|x xx.(6)因为2320 xx的根为1,2x.故22,1|320 x xx.故答案为：(1).(2).(3).=(4).(5).(6).=【点睛】本题主要考查了元素与集合和集合与集合间的基本关系,属于基础题型.5.判断下列两个集合之间的关系：（1）|0Ax x，|1Bx x；（2）|3,Ax xk kN，|6,Bx xz zN；（3）,|AxxN是 4 与 10 的公倍数，|20,Bx xm mN.【答案】（1）AB；（2）AB；（3）AB.【解析】【分析】(1)根据数轴上的范围判断即可.(2)根据集合,A B表示的数分析即可.(3)根据集合,A B表示的数分析即可.【详解】(1)根据数轴可知,|0Ax x表示0 x 左边的数的集合,|1Bx x表示1x 左边的数的集合,故AB.(2)|3,Ax xk kN表示 3 的整数倍.6,3,0,3,6.,|6,Bx xz zN表示 6 的整数倍.12,6,0,6,12.故AB.(3),|AxxN是 4 与 10 的公倍数即 20 的正整数倍,|20,Bx xm mN也表示 20 的正整数倍.故AB【点睛】本题主要考查了对集合的范围的理解,属于基础题型.习题习题 12复习巩固复习巩固6.选用适当的符号填空：（1）若集合233Axxx，2Bx x，则4_B，3 _ A，2_ B，B _ A（2）若集合210Ax x，则1_A，1_ A，_ A，1,1_A；（3）|x x是菱形_|x x是平行四边形；|x x是等边三角形_|x x是等腰三角形【答案】.=.【解析】【分析】（1）求出集合233Axxx，2Bx x，由此能求出结果（2）求出集合2101,1Ax x ，由此能求出结果（3）利用菱形与平行四边形的关系和等腰三角形与等边三角形的关系进行求解【详解】（1）集合|23332Axxxx xBx x，4,3,2,BAB BA 故答案为：,（2）集合2|10 1,1Ax x ，1,1,11,AAAA，故答案为：,（3）|x x是菱形|x x是平行四边形；|x x是等边三角形|x x是等腰三角形故答案为：，7.指出下列各集合之间的关系，并用 Venn 图表示：A=|x x是四边形，B=|x x是平行四边形，C=|x x是矩形，D=|x x是正方形.【答案】DCBA，Venn 图见解析.【解析】【分析】根据四边形，平行四边形，矩形，正方形的范围关系得到答案.【详解】各集合之间的关系为 DCBA 用 Venn 图表示如图所示：【点睛】本题考查了集合的包含关系，韦恩图，意在考查学生对于集合的理解和掌握.综合运用综合运用8.举出下列各集合的一个子集：（1）A=|x x是立德中学的学生；（2）B=|x x是三角形；（3）0C；（4）|330DxZx.【答案】（1）|x x是立德中学的女生（2）|x x是直角三角形（3）0（4）4,5,6【解析】【分析】根据子集的定义写出一个子集即可.【详解】（1）|x x是立德中学的女生（2）|x x是直角三角形（3）0（4）4,5,6【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题.9.在平面直角坐标系中，集合(,)|Cx yyx表示直线yx，从这个角度看，集合21(,)|45xyDx yxy表示什么？集合 C，D 之间有什么关系？【答案】DC【解析】【分析】集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.【详解】集合21(,)|45xyDx yxy表示直线21xy与直线45xy交点的集合，即(1,1)D.DC【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.拓广探索拓广探索10.请解决下列问题：（1）设,1,1,a bR Pa Qb ，若PQ，求a b的值；（2）已知集合|0,|12AxxaBxx，若BA，求实数 a 的取值范围.【答案】（1）0ab（2）2a【解析】【分析】（1）直接根据集合相等得到答案.（2）根据集合的包含关系得到2a 得到答案.【详解】（1）由于PQ，所以1a ，且1b，0ab.（2）|0,|12AxxaBxx，且BA，2a如图所示.【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力.第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算集合的基本运算例 1 设4,5,6,8A，3,5,7,8B，求AB解：4,5,6,83,5,7,8AB 3,4,5,6,7,8.例 2 设集合|12Axx，集合|13Bxx，求AB.解：13|12|AxxxxB|13xx.如图 1.3-2，还可以利用数轴直观表示例 2 中求并集AB的过程.例 3 立德中学开运动会，设|Ax x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学，|Bx x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，求AB.解：AB就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以，|ABx x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学.例 4 设平面内直线1l上点集合为1L，直线2l上点的集合为2L，试用集合的运算表示1l，2l的位置关系.解：平面内直线1l，2l可能有三种位置关系，即相交于一点平行或重合.（1）直线1l，2l相交于一点 P 可表示为12LLP点；（2）直线1l，2l平行可表示为12LL；.的（3）直线1l，2l重合可表示为1212LLLL.例 5 设|Ux x是小于 9 的正整数，1,2,3A，3,4,5,6B，求UA，UB.解：根据题意可知，1,2,3,4,5,6,7,8U，所以4,5,6,7,8UA，1,2,7,8UB.例 6 设全集|Ux x是三角形，|Ax x是锐角三角形，|Bx x是钝角三角形，求AB，UAB.解：根据三角形的分类可知AB ，|ABx x是锐角三角形或钝角三角形，|UxABx是直角三角形.练习练习1.设3,5,6,8A，4,5,7,8B，求AB，AB.【答案】5,8AB，3,4,5,6,7,8AB【解析】【分析】根据交集和并集定义直接求解即可.【详解】由交集定义知：5,8AB；由并集定义知：3,4,5,6,7,8AB【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.2.设2|450Ax xx，2|1Bx x，求AB，AB.【答案】1,1,5AB ，1AB.【解析】【分析】根据一元二次方程的解法分别求得集合,A B，由并集和交集的定义直接得到结果.【详解】24505101,5Ax xxx xx，211,1Bx x 1,1,5AB，1AB【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，涉及到一元二次方程的求解问题，属于基础题.3.设|Ax x是等腰三角形，|Bx x是直角三角形，求AB，AB.【答案】ABx x是等腰直角三角形，ABx x是等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】根据交集和并集定义直接求解即可.【详解】由交集定义知：ABx x是等腰直角三角形由并集定义知：ABx x是等腰三角形或直角三角形【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.4.设|Ax x是幸福农场的汽车，|Bx x是幸福农场的拖拉机，求AB.【答案】|x x是幸福农场的汽车或拖拉机【解析】【分析】根据并集的定义可直接得到结果.【详解】由并集定义知：ABx x是幸福农场的汽车或拖拉机【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.练习练习5.已知1,2,3,4,5,6,7U，2,4,5A，1,3,5,7B，求()UAB，()()UUAB.【答案】2,4UAB ，6UUAB.【解析】【分析】根据补集定义首先求得UA和UB，由交集定义可求得结果.【详解】1,3,6,7UA，2,4,6UB 2,4UAB，6UUAB【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，属于基础题.6.设|Sx x是平行四边形或梯形，|Ax x是平行四边形，|Bx x是菱形，|Cx x=是矩形，求BC，SB，SA.【答案】|x x是正方形，|x x是邻边不相等的平行四边形或梯形，|x x是梯形.【解析】【分析】根据平面几何中平行四边形的分类以及梯形的概念，结合交集与补集的定义即可得到结果.【详解】由交集定义得：BCx x既是菱形又是矩形x x是正方形由补集定义得：SBx x是邻边不相等的平行四边形或梯形；SAx x是梯形【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，涉及到平面几何中平行四边形的分类以及梯形的概念，属于基础题.7.图中 U 是全集，A，B 是 U 的两个子集，用阴影表示：（1）()()UUAB；（2）()()UUAB.【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析.【解析】【分析】根据补集、交集和并集的定义，利用Venn图表示出来即可.【详解】如下图阴影部分所示.【点睛】本题考查Venn图表示集合，涉及到集合的交集、并集和补集运算，属于基础题.习题习题 1.3复习巩固复习巩固8.已知集合|24Axx，|3782 Bxxx，求 AB，AB.【答案】|34ABxx,|2ABx x【解析】【分析】先对集合B进行化简，然后与集合A分别取交集和并集即可【详解】由题得：集合|3782|3Bx xxxx，而集合|24Axx，所以|34ABxx，|2ABx x.【点睛】本题考查了集合的交集与并集，以及不等式的求解运算，属于基础题9.设|Ax x是小于9的正整数，,1,2,33,4,5,6BC.求,AB AC,ABCABC.【答案】1,2,3，3,4,5,6，1,2,3,4,5,6，1,2,3,4,5,6,7,8.【解析】【分析】先计算集合1,2,3,4,5,6,7,8A，再利用集合运算法则计算得到答案.【详解】1,2,3,4,5,6,7,8A，1,2,3B，3,4,5,6C，1,2,3AB，3,4,5,6AC，1,2,3,4,5,6ABC，1,2,3,4,5,6,7,8ABC.【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生对于集合运算的掌握情况.10.学校开运动会，设 A=|x x是参加 100m 跑的同学，B=|x x是参加 200 m 跑的同学，C=|x x是参加 400m 跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）AB；（2）AC.【答案】ABC ；（1）表示参加 100m 跑或参加 200m 跑的同学；（2）表示既参加 100m 跑又参加 400m 跑的同学【解析】【分析】（1）根据并集的定义得到答案.（2）根据交集的定义得到答案.【详解】这项规定用集合表示：ABC （1）AB表示参加 100m 跑或参加 200m 跑的同学；（2）AC表示既参加 100m 跑又参加 400m 跑的同学.【点睛】本题考查了交集和并集的定义的理解，属于简单题.综合运用综合运用11.已知集合37Axx，210Bxx，求R()AB，R()AB，ABR，RAB.【答案】答案见解析.【解析】【分析】直接利用集合的交、并、补运算即可求解【详解】因为37Axx，210Bxx，所以210ABxx,所以R|210ABx xx或；因为37Axx，210Bxx，所以37ABxx,所以R|37ABx xx或；因为37Axx，210Bxx，所以R|37Ax xx或，所以R|23710ABxxx或；因为37Axx，210Bxx，所以R|210Bx xx或，所以R|23710ABx xxx或或.12.设集合(3)()0,Ax xxaaR，(4)(1)0Bx xx，求AB，AB【答案】答案见解析【解析】【分析】首先化简集合 B，然后根据集合A、B分类讨论 a 的取值，再根据交集和并集的定义求得答案【详解】解：因为(4)(1)0Bx xx所以1,4B 又因为(3)()0,Ax xxaaR，当3a 时 3A，所以1,3,4AB，AB 当1a 时1,3A，所以1,3,4AB，1AB当4a 时4,3A，所以1,3,4AB，4AB当1a 且3a 且4a 时,3Aa，所以1,3,4,ABa，AB 拓广探索拓广探索13.已知全集|010,1,35,7UUABxNxAC B，试求集合 B.【答案】0,2,4,6,8,9,10【解析】【分析】计算0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10UAB，根据1,3,5,7UAB计算得到答案.【详解】0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10UAB，1,3,5,7UAB，1,3,5,7UB.故0,2,4,6,8,9,10UUBB.【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力.第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件充分条件与必要条件例 1 下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直；（4）若21x，则1x；（5）若ab，则acbc；（6）若 x，y 为无理数，则xy为无理数.解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，pq，所以 p 是 q 的充分条件.（2）这是一条相似三角形的判定定理，pq，所以 p 是 q 的充分条件.（3）这是一条菱形的性质定理，pq，所以 p 是 q 的充分条件.（4）由于211，但11，pq，所以 p 不是 q 的充分条件.（5）由等式的性质知，pq，所以 p 是 q 的充分条件（6）2为无理数，但222为有理数，pq，所以 p 不是 q 的充分条件.例 2 下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 q 是 p 的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若1x，则21x；（5）若acbc，则ab；（6）若xy为无理数，则 x，y 为无理数.解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，pq，所以，q 是 p 的必要条件.（2）这是三角形相似的一条性质定理，pq，所以，q 是 p 的必要条件.（3）如图 1.4-1，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以，q 不是 p 的必要条件.的（4）显然，pq，所以，q 是 p必要条件.（5）由于101 0，但11，pq，所以，q 不是 p 的必要条件.（6）由于122为无理数，但 1，2不全是无理数，pq，所以，q 不是 p 的必要条件.例 3 下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：0 xy，q：0 x，0y；（4）p：1x 是一元二次方程20axbxc的一个根，q：0abc（0a）.解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以qp，所以 p 不是 q 的充要条件.（2）因为“若 p，则 q”是相似三角形的性质定理，“若 q，则 p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即pq，所以 p 是 q 的充要条件.（3）因为0 xy 时，0 x，0y 不一定成立（为什么），所以pq，所以 p 不是 q的充要条件.（4）因为“若 p，则 q”与“若 q，则 p”均为真命题，即pq，所以 p 是 q 的充要条件.例 4 已知：O的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d.求证：dr是直线 l 与O相切的充要条件.分析：设 p：dr，q：直线 l 与O相切.要证 p 是 q 的充要条件，只需分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可.证明：设 p：dr，q：直线 l 与O相切.的（1）充分性（pq）：如图 1.4-2，作OPl于点 P，则OPd.若dr，则点 P 在O上.在直线 l 上任取一点 Q（异于点 P），连接OQ.在RtOPQ中，OQOPr.所以，除点 P 外直线 l 上的点都在O的外部，即直线 l 与O仅有一个公共点 P.所以直线l 与O相切.（2）必要性（qp）：若直线 l 与O相切，不妨设切点为 P，则OPl.因此，dOPr.由（1）（2）可得，dr是直线 l 与O相切的充要条件.1.4.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件练习练习1.下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？（1）若平面内点 P 在线段AB的垂直平分线上，则PAPB；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.【答案】（1）p 是 q 的充分条件；（2）p 不是 q 的充分条件；（3）p 是 q 的充分条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到pq，从而得到 p 是否是 q 的充分条件，得到答案.【详解】（1）线段垂直平分线的性质，pq，p 是 q 的充分条件；（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，pq，p 不是 q 的充分条件；（3）相似三角形的性质，pq，p 是 q 的充分条件.【点睛】本题考查判断是否为充分条件，属于简单题.2.下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 q 是 p 的必要条件？（1）若直线 l 与o有且仅有一个交点，则 l 为o的一条切线；（2）若 x 是无理数，则2x也是无理数.【答案】（1）q 是 p 的必要条件；（2）q 不是 p 的必要条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到pq，从而得到 q 是否是 p 的必要条件，得到答案.【详解】（1）这是圆的切线定义，pq，所以 q 是 p 的必要条件；（2）由于2是无理数，但2(2)2不是无理数，pq，所以 q 不是 p 的必要条件.【点睛】本题考查判断是否为必要条件，属于简单题.3.如图，直线 a 与 b 被直线 1 所截，分别得到了1，2，3和4.请根据这些信息，写出几个“ab”的充分条件和必要条件.【答案】充分条件和必要条件见解析【解析】【分析】根据ab可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到ab.【详解】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到ab，所以“ab”的充分条件：12 ，14，13180 ；因为ab可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，所以“ab”的必要条件：12 ，14，13180 .【点睛】本题考查充分条件和必要条件，属于简单题.1.4.2 充要条件充要条件练习练习4.下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；（2）:pO内两条弦相等，:qO内两条弦所对的圆周角相等；（3）:p AB为空集，:q A与 B 之一为空集.【答案】（1）p 是 q 的充要条件；（2）p 不是 g 的充要条件；（3）p 不是 q 的充要条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到pq，从而得到 p 是否是 q 的充要条件，得到答案.【详解】在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以pq，所以 p 是 q的充要条件；在（2）中，O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，pq，所以 p 不是 q 的充要条件；在（3）中，取1,2A，3B，显然，AB ，但A与B均不为空集，因此，pq，所以 p 不是 q 的充要条件.【点睛】本题考查充要条件的判断，属于简单题.5.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.【答案】见解析【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，得到答案.【详解】“两个三角形全等”的充要条件如下：三边对应相等；两边及其夹角对应相等；两角及其夹边对应相等；两角及一角的对边对应相等.“两个三角形相似”的充要条件如下：三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；三边对应成比例；两边对应成比例且夹角相等.【点睛】本题考查写命题的充要条件，属于简单题.6.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是ACBD.【答案】证明见解析【解析】【分析】先由梯形ABCD为等腰梯形，证明ACBD，验证必要性；再由ACBD证明梯形 ABCD为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立.【详解】证明：（1）必要性.在等腰梯形ABCD中，ABDC，ABCDCB，又BCCB，BACCDB，ACBD.（2）充分性.如图，过点D作/DE AC，交BC的延长线于点 E./AD BE，/DE AC，四边形ACED是平行四边形.DEAC.ACBD，BDDE，1E.又/AC DE，2E ，12 .在ABC和DCB中，,21,ACDBBCCB ABCDCB.ABDC.梯形ABCD为等腰梯形.由（1）（2）可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是ACBD.【点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.习题习题 1.4复习巩固复习巩固7.举例说明:(1)p 是 q 的充分不必要条件;(2)p 是 q 的必要不充分条件;(3)p 是 q 的充要条件.【答案】(1)“1x”是“0 x”的充分不必要条件;(2)“22xy”是“xy”的必要不充分条件;(3)“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件【解析】【分析】根据充分与必要条件的概念举例即可.【详解】(1)可根据数轴上的关系举例：“1x”是“0 x”的充分不必要条件;(2)可根据方程的根的解举例：“22xy”是“xy”的必要不充分条件;(3)可根据定理举例：“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的理解,属于基础题型.8.在下列各题中,判断 p 是 q 的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;(2)在一元二次方程中，:p20axbxc有实数根，2:40q bac;(3):,:p aPQ q aP;(4):,:p aPQq aP;(5)22:,:p xy q xy.【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析.(2)根据二次方程的根分析(3)根据集合的基本关系分析(4)根据集合的基本关系分析(5)举例说明分析【详解】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,故 p 是 q 的必要不充分条件.(2)一元二次方程20axbxc有实数根则判别式240bac.故 p 是 q 的充要条件.(3)因为aPQ,故aP且aQ；当aP时aQ不一定成立.故 p 是 q 的充分不必要条件.(4)因为aPQ,故aP或aQ,所以aP不一定成立；当aP时aPQ一定成立.故 p 是 q 的必要不充分条件.(5)当x1,y2 时,满足xy但22xy不成立.当2,1xy 时,满足22xy但xy不成立.故 p 是 q 的既不充分又不必要条件.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型.9.判断下列命题的真假:(1)点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径是点 P 在O外的充要条件;(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;(3)ABA是BA的必要不充分条件;(4)x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分又不必要条件.【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.【解析】【分析】(1)根据点与圆的位置关系判断.(2)举例说明即可.(3)根据集合的关系直接判断(4)举例说明即可.【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径是点 P 在O外的充要条件.故(1)为真命题.(2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件.故(2)为假命题.(3)ABA是BA的充要条件.故(3)为假命题.(4)当1,2xy时,满足“x 或 y 为有理数”但“xy 为有理数”不成立.当2xy时满足“xy 为有理数”但“x 或 y 为有理数”不成立.故(4)为真命题.【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型.综合运用综合运用10.已知 A=|x x满足条件 p,B=|x x满足条件 q,(1)如果AB,那么 p 是 q 的什么条件?(2)如果BA,那么 p 是 q 的什么条件?(3)如果AB,那么 p 是 q 的什么条件?【答案】(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件.【解析】【分析】(1)根据集合间的基本关系判断p和Q的包含关系再即可.(2)根据集合间的基本关系判断p和Q的包含关系再即可.(3)根据集合间的基本关系判断p和Q的包含关系再即可.【详解】(1)如果AB,则满足条件 p 也满足条件 q.故 p 是 q 的充分条件.(2)如果BA,则满足条件 q 也满足条件 p.故 p 是 q 的必要条件.(3)如果AB,则满足条件 p 满足条件 q,且满足条件 q 也满足条件 p.故 p 是 q 的充要条件.【点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件的关系,属于基础题型.11.设,a b cR证明:222abcabacbc的充要条件是abc.【答案】见解析【解析】【分析】分别证明充分性与必要性即可.【详解】证明:(1)充分性:如果abc,那么222()()()0abbcac,2222220,abcabacbcabcabacbc.(2)必要性:如果222abcabacbc,那么2220abcabacbc,222()()()0,0,0,0abbccaabbcca,abc.由(1)(2)知,222abcabacbc的充要条件是abc.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.拓广探索拓广探索12.设 a,b,c 分别是ABC的三条边,且a b c.我们知道,如果ABC为直角三角形,那么222abc(勾股定理).反过来,如果222abc,那么ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,ABC为直角三角形的充要条件是222abc.请利用边长a,b,c 分别给出ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.【答案】ABC为锐角三角形的充要条件是222abc.ABC为钝角三角形的充要条件是222abc.证明见解析【解析】【分析】根据勾股定理易得ABC为锐角三角形的充要条件是222abc.ABC为钝角三角形的充要条件是222abc.再分别证明充分与必要性即可.【详解】解:(1)设 a,b,c 分别是ABC的三条边,且a b c,ABC为锐角三角形的充要条件是222abc.证明如下:必要性:在ABC中,C是锐角,作ADBC,D 为垂足,如图(1).显然2