广西来宾市2020届高三5月教学质量诊断性联合考试数学（理）试题.docx

1、 广西 2020 年 5 月份高三教学质量诊断性联合考试 数学（理科） 考生注意： 1本试卷分选择题和非选择题两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟 2答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案 标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书 写的答案无效 ，在试题卷 、草稿纸上作答无效 4本卷命题范围：高考范围 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是

2、符合题目 要求的 1设集合|432 x Mx， |1Ny yx，则MN（ ） A 5 1, 2 B1,5) C D 5 0, 2 2已知复数 10 2 3 zi i （i是虚数单位） ，则z的共轭复数是（ ） A3 3i B33i C 1513 44 i D 1513 44 i 3若 3 sin 5 ，且, 2 ，则tan 4 （ ） A 3 4 B 3 4 C7 D 1 7 4若某 10 人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ） A82.5 B83 C93 D72 5设实数, x y满足不等式组 4, 2, 4, xy yx x 则 1 1 y z x 的最小值为（ ） A

3、 1 3 B 1 5 C 1 3 D 1 2 6已知点(2,0)为函数( )2cos| 32 f xx 图象的一个对称中心，则实数（ ） A 3 B 6 C 3 D 6 7若双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点( ,0)c到渐近线的距离为 2 3 8 a c ，则双曲线C的离心率为 （ ） A3 B 10 3 C 3 2 4 D 4 2 3 8若函数 ( )sinlg 21 x f xxmx 的图象关于原点对称，则实数m的值为（ ） Alg2 Blg2 C4 D2 9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A2212 B2412 C2612 D20

4、12 10 已 知 在ABC中 ， 角, ,A B C的 对 边 分 别 为, ,a b c， 若1 ,3bc， 且 2sin()cos12cossinBCCAC ，则ABC的面积是（ ） A. 3 4 B 1 2 C 3 4 或 3 2 D 3 4 或 1 2 11已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过y轴上的一点E作直线EF与抛物线C交于,A B两 点若EAAF，且| 12BF ，则点A的横坐标为（ ） A1 B3 C2 D4 12若 * 0 xN，使得 0 0 91 m x x 1，则实数m的取值范围为（ ） A 4ln3 , ln2 B4,) C(0,) D6,) 二、

5、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量(2,5),(1, )mn，若n在m方向上的投影为 4，则实数的值为_ 14若 7234567 01234567 ( 32 )xaa xa xa xa xa xa xa x，则 22 02461357 aaaaaaaa_ 15如图，在边长为 2 的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形ABCDEF内的豆子粒数为 626， 落在阴影区域内的豆子粒数为 313，据此估计阴影的面积为_ 16如图，在三棱柱 111 ABCABC中，ABC是等边三角形， 1 A A平面ABC，四边形 11 ACC A为正方 形，点E在线段 1 BC上

6、，且 1 2BEC E，点F为线段AB的中点，则直线 1 AE与直线CF所成角的余弦值 为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 23 n Snn （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 2 nn aa 的前n项和为 n T，求证 1 15 n T 18 （本小题满分 12 分） 有关部门在某公交站点随机抽取了 100 名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客

7、从进站口到乘上车的时间， 乘车等待时间不超过 40 分钟） ， 将数据按5,10)，10,15)，15,20)，20,25) 25,30)，30,35)，35,40 分组，绘制成如图所示的频率分布直方图 假设乘客乘车等待时间相互独立 （1）求抽取的 100 名乘客乘车等待时间的中位数（保留一位小数） ； （2）现从该车站等车的乘客中随机抽取 4 人，记等车时间在20,30)的人数为X，用频率估计概率，求随 机变量X的分布列与数学期望 19 （本小题满分 12 分） 如图 1，,60 ,2ACBCABCAB ，点M为线段AB的中点，点N为线段AC上靠近C的三等分 点现沿MN进行翻折，得到四棱锥A

8、BCNM，如图 2，且2ABBC在图 2 中： （1）求证：AM 平面BCNM； （2）求直线AB与平面ACN所成角的正弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln(1)f xxm x （1）若3m，求函数( )f x的极值； （2）当1,)x时，( ) x eef xe，求实数m的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 :1 63 xy C （1）直线l过点(1,1)D与椭圆C交于,P Q两点，若PDDQ，求直线l的方程； （2）在圆 22 :2O xy上取一点M，过点M作圆O的切线l与椭圆C交于,A B两点，求| |MAMB 的值 （二）选考题：共 10 分请

9、考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 , 33 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的非 负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C极坐标方程为 222 3sin12 （1）求直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程； （2）若(1,0)P，直线l与曲线C交于,M N两点，求|PMPN的值 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |2|22|f xxmx （1）若3m，求不等式( )8f x 的解集；

10、 （2）若 12 ,(0,)xRx，使得 2 122 32f xxx，求实数m的取值范围 广西 2020 年 5 月份高三教学质量诊断性联合考试数学（理科） 参考答案、提示及评分细则 1 A 由 25 5 |432|22| 2 xx Mxxx x ， 1 |1 y Nyxy y， 则 5 1, 2 MN 故选 A 2B 1 01 0( 3)1 0( 3) 2223233 3( 3) ( 3)1 0 ii ziiiiii iii ，3 3zi 故选 B 3 D 若 3 sin 5 ， 且, 2 ， 则 2 2 34 cos1sin1 55 ， 所 以 3 s i n3 5 t a n 4 c o

11、 s4 5 ，所以 3 tantan1 1 44 tan 347 1tantan11 44 故选 D 4 A 将这组数据从小到大排列为 72， 74， 76， 81， 82， 83， 86， 93， 93， 99， 则这组数据的中位数是 8283 2 ， 即 82.5故选 A 5B 作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 1 1 y x 表示平面区域内的点( ,)x y与 ( 1, 1)D 连线的斜率，则 1 1 y z x 的最小值为 1 5 CD k故选 B 6D 据题意，得 2 2cos20,() 332 kkZ ， () 6 kkZ ，又|, 26 故选 D 7C 由题意，得

12、双曲线C的右焦点( ,0)c到渐近线0bxay的距离为 22 bc b ab ，则 2 3 8 a b c ，即 22 833bccb，亦即 22 3830cbcb，解得3cb，则 2222 8acbb，所以双曲线C的离心率 为 2 2 3 2 1 4 b a 故选 C 8 B 因为sinyx为奇函数， 则lg 21 x ymx为偶函数， 故lg 21lg 21 xx mxmx ， 即2lg 21lg 21 xx mx ， 则 2 2121 2l gl gl g2l g2 2122 xx x xxx mxx 因为0x 恒 成立，则2lg2m ，解得lg2m 故选 B 9 A 由 三 视 图 可

13、 知 ， 该 几 何 体 为 圆 柱 进 行 切 割 所 得 的 组 合 体 ， 所 以 所 求 表 面 积 为 2 223 425222212 故选 A 10 C 因 为2 s i n () c o s12 c o ss i nBCCAC， 所 以2 s i nc o s12 c o ss i nACAC ， 所 以 2sincos2sin()1ACAC，所以2sin()1AC，所以2sin1B ，所以 1 sin 2 B 因为bc， 所以BC，所以角B为锐角，所以 2 3 cos1sin 2 BB， 222 3 1( 3)23 2 aa，解 得1a 或2a 当1a 时，ABC的面积 111

14、3 sin13 2224 SacB ；当2a 时，ABC 的面积 1113 sin23 2222 SacB 故选 C 11 C 设 直 线: 2 p E Fykx ， 1122 ,A x yB xy， 与 2 2yp x联 立 可 得 22 222 20 4 p k k xp kx，则 2 12 4 p x x 又,0 , 2 p FEAAF ，则 1 4 p x 由|12|BF ，得 2 12 2 p x ，则 2 12 12 424 ppp x x ，解得8p （0p 舍去） ，所以 1 2x 故选 C 12D 依题意，设 1 (0) 9 m x xx ，lnln9 m x x ，则lnl

15、n9(*)mxx，显然1x 不是(*)的解， 当1x 时，2ln3 ln x m x ， 令( ) 2 l n 3 ln x f x x ， 则 2 ln1 ( )2ln3 (ln ) x fx x ， 当(1, )xe时，( )0fx ； 当( ,)xe时，( )0fx 因为 4ln3 (2)(3)6 ln2 ff，所以当1x 且 * xN时， min ( )6f x， 故6m，即实数m的取值范围为6,)故选 D 132 5 依题意，得n在m方向上的投影为 25 4 3| m n m ，解得2 5 14 1 令1x ， 得 7 01234567 (32 )aaaaaaaa， 令1x ， 得

16、7 02461357 (32 )aaaaaaaa， 两式相乘可得 2 02461357 aaaaaaaa 77 ( 32)( 32)1 153 3 边长为 2 的正六边形的面积 13 6226 3 22 S 据题设分析知阴影区域面积 0 313 6 33 3 626 S 16 6 4 过点 1 A作 11/ / AFCF且 11 AFCF，连接 1 EF，则 11 EAF为直线 1 AE与直线CF所成的角过 E点作 11 EGBC，垂足为G点，取 11 BC的中点H，连接 11 ,AH AG， 111 ,GF FC，不妨设2AB ，则 11 3AF ， 22 11 4284 2 993 AEE

17、GAG， 22 11 19423 993 FEFGGE， 故 222 1111 11 111 3223 3 6 99 cos 244 2 23 3 AFAEEF EAF AF AE 17解： （1）当1n 时， 11 224Sa，解得 1 2a ； 2 分 当2n时， 22 1 23,23(1)(1) nn SnnSnn ， 3 分 两式相减，得262 n an，解得31 n an 4 分 又1n 时， 1 3 1 12a ， 故 * 31 n annN 6 分 证明： （2）依题意，得 12 11111 (32)(35)3 3235 nn aannnn ， 8 分 则 1 111111 3

18、588113235 n T nn 1 11 3 535n 111 153(35)15n ， 10 分 即 1 15 n T 12 分 18解： （1）第一块小矩形的面积 1 0.08S ， 第二块小矩形的面积 2 0.14S ， 第三块小矩形的面积 3 0.18S ， 第四块小矩形的面积 4 0.26S ， 故中位数为 0.1 2021.9 0.052 4 分 （2）任取 1 人等车时间在20,30)的概率为 1 (0.0520.048)5 2 ， 5 分 故X的可能取值为 0，1，3，4 且 1 4, 2 XB ， 6 分 则 4 0 4 11 (0) 216 P XC ， 4 1 4 11

19、 (1) 24 P XC ， 4 2 4 13 (2) 28 P XC ， 4 3 4 11 (3) 24 P XC ， 4 11 (4) 216 P X 9 分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 10 分 故 1 ()42 2 E X 12 分 19 （1）证明：因为,60 ,2ACBCABCAB ，所以3AC 由题意，得2ANNC，所以 2 3 3 AN 1 分 在AMN中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 2 2222 2 3 2cos1 3 MNAMANAM ANA 2 331 2 1 323 ， 2 分 则 3 3 MN ，所以

20、在图 2 中， 222 AMMNAN，所以AMMN 3 分 又1AMBM，且2AB ，即在图 2 中， 222 ABAMBM，所以AMBM， 又MN，BM 平面,BCNM MNBMN，所以AM 平面BCNM 5 分 （2）解：在图 1 中， 222 32 3 ,1, 33 MNAMANAMMNAN，所以MNAM，即 MNBM 6 分 以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可知，(1,0,0)B， 3 0,0 3 N ，(0,0,1)A， 13 ,0 22 C ，则 3 0, 1 3 AN ， 3 0, 1 3 AN 7 分 设平面ACN的法向量为( , , )nx y z， 则 0

21、, 0, n AN n NC 即 3 0, 3 13 0, 26 yz xy 解得 3 , 3 3 , 3 zy xy 令3y ，则( 1, 3,1)n 设直线AB与平面ACN所成角为，又(1,0, 1)AB ， 则 |210 sin|cos,| 5| |25 AB n AB n ABn 12 分 20解： （1）当3m时，( )ln3(1)f xxx，则 113 ( )3 x fx xx ， 1 分 当 1 0, 3 x 时，( )0fx ，函数( )f x在 1 0, 3 上单调递增：当 1 , 3 x 时，( )0fx ，函数( )f x 在 1 , 3 上单调递减， 3 分 所以当 1

22、 3 x 时，函数( )f x有极大值,极大值为 111 ln312ln3 333 f ，无极小值 4 分 （2）依题意，得ln(1) x eexm xe，即 1 ln(1) 1 x exm x ， 令 1 ( )ln(1) x g xexm x ，则( )(1)g xg， 1 1 ( ) x g xem x ，令 1 1 ( ) x F xem x ，则 1 2 1 ( ) x F xe x 6 分 令 1 2 1 ( )( )(0) x xF xex x ，所以 1 3 2 ( )0 x xe x ， 所以( )F x 在1,)上单调递增，(1)0F，当1,)x时，( ) 0F x ， 所

23、以( )F x在1,)x上单调递增，且(1)2(1)Fmg 8 分 当2m时，1,)x，( ) 0, ( )g xg x 在1,)上单调递增，( )(1)1g xg，满足条件； 9 分 当2m时，(1)20gm 又因为 ln 11 (ln1)0 ln1ln1 m gmem mm ，所以 0 (1,ln1)xm，使得 0 0gx ， 当 0 1,( )0xxg x ；当 0,ln 1 ,( )0xxmg x ， 所以( )g x在 0 1,x上单调递减，当 0 1,xx时，都有( )(1)1g xg，不符合题意 11 分 综上所述，实数m的取值范围为(,2 12 分 21 解：（1） 设 112

24、2 ,P x y Q x y，PDDQ， 1122 1,11,1xyxy， 即 12 12 11, 11, xx yy 解得 1212 2,2xxyy 1 分 ,P Q两点在椭圆C上， 2222 1122 1,1 6363 xyxy ， 两式相减，得 12121212 0 63 xxxxyyyy ，则 12 12 1 2 yy xx ， 3 分 故直线l的方程为 1 1(1) 2 yx ，即 13 22 yx 4 分 （2）当切线l斜率不存在时，不妨设l的方程为2x ， 由椭圆C的方程可知，( 2, 2), ( 2,2)AB， 则( 2, 2),( 2,2)OAOB，0OA OB，即OAOB

25、6 分 当切线l斜率存在时，可设l的方程为 3344 ,ykxm A x yB xy， 2 | 2 1 m k ，即 22 21mk， 7 分 联立l和椭圆的方程，得 222 124260kxkmxm则 222 34 2 2 34 2 (4)4 12260, 4 , 21 26 . 21 kmkm km xx k m x x k 8 分 3344 ,OAx yOBxy， 34433434 OA OBx xy yx xkxmkxm， 22 3434 1kx xkm xxm 9 分 2 22 22 264 1 2121 mkm kkmm kk 22222222 22 222 1264213 226

26、6 366 0 212121 kmk mmkkk mk kkk ， OAOB 综上所述，圆O上任意一点M处的切线交椭圆C于点,A B，都有OAOB 10 分 在Rt OAB中，由OAM与BOM相似，得 2 | | |2MAMBOM 12 分 22解： （1）依题意，得直线:330lxy，即3 cossin30， 所以直线l的极坐标方程为2 cos3 6 2 分 因为 222 3sin12，则 22 3412xy，即 22 1 43 xy ， 4 分 所以曲线C的参数方程为 2cos , 3sin x y （为参数） 5 分 （2）设,M N点对应的参数为 12 ,t t，将直线l的参数方程 3

27、 , 33 xt yt （t为参数） ，代入 22 1 43 xy ， 得 2 5 380tt， 7 分 则 121 2 8 3 ,0 15 ttt t， 8 分 不妨设 1 0t ，则 2 8 3 15 t ， 所以 12 8 316 | 2312312231 155 PMPNtt 10 分 23解： （1）当3m时，|23|22| 8xx 若1x，则3 2228xx ，得 7 4 x ，所以 7 1 4 x ； 1 分 若 3 1 2 x ，则3 22258xx ，所以 3 1 2 x 剟； 2 分 若 3 2 x ，则23 228xx ，得 9 4 x ，所以 39 24 x 3 分 综上所述，不等式的解集为 7 9 , 4 4 5 分 （2） 111 32223 |2| 3f xxmxm， 6 分 而当 2 (0,)x 时， 2 2 222 2111xxx， 所以 2 122 32f xxx等价于|2| 31m， 8 分 解得0m或4m，即实数m的取值范围为(, 40,) 10 分